Exercícios das Aulas Práticas

Transcrição

1 ANÁLISE MATEMÁTICA I Engenharia Civil Eercícios das Aulas Práticas Escola Superior de Tecnologia de Tomar Ano lectivo 007/008 - º Semestre

2 Conteúdo Números Reais 3 Funções Reais de Variável Real 4 3 Limites e Continuidade 4 Cálculo Diferencial 4 5 Cálculo Integral 3

3 Capítulo Números Reais. Apresente sob a forma de uma única potência : (a) 3 ( 8 ) 3 ; (b) ( 3 ) 5 : ( 3 ) 5 : ( ) 7 ; (c)( 0) 3 ; (d) (5) 3 ( 5 ) 3 ; (e) ( )5 ; (f) ( 3 ) 7 : ( 3 )6 ( 3 ) ; (g) [ ( ) + ( ) ] 5 ; (h) 3 + ( 6 )5 : 8 ( 0 ) 8 ; (i) ( 5) 6 6 : ( 5) 8 ; (j) 3 + ( 3) 5 : ( 3 ) 3.. Averigue o valor lógico da proposição: ( ) > Coloque os números seguintes por ordem crescente: (a) 5 ; ( 5 ) 3 ; ( 5 )0 ; ( 5 ) ; ( 5 )4. (b) ( 7 3 )3 ; ( 7 3 ) ; ( 7 3 ) 6 ; ( 7 3 )5. 4. Calcule: (a) ; (b) ; (c) ; (d) 8 4; (e) 7 3 4; (f) ; (g) ( )( 4 5 ); (h) 7 0 : ; (i) ( 5) Calcule o valor numérico de (a) + y para = 3, y = ; (b) 4a + a para a = Complete de forma a obter proposições verdadeiras: (a) ( 3 5) 3 =...; (b) ( 0) =...; (c) ( 7 8) 7 =...; (d) ( 3) 4 =.... 3

4 7. Diga se é par o número (a) ; (b) Determine os valores inteiros p tais que: (a)7 5 7 p = 7 3 ; (b) p = 7 3 ; (c) 3 5 p < 5 e p Z ; (d)( )p > 3 e p N. 9. Transforme as seguintes quantidades em radicais de índice 3: (a) ( 3 5) ; (b) ( 3 9 5) 3 ; (c) 3 ; (d) Escreva sob a forma de fracção de denominador racional: (a) ; (b) 7 + ; (c) (d) 4+ ; (e) ; (f) ;. Mostre que ( 7)( + 7) e (4 5)(4 + 5) são números inteiros.. Simplifique as seguintes epressões: 3 (a) 3 ; (b) (d) 8 + 8; (c) 8 3 9; 8 8; (e) : 8 ; (f) 7; 7 (g) ; (h) ; (i) 7 + 4; (j) ; (k) ; (l). 3. Reduza a um radical cada uma das epressões: (a) 8 5; (b) 8 7; (c) 0 ; (d) 0. 5; (e) 3 4 ; (f) 3 3 ; (g) ; (h) 5 30 : 5; (i) Simplifique as seguintes epressões: (a) a 5.a 5. ( ( ) ) 5; (b) 3y 3 ( ) 3 5 y; (c) + : ; ( (d) 3 a b : 6 a.b; (e) 3 a 3 + (g) 7 : ( ) 6 ( ) ; (h) y 3 5. Simplifique as seguintes epressões: ( ) n ( ) m (a), (m, n N, a > 0); a a (b) ( a) n + ( a) m : a p, (m, n N, a > 0); ( ) n ( ) n (c) ( a) 0 :, (n N, a, b > 0); b b (d) ( a) n : a n + ( a k) 0, (n, k N, a > 0); a ; (f) a. ( y 3 ) 3; (i) z ) a ; ( z k+ : ( z ) k ). 4

5 (e) ( ) a n b : a n ( ) p, (n, p N, a, b > 0); b ( ) n ( ) n b d (f) a 0 :, (n N, a, b, c, d > 0); c c (g) (( a) n) p ( ( a) 0) k, (k, n, p N, a > 0); (h) 6 a 3 b 4 4 a, (a, b 0). b 6. Simplifique as seguintes epressões: (a) a a 3 a 6 a, (a > 0); m n b (b) p k, (k, m, n, p N, b > 0); b 4 (c) a3, (a > 0); (d) ( a ) 4a, (a > 0); (e) (a b c)(a + b c), (a, b R, c > 0); (f) a 3 a 3 a 3 3a, (a > 0); (g) a b a, (a, b > 0); (h) 3 b a 4, (a, b > 0); a (i) a 3 a 6 a 3 a, (a > 0); 3 a a 4 b (j), (a, b > 0); ab (k) 3 a 9 b 3 3 b, (a, b > 0). 7. Desenvolva e ordene, segundo as potências decrescentes de, os polinómios: (a) ( ) ( + + ) ; (b) ( + ) 3 ( + )( ) 3( + ) Determine o termo de maior grau do polinómio 9. f e g são funções definidas em R por: ( + + ) 3( 7)( + ) f : ( ) g : 5( )(3 5) (a) Determine, sob a forma de um polinómio, a epressão da função f() + g(). (b) Considere k() = f() g(). Factorize k(). 0. Encontre os zeros dos seguintes polinómios e factorize quando possível: (a) = 0 sabendo que = é um zero; (b) = 0 sabendo que = é um zero; (c) = 0 sabendo que = é um zero; (d) 3 5 = 0 sabendo que = é um zero. 5

6 . Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de: (a) 3 + por + 3; (b) por ; (c) por ; (d) por + ; (e) por 3 9; (f) por + 6; (g) por.. Utilizando o algoritmo da divisão, determine o quociente e o resto da divisão de : (a) por ; (b) por + ; (c) por 3 ; (d) por 3 + ; (e) por 3 + ; (f) 5 3 por (a) Indique a epressão geral dos polinómios do 3º grau que admitem as raízes, e 3. (b) Eiste algum polinómio do 3º grau que admita,, 3 e 4 como raízes? 4. (a) Calcule a e b de modo que 4 + = ( + a + )( + b + ), para todo o real. (b) Um polinómio factorizável tem sempre raízes reais? 5. Determine uma relação entre m e n de modo que a epressão (m ) 4 3 3n + + se transforme num polinómio em divisível por. 6. Determine os números reais a e b de modo que o polinómio seja divisível por ( )( + ). 4 a 3 + b Determine os números reais a e b de modo que o polinómio seja um quadrado perfeito. 4 + a 3 + 3b Quatro cubos têm, respectivamente, por arestas, medidas em centímetros,, +, + e + 3, em que é um número natural. Determine o valor de de modo que a capacidade dos três cubos de arestas, + e + seja eactamente igual à capacidade do cubo de aresta Calcule m, n e p de modo que sejam equivalentes as seguintes epressões em : 3 3 (m + n) + 3 e (p + 5) 3 p + (n + p). 6

7 30. Resolva em,r, as seguintes equações: (a) 7 = 0; (b) = 0; (c) = 0; (d) 5 = 3; (e) 5( 6) = 0; (f) + = 0; (g) = 0; (h) 8 5 = 0; (i) (3 )( + 3) = 0; (j) = 0; (k) 3 + = 0; (l) 5 4 = 0; (m) = 0; (n) = 0; (o) 6 = 9; (p) ( + 5) = 3( + 5); (q) 5 + = 0; (r) + = 0; (s) ( 9)( 5) = 0; (t) = 0; (u) ( + 4)(5 ) = 0; (v) ( 3)(3 6) = 0; () (4 3 ) = 0; (z) (7 )( + ) = 5( + ); (aa) (4 3)(4 + 3) = 0; (ab) ( )( + ) = 0; (ac)4 3 = 0; (ad) 3 = ; (ae) 3 + = 0; (af) = 0; (ag) = 0; (ah) = 0; (ai) 3 + = ; (aj) 6 =. 3. Resolva em R as equações seguintes, aplicando a lei do anulamento do produto : (a) (3 )( + 3) = 0; (b) 5( 6) = 0; (c) ( + 4)(5 ) = 0; (d) (4 3)(4 + 3) = 0; (e) 5 4 = 0; (f) = 0; (g) = 0; (h) ( )( + ) = 0; (i) 0, 0 = ; (j) 6 = 9; (k) ( + 5) = 3( + 5); (l) (7 )( + ) = 5( + ); (m) (3 + )( 0 + 5)( ) = 0; (n) 3 =. 3. Resolva em R as seguintes equações: (a) ( )( 3) + (3 + 3)( 3) = 0; (b)( )( 3) + (3 + 3)( ) = 0; (c) = 0; (d) ( 5 4 3) = 0; (e) + + = ; (f) = 3 ; (g) ( + )( ) =. 33. Considere a equação 4( + 6) = ( 5)( + 6). (a) A equação é equivalente a 4 = 5? Justifique. (b) Determine o seu conjunto-solução. 34. Determine dois números inteiros consecutivos, sabendo que o seu produto é igual ao quíntuplo do menor número. 35. Determine a medida do comprimento do lado de um quadrado, sabendo que a área e o perímetro são epressos pelo mesmo valor (em cm e cm, respectivamente). 36. Num rectângulo, o comprimento é triplo da largura. Determine as dimensões do rectângulo, sabendo que tem 0, 75 cm de área. 37. O produto de dois números ímpares consecutivos ecede o dobro do menor em nove unidades. Quais são os números? 38. As idades de três irmãos são números pares consecutivos. O produto das idades que os dois mais novos terão daqui a quatro anos é doze vezes a idade que o mais velho terá daqui a dois anos. Determine a idade de cada um deles. 7

8 39. Na figura estão representados um losango e um quadrado. Determine a área da região sombreada, supondo que: (a) O comprimento da diagonal maior ecede o da menor em 4 cm e a área do losango ecede a do quadrado em 5 cm. (b) A diagonal maior do losango é dupla da menor. 40. O quadrado da soma de dois números é igual à diferença entre a soma dos seus quadrados e 5. Qual é o produto dos números? 4. Simplifique as seguintes fracções (a) ( + ) ; (b) ; (c) ; (d) ( ) ; (e) (g) Considere a função polinomial + ; (f) ; f : (a) Verifique que é raíz de f. (b) Para todo o real, tem-se que f() = ( ) g(). Encontre o polinómio g(). (c) Resolva a equação f() = Considere o polinómio p() = (a) Determine o polinómio q() de tal modo que p() seja o quadrado de q(). (b) Resolva a equação p() = Indique o conjunto solução de: (a) 5 3 = 0; (b)0 = ; (c) 0 = 7 3; (d) 6 3 = Determine o conjunto solução de: (a) 3 = 7; (b) 3 = 5; (c) 9 = ; (d) 5 = 0; (e) 8 + = 0; (f) 64 6 = 0; (g) 4 8= 0; (h) 5= 0; (i) 3 + 5= 0; (j) = 0; (k) 5 = 3; (l) 3 = 0. 8

9 46. Transforme cada uma das inequações seguintes noutra equivalente em que o primeiro membro seja : (a) 3 < 6; (b) 3 < 6; (c) 3 < 6; (d) 3 < 6; (e) 7 < ; (f) + 3; (g) ; (h) 3 5 ; (i) 3( ) < ; (j) (5 ) + 6 > 7; 5 (k) 7 < ; (l) > ; (m) 3 5 > (o) ( (3 )) ; (n) Resolva, em R, cada uma das seguintes inequações: > 4 ; (a)( + 3)( ) < 0; (b) ( 3)( + 3) < 0; (c) ( )(5 + 4) > 0; (d) ( )(5 + 7) > 0; (e) 3 ; (f) 3 < 8; (g) ( + 6)(3 + 5) < 0; (h) ( 9)( + ) < 0; (i) ( + 5)(3 )( + ) 0; (j) ( )(4 )( 3) < 0; (k) (3 )( ) ( 3) 3 > 0; (l) ( 0 + )( + 6) 0; (m) 3 4 < 6 ; (n) 3 + > 5; (o) ( + )( 6) > Qual será a medida do lado dos quadrados para o qual o valor do dobro da área é maior que a medida do lado subtraída de uma unidade? 49. Considere o polinómio p() = q 84. (a) Determine o número real q de modo que - seja raiz do polinómio. (b) Resolva a inequação p() Considere a função polinomial (a) Prove que e são raízes de g(). g : (b) Determine os valores de que satisfazem a condição g() = 0. (c) Indique, recorrendo a intervalos de números reais, o conjunto-solução da condição g(3) Determine o domínio de cada uma das seguintes epressões designatórias: 3 (a) 3 ; (b) + ; (c) 3 3 ; (d) ; (e) 3 ( ) ; (f) ( + ) ; 3 (g) + 3; (h) 5 3 ; (i) 3 ; (j). ( 3) 9

10 5. Defina, com a forma de intervalos de números reais, o conjunto solução das seguintes condições: 3 (a) + 3 0; (b) ; (c) + 3 0; (d) > ; (e) < 0; (f) ; 3 (g) 4 > 0; (h) ; (i) ( 3)(4 + ) 0; (j) 3 + ; (k) ( ) 3 ( + )5 0; (l) ( + 3) 3 4 0; ( 3)4 (m) 0; (n) > 3 ; (o) ; (p) ; (s) Resolva as seguintes inequações: (q) + 5 > ; (r) + 5 < 0; (a) 3 0; (b) 4 5 < 0; (c) ; (d) 5 + < ; (e) ; (f) < Complete com = ou de forma a obter proposições verdadeiras: (a) ; (b) 3 π... 3 π; (c) π 5... π 5; (d) ; (e) Das afirmações seguintes, quais as verdadeiras e quais as falsas? Em cada caso eplique porquê. (a) =, para todo o R. (b) Qualquer que seja o R, 0. (c) Eiste pelo menos um R, tal que < 0. (d) Eiste pelo menos um R, tal que 0. (e) > então >, para todo, R. 56. Mostre que: (a), R; (b) + y + y,, y R. 57. Resolva, em R, as seguintes equações: (a) + 3 = 9; (b) 3 5 = 7; (c) 6 9 = 0; (d) 4 5 = 9; (e) + 3 = 4 ; (f) 3 = 5 + 4; (g) 3 = ; (h) = + ; (i) + 4 = 4; (j) + 9 = 6; (k) 5 + = 3; (l) = 3 ; (m) = 4; (n) = ; 0 (o) ( + 4) =.

11 58. Nas colunas seguintes cada condição (a i ) (i =,..., 0) é equivalente a uma e uma só condição (b j ) (j =,..., 0). Indique todos os pares equivalentes. (a ) < 4 (b ) 4 < < 6; (a ) < 3 (b ) > 3 < ; (a 3 ) 3 < (b 3 ) 4 < < 4; (a 4 ) + (b 4 ) > ; (a 5 ) > (a 6 ) + 5 (b 5 ) < < 4; (b 6 ) ( 3 ) ( 3); (a 7 ) 5 < (b 7) < < ; (a 8 ) 5 < + (b 8 ) 7 3; (a 9 ) (b 9 ) 6 < < 4 ; (a 0 ) < < 4 (b 0 ) Represente,com intervalos de números reais, o conjunto-solução de cada uma das condições: (a) 3 ; (b) 3 5; (c) 5 4 ; (d) ; (e) > ; (f) + ; (g) < 3; (h) + ; (i) 4 3 0; + 3 (j) 0; (k) 4 0; 4 (l) + 3 0; (m) 3 5 0; (n) 4 4 0; (o) 6 > 5; (p) < Aplique as propriedades das funções eponencial e logaritmo e simplifique as epressões: (a) log + log 5; (b) log 6 log 3 + e log 5 ; (c) e log 5+log ; (d) 3 log 3 + ; (e) 6 log 4 ; (f) log 4 ( ) + log 3 9 ( ) ; (g) log 8 )( ) ; (h) (e ) log ; (i) log e (+) ; (j) ( 3) log 4 ; (k) log 3 + ; (l) log log 3 ; log 3 5 (m) log ( )( 5 5) ; (n) 9 (log ) ; (o) a ( log a )/3, a R + \ {}. 6. Mostre que: log a = log log a, > 0, a ]0, [ ], + [. 6. Simplifique as seguintes fracções (a) e e + ; (b) e + e e ; (c) log 3 log log + ; (d) log log + log ; (e) e3 e 6e (g) e 4 e log. ; (f) e3 + e e e ; 63. Resolva em ordem a as seguintes equações: (a) y = ; (b) y = 3 + log ( e4 ); (c) y = + 4 ; (d) e +3 = 5; (e) y = log( + ) 3 ; (f) log( ) = ; (g) ( 4)5 + = 0; (h) e 5e + 6 = 0; (i) = 0.

12 64. Resolva em R: (a) log a ( + ) = log a ( ); (b)log 3 = + log 9(4 + 5); (c) e + 4e = 5; (d)7 7 5 = 0; (e) > 0; (f) e e < 0; (g) e + > 0; (h) e+ log e + > 0; (i) 4 > 6; (j) ( + log ) log 0; (k) log log 0; (l) log( 4) log( ) 0; (m) ( 3) log ( + ) < 0; (n) ( log ) log( ) 0; (o) log ) log Calcule: (a) arcsin( ); (b) arcsin( ); (c) arcsin( ); (d) cos(arcsin ); (e) arccos( 3 ); (f) sin(arcsin( )); (g) sin(arccos 3 5 ); (h) arcsin(sin( π 3 )); (i) sin( π 3 arcsin 4 5 ); (j) π + arccos( (m) arccot( ); (n) arcsin(sin( 5 (q) arccos(sin 5π 4 ); (r) sin(arcsin 3 + arcsin Simplifique as seguintes fracções (a) sin + cos + sin ; (b) 4 cos ; sin (c) sin + sin ; (d) sin 3 sin cos (sin 3) ; sin 4 (e) (sin + ) ; (f) sin cos + cos ; (g) sin 9 sin + 3 ; 67. Simplifique as seguintes epressões: (h) cos3 cos 3 cos cos. + cos 5 ); (k) cos( arccos( 3 )); (l) arctan(tan(π)); 4 π)); (o) sin(arctan ); (p) cos(arccos( 3 ); (s) cos(arccos 5 7 arccos 7 )); 5 ); (t) sin( arccos 4 5 ). (a) + sin cos ; (b) cos ; sin (c) sin( + π) + sin( 3π); (d) 8 cos( + ); 8 (e) sin( + 3π 7π ) + cos( ) + sin( + 3π) cos(7π ); (f) cos( + π) cos(π ); (g) sin(5π ) + tan(3π ) + sin( 3π) + 3 tan( 7π) ; (h) cos() ; (i) tan( + π) + tan( π); (j) sin ; (k) sin + cos ; (l) sin + sin ; (m) + sin sin 4 ; (n) cosh sinh tanh ; cosh sinh sinh (o) + + sinh ; (p) cosh ; (q) cosh cosh cosh 3 ; (r) + sinh + cosh().

13 68. Verifique as seguintes igualdades: (a) sin( + π 4 ) sin( π 4 ) = sin, R; (b) sin(3) = 3 sin 4 sin 3, R; (c) cos() + cos( + π 3 ) + cos( π 3 ) = 0, R; (d) cos(3) = 4 cos 3 3 cos, R; (e) [cos() + cos()] + [sin() + sin()] = + cos(), R; (f) + cos ( ) ( ) = cos 4, R; (g)tan() = tan() ( + ) tan() ; (h)arctan = arcsin ; + (i) sinh(3) = 3 sinh + 4 sinh 3 ; (j)cosh(3) = 4 cosh 3 3 cosh ; (k) + cosh ( ) = cosh ( ) 4 ; (l) tanh ( ) = sinh +cosh. 69. Mostre que: (a) sinh( ) = sinh ; (b) cosh( ) = cosh ; (c) cosh sinh = ; (d) sinh( + y) = sinh cosh y + sinh y cosh ; (e)cosh = [ + cosh()]; (f)cosh cosh y = [cosh( + y) + cosh( y)]; (g) sinh = [cosh() ( ) ]; (h) (cosh + sinh )n = cosh(n) + sinh(n), n N; (i) arg tanh = log +, ], [; (j) arg sinh = log( + + ); (k) arg cosh = log( + ),. 70. Resolva as seguintes equações: (a) sin = 3; (b) sin() + sin π 4 = 0; (c) tan ( ) 3 = ; (d) cos = sin cos ; (e) 3( cos ) = sin ; (f) cos + sin() = 0; (g) sin = cos ; (h) sin sin() = 0; (i) 3 cos = sin + cos ; (j) cos cos(4) = cos() cos(3); (k) cos + 3 = 4 cos ; (l) 3sin +sin tan = ; (m) log ( sin(3 )) = ; (n) log (sin + ) = 0 ; (o) cos tan = cos ; (p) cos + 3 = 3 sin + 4 cos ; sin (q) + cos cos sin = ; (r)log (arctan ) + 3 log(arctan ) + = 0; (s) arcsin( + ) = π 4 ; (t) sinh = 5; (u) cosh + sinh = 3; (v) + sinh = 3 cosh ; (w) e tanh +tanh cosh = ; () sinh sinh + = Resolva as seguintes inequações: (a) log( ) arctan( + ) 0; (b) (log + )( 3) arctan π 4 (c) ( + )(e ) arcsin 0 ; 0 ; (d) (log )(arcsin + π 4 ) 0; (e) arctan + π 6 log( + ) 3 0 ; (f) log( ) log( ) + ; (g) earcsin ( 5 + 4) arccos e 4e + 3 < 0 ; (h) ( )(arccos π ) 0 ; (i) log + arcsin > 0; (j) arg cosh( + 3) < 0; (k) log(cosh ) 0; (l) earg sinh ( ) 0; cosh + (m) sinh 3 <. 3

14 Capítulo Funções Reais de Variável Real. Dadas as funções reais de variável real, m e p, definidas por m() = + e p() = (a) Calcule o domínio e o contradomínio das funções. (b) Calcule (m p)() e (p m)(0). (c) Caracterize as funções (m p) e (p m).. Sendo f e g duas funções reais de variável real definidas por f() = 4 e g() = 3 + (a) Calcule o domínio e o contradomínio das funções. (b) Caracterize as funções (f g) e (g f). (c) Mostre que (f g) tem dois zeros e que (g f) não tem zeros. 3. Sendo f e g funções reais de variável real definidas por f() = e g() =. Determine epressões para as funções compostas (f f), (g f), (f g), (g g) e indique o domínio de cada uma dessas funções. 4. Sendo f, g e h funções reais de variável real definidas por f() = +, g() = e h() =, caracterize as funções (f g), (f f), (g h), (h g). 5. Considere a função f, real de variável real, definida por f() = 4 (a) Indique o domínio e o contradomínio de f. (b) A função f é injectiva? Justifique. (c) Caracterize uma restrição g de f, injectiva e cujo domínio seja R Dadas as funções f e g, reais de variável real, definidas por f() = + 3 e g() = 3 (a) Calcule o domínio de f e g. 4

15 (b) Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: i. y R\{}, D f : f() = y; ii. y R, R : g() = y. (c) As funções f e g são sobrejectivas? Justifique. 7. Dadas as funções reais de variável real definidas por: (i) f() = 3 ; (ii) h() = { ; (iii) s() = 3 +3 ; (iv) g() = ln() se >. 5 se (a) Calcule o domínio, o contradomínio e os zeros de cada uma das funções. (b) Classifique-as quanto à injectividade e sobrejectividade. 8. Considere as correspondências definidas por: (i) f : R\N R\Q (ii) f : R\N R (iii) f : R\]0, { ] R\], 0] se com f() = 5 se > 0 Para cada alínea verifique se: (i) f é uma função; (ii) f é injectiva; (iii) f é sobrejectiva. 9. Das seguintes afirmações indique, justificando, as verdadeiras e as falsas: (a) Seja f : R R tal que f() = f(3); então f é injectiva; (b) Seja f : R R tal que f() = f(); então f não é injectiva; (c) Seja f : R R tal que f() não eiste; então f não é injectiva; (d) Seja f : R R tal que f() f(3); então f é injectiva; (e) Seja f : R R tal que f() = ; então f é injectiva; (f) Seja f : R R tal que f() f(3); então f é injectiva; (g) Seja f : R R tal que f(r) = R; então f é sobrejectiva; (h) Seja f : R R tal que f(r) = ; então f é sobrejectiva. 0. Dadas as funções reais de variável real, f() = 8 4; g() = + ; h() = ; j() = +. (a) Determine os seus domínios. (b) Indique os contradomínios das funções g() e h(). (c) Indique as funções que são injectivas. (d) Indique as funções que são bijectivas. (e) Caracterize, eplicitando o domínio e a epressão analítica, a aplicação inversa de g(). (f) Caracterize a aplicação (h g)().. Indique, justificando, se as seguintes funções têm inversa: y y (a) (b) 5

16 y y (c) (d). Diga, justificando, quais das seguintes funções são limitadas. (i) f() =, R; (ii) f() =, R + ; (iii) f() =, [0, 6]; (iv) f() = cos() 7, R. 3. Estude as funções seguintes quanto à paridade. (i) f() = + 3 3, R; (ii) f() = , R; (iii) f() =, R\{ }; (iv) f() = +, R; + (v) f() = 3 +, R\{ }; (vi) f() =, R. 4. Diga quais das seguintes funções são periódicas e indique o período: (i) f() = sin( + 5), R; (ii) g() = ( ) + 6, R\{ 6}; (iii) h() = sin, R. π 5. A figura mostra a parte situada à direita do eio dos yy do gráfico de uma função f(). y (a) Complete o gráfico se f() é uma função par. (b) Complete o gráfico se f() é uma função ímpar. 6

17 6. A figura representa o gráfico de uma função f(). y (a) Esboce o gráfico da função g() definida por g() = f(). (b) Esboce o gráfico de f(). (c) Esboce o gráfico da função h() = f( ). (d) Esboce o gráfico da função i() = f( ). 7. Considere a função real de variável real f definida por f() = (a) Indique o domínio e o contradomínio de f. (b) Averígue se f é injectiva. (c) Caso seja possível, determine a função inversa f. (d) Esboce, no mesmo referencial, os gráficos de f e f ( ). 8. Determine, caso seja possível, a função inversa, domínio, contradomínio e epressão analítica da função definida por: (i) f() = 3 ; (ii) f() = ; (iii) f() = (v) f() = + ; (vi) f() = 3 + ln ( 3 ; e4 (iv) f() = + 4 ; ) ; (vii) f() = + log (3 ) ; (viii) f() = + 5 ; 9. Considere a função g, real de variável real definida por g() = log 5 ( 3). (a) Determine o domínio e o contradomínio de g. (b) Calcule, se eistirem, os zeros da função. (c) Caracterize a função inversa de g. 0. Seja t a função real de variável real definida por t() = log (9 ). (a) Indique o domínio e o contradomínio de t. (b) Justifique que a função não tem inversa. (. Considere a função f, real de variável real, definida por f() = ln (a) Indique o domínio de f. (b) Prove que f é ímpar. (c) Caracterize a função inversa de f, caso eista. + ). 7

18 . G, G, G 3 e G 4 são gráficos (mas não necessariamente por esta ordem) das funções reais de variável real, definidas como se segue: y G G G 3 G 4 f() = + α g() = β h() = + β i() = β j() = + α l() = + β m() = α com α e β pertencentes a R +. Faça corresponder a cada função o respectivo gráfico. 3. Represente geometricamente a função inversa das seguintes funções: (a) y (b) y 8

19 (c) y (d) y + 3 se > 4. Considere a função f, real de variável real, definida por f() = + se + 3 se <. (a) Represente graficamente uma restrição de f ao intervalo [ 4, 4]. (b) Verifique graficamente e prove analiticamente que f é uma função par. { se R\[, ] (c) Sendo g a função definida por g() = caracterize analiticamente (f + g) e esboce o seu se [, ] gráfico. 5. Represente graficamente cada uma das funções reais de variável real definidas por: (a) f() = 6 + 0; (b) g() = + + 6; (c) h() = + ; se 0 (d) i() = se 0 < 5 5 se 3 { se < 0 (e) j() = se 0 ; { se 3 (f) l() = ( 4) se > 3. ; 9

20 6. Dadas as funções f e g, reais de variável real, definidas por f() = + e g() = +. (a) Calcule o domínio de f e g. (b) Determine os zeros de (f g). (c) Caracterize as funções (f + g), (f g), (f g) e f g. 7. Determine o domínio e o contradomínio das funções definidas por: (a) f() = 3 + arcsin(3); (b) f() = + arcsin( + ); (c) f() = arcsin( ); (d) f() = 3 arccos( 3); (e) f() = π + arccos( ); (f) f() = arctan( +5 ). 8. Caracterize a função inversa de cada uma das funções definidas por: + arccos(3) (a) f() = sin(3); (b) f() = 3 arcsin( ); (c) f() = ; (d) f() = 5 3 arccos( 3 ); (e) f() = cot( + π 3 ); (f) f() = tan( π 4 ) arctan( 3 ). 9. Considere a função real de variável real f definida por f() = arcsin(3 ). (a) Determine o domínio de f. (b) Calcule f() + f( 3 ) f(4 + ). 6 (c) Determine os zeros de f. (d) Caracterize a função inversa de f. 30. Considere a função real de variável real definida por g() = π 3 arccos( + ). (a) Calcule g( ) g( 3 ). (b) Determine o domínio e o contradomínio da função. (c) Calcule os zeros de g, se eistirem. (d) Caracterize a função inversa de g. 3. Considere a função real de variável real definida por h() = π 4 + arctan( ). (a) Calcule h(0) + h(). (b) Determine o domínio e o contradomínio de h. (c) Analise a eistência de zeros para a função. 3. Seja f a função real de variável real definida por f() = + arccot( + ). (a) Calcule f(0) + f( ). (b) Determine o domínio, o contradomínio e, se eistirem, os zeros de f. (c) Caracterize a função inversa de f. 33. Seja g a função real de variável real definida por g() = principal). sin( π (Considere a restrição ) (a) Caracterize a função inversa de g. (b) Calcule g(arcsin( 5 )). 34. Determine sabendo que = sin(arccos( 6 )). 0

21 35. Seja g a função real de variável real definida por g() = tan( ). (a) Determine o domínio de g. (b) Calcule g( π 3 ). (c) Averigue qual o valor lógico da proposição: D g, g( + π) = g(). (d) Sabendo que g(a) = 3 e que 3π < a < π, calcule cos(a ). 36. Considere a função real de variável real definida por f() = arccos( 3 (a) Determine o domínio e o contradomínio de f. (b) Caracterize a função inversa de f. (c) Resolva a equação f() = π 4. ).

22 Capítulo 3 Limites e Continuidade. Considere a função: Mostre que lim a f() = 0.. Considere as funções: f() = + Determine lim 3 (f() g()). 3. Considere as funções: Calcule lim (u() v()) Considere as funções: f() = { a se a se = a. 7 ( 3) e g() = ( 9)( 3). u() = + 5 e v() =. u() = e v() = 3. Calcule lim 0 u().v(). 5. Investigue a eistência de limite, ou limites laterais, no ponto indicado, para cada uma das funções definidas pelas epressões analíticas seguintes: (a) 5, = ; (b) , = ; { 7 se (c) +, = ; (d) se >, = ; (e) + +, = (f) , = + ; (g), = 3; (h) 3, = 0.

23 6. Estude a continuidade das funções e classifique as descontinuidades, se eistirem { (a) f() = se 3 e se < 3 ; (b) f() = se = 3 + se ; { { se < se < 0 (c)f() = ; (d) f() = e se ln( + ) se Considere a função: { k se < 3 f() = + se 3. Determine k de forma que a função seja contínua em = Considere a função: ( ) sin se 0 f() = 5 se = 0. (a) Mostre que f() não é contínua em = 0. (b) O que seria necessário alterar para que a função passasse a ser contínua em = Discuta a continuidade de f() =

24 Capítulo 4 Cálculo Diferencial. Calcule as seguintes derivadas, por definição: (a) f() =, no ponto = ; (b) f() =, no ponto = 0; (c) f() = ln, no ponto =.. Determine, usando a definição, f ( 0 ) nos seguintes casos: (a) f() =, 0 R\{0}; (b) f() =, 0 R + ; (c) f() = ln, 0 R Calcule, se eistirem, as derivadas laterais de cada uma das seguintes funções: (a) f() = + se <, no ponto = ; se { ( 3) + se 0 < 3 (b) f() =, no ponto = 3; 5 se 3 5 { se 0 (c) f() = + e, no ponto = 0. 0 se = 0 4

25 4. Calcule a função derivada das seguintes funções reais: () f() = 3( + )( 3); () f() = ( + ) + + ; (3)f() = 4(3 ) ; (4)f() = (3 + 5) 3 ; (5)f() = ( + ) 3 (3 ) ; (6)f() = + 3 ; + (7)f() = ; (8)f() = ; (9)f() = e 3 ; (0)f() = ; ()f() = 3 ; ()f() = e + ; (3)f() = ln () + ; (4)f() = ln ; (5)f() = sin 3 () ; (6)f() = ln (ln ( )); (7)f() = ln (arctan (3)) ; (8)f() = 7 ( 3 + ) 6 ; ( ) (9)f() = sin () tan ( ) + cos ( 3 + sin ) ; (0)f() = ln ; sin ()f() = (sin ) ln(tan ) ; (3)f() = ln(sin ) + sin(ln()) ; ()f() = 5 ; ( e e (4)f() = arctan (5)f() = ( ) ; (6)f() = 3 ln ; (7)f() = e + e ; (8)f() = e ( ); ln(ln ) (9)f() = ; (30)f() = sinh ; arccos (3)f() = cosh( ; ) (3)f() = tanh ; (33)f() = tan cosh( + ) ; (34)f() = sinh(ln ); (35)f() = e ( cos ; ) (36)f() = ln(tan ( 5 )); (37)f() = ln ; (38)f() = cosh( ) ln(sinh ) Mostre que se y = c e + c e + e, c e c constantes, então y 4y + 4y = e 6. Calcule a derivada de ordem n das seguintes funções. (a) f() = m ; (b) f() = sin ; (c) f() =. 7. Mostre que a derivada de ordem n da função f() = e é dada por f (n) () = ( ) n ( n)e. 8. Mostre que, a derivada de ordem n da função f() = ln(a + b), é dada por f (n) () = ( ) n (n )! a n, para todo o n natural. (a + b) n 9. Em cada uma das alíneas, calcule a derivada da função h() = (fog)() utilizando o Teorema da Derivada da Função Composta: (a) f() = 3 + e g() = ; ) ; (b) f() = 3 e g() = cos ; (c) f() = 3 e g() = cos ; 5

26 (d) f() = 3 3 e g() =. 0. Determine as equações da recta tangente e da recta normal às seguintes curvas, nos pontos indicados. (a) f() = 3 3 +, 0 = ; (b) f() = 3 4, 0 = ; (c) f() = ln, 0 = 5; (d) f() =, 0 = 0; (e) f() = 4, 0 = 0; (f) f() = ln( 5), 0 = 3.. Escreva a equação da recta tangente a y + y = no ponto (, 0).. Seja y = f() definida implicitamente por + y =. Escreva a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y =. 3. Considere a função y = f(), definida implicitamente por arcsin( y) = tan(y ). (a) Calcule a derivada, de ª ordem, da função y = f(). (b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de ordenada y =. 4. Considere a função y = f(), definida implicitamente por y arctan ( y) = ln(e + y ). (a) Calcule a derivada, de ª ordem, da função y = f(). (b) Escreva a equação da recta tangente à curva no ponto de ordenada y =. 5. Seja y = f(), definida implicitamente por e y + arctan( y) = ln(e + y ). Escreva a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y =. 6. Seja y = f() definida implicitamente por arctan(y) + y =. Escreva a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y =. 7. Seja y = f() definida implicitamente por arcsin y + + y =. Escreva a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de ordenada y = Seja y = f() a função definida implicitamente pela equação y = y. (a) Determine a equação da recta normal ao gráfico da função no ponto de ordenada. (b) Calcule (F of) () sabendo que F ( ) = e 9. Seja y = f() definida parametricamente por = arg sinh(3t + t 3 ) e y = tanh t, (t R). Calcule f (0). 6

27 0. Calcule f (0) e escreva uma equação da recta tangente ao gráfico da função y = f(), no = e3t e 3t ponto = 0, sendo f definida parametricamente por e 3t + e 3t, (t R). y = e 3t + e 3t. Um objecto rola num plano inclinado de tal modo que a distância s(t) (em metros) que ele percorre, em t segundos, é dada por s(t) = 5t +. (a) Qual a sua velocidade após um segundo? (b) Quando é que a sua velocidade será de 8m/s?. A função posição s(t), de um ponto em movimento rectilíneo, é dada por com t medido em segundos e s em metros. s(t) = t 3 5t + 48t 0, (a) Determine a aceleração quando a velocidade é de m/s. (b) Determine a velocidade quando a aceleração é de 0m/s. 3. Prove que f() = verifica a hipótese do Teorema do Valor Médio em [, 4] e determine c ], 4[ que satisfaz a conclusão do referido Teorema. 4. Se f() =, mostre que f() = f( ),mas f (c) 0, c ], [. Porque não contradiz tal facto o Teorema de Rolle? 5. Mostre que f() = 3 + satisfaz a hipótese do Teorema de Rolle em [0, 4]. 6. Verifique se a função f() = [0, ]. satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio em ( ) 7. Prove que a função f() = 5 sin() 0 log 3π ( + ) tem pelo menos um zero no intervalo [0, 3π] e determine-o com duas casas decimais correctas. 8. Calcule os limites: 4 (a) lim 0 7 sin() (d) lim 0 sin() (g) lim 0 +, (b) lim, (e) lim +, (h) lim + cos(), (c) lim 0 + cos() ; , (f) lim ; ( + ) sin(), (i) lim 0 cos() ; e α e β (j) lim 0 sin(α) sin(β), (k) lim 0 sin(), (l) lim + e ; (m) lim ( sin()) cos (). π 9. (a) Enuncie e faça a interpretação geométrica do Teorema de Lagrange (Valor Médio). (b) Dada a função f() =, verifique se o teorema anterior garante a eistência de c ], [,tal que f (c) = f() f(). 7

28 30. Considere a função f, real de variável real, definida por: f() = (a) Indique o domínio da função. ( π ) sin ln( ) (b) Estude a continuidade da função no seu domínio.,, >. 3. Calcule lim 0 ln(cos()). 3. Estude as seguintes funções, reais de variável real, quanto à monotonia e determine o seu contradomínio, calculando em seguida, se eistir, a inversa. (a) f() =, (b) f() = ln(), + (c) f() = ; (d) f() = +, (e) f() = +, (f) f() = ln( ). 33. Determine os máimos e mínimos locais das seguintes funções. (a) f() = 8 + 8, (b) f() =, (c) f() = e ; (d) f() = + 3, (e) f() = +, (f) f() = sin() Estude as seguintes funções quanto ao sentido da concavidade e determine eventuais pontos de infleão. (a) f() = 3 3, (b) f() = +, (c) f() = ; (d) f() = sin() + cos(), (e) f() =, (f) f() = cos(3). 35. Determine as assímptotas de curvas representativas, das seguintes funções reais de variável real. (a) f() =, (b) f() = e +, (c) f() = sin() ; (d) f() = 3 4, (e) f() = + e, (f) f() = ln( ). 8

29 36. Faça o estudo completo das seguintes funções reais de variável real. (a) f() = ; (b) f() = 5 ; (c) f() = 3 ; (d) f() = ln( + ); (e) f() = + + ; (f) f() = sin() + cos(); (g) f() = e cos(); (h) f() = ln ; (i) f() = arctan(sin() + cos());, < 0 (j) f() =. ln( + ), Considere a função 4 se < f() = ln( ) se. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições (a) o domínio de f é ], + [. (b) f é contínua em =. (c) f () =. (d) f tem um mínimo local em = 0. (e) f tem concavidade voltada para baio em [, + [. 38. Na figura seguinte está representado o gráfico de uma função real de variável real, para [ 4, 4]. y Faça um esboço gráfico da respectiva derivada. 39. De entre dois números reais positivos, cuja soma é 40, determine aqueles cujo produto é máimo. 40. De entre os rectângulos de perímetro P, qual o de maior área? 4. Uma pista de atletismo, com perímetro de 400m, é formada por duas semicircunferências iguais e dois segmentos de recta iguais. Quais são as dimensões da pista (comprimento dos segmentos de recta e raio da circunferência) que compreendem área máima? 9

30 4. Mostre que se a soma de dois números é constante, a soma dos seus quadrados é mínima quando estes dois números são iguais. 43. As medidas sucessivas duma grandeza (que varia em R) deram os seguintes resultados: Minimize a soma dos quadrados dos desvios,, 3,, n, n S() = ( ) + ( ) + + ( n ). 44. Calcule o diferencial das seguintes funções, nos pontos indicados, para os acréscimos referidos: (a) 5, =, d = 0.; (b) y = ln() +, =, d = 0.0; (c) y = e, = 0, d = 0.; (d) y = 4, = 6, d = Calcule o valor aproimado de: (a) 4.0, (b) , (c) Obtenha, por meio de diferenciais, o aumento aproimado novolume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 0 cm a 0. cm. Qual a variação eacta do volume? 47. À medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha cónica cuja altura é sempre igual ao raio. Se em dado instante, o raio é de 0 cm, use diferenciais para aproimar a variação do raio que ocasiona um aumento de cm 3 no volume da pilha. 48. Pretende-se construir uma caia rectangular fechada com altura igual à largura e com m 3 de volume. Se os custos por metro quadrado de material, para os lados, o fundo e a tampa são, respectivamente, euros, 3 euros e euro, determine as dimensões que minimizam o custo total da caia. 49. A soma dos lados AC e BC do triângulo da figura é dada por: f() = ( + a) + h + ( a) + h. y C(,y) h A a O B a De todos os triângulos com base e área fia, procure o que tem menor perímetro. 30

31 50. O Sr. Manuel pretende alugar uma casa. Se ele viver a quilómetros do seu local de trabalho, o custo do seu transporte será de c euros por mês. Por outro lado, a sua renda será 5c euros. A que distância do seu trabalho ele deverá viver, de forma que as suas + despesas, de transporte e renda, sejam mínimas. 3

32 Capítulo 5 Cálculo Integral. Calcule: (a) 3 d; (d) + + d; (g) e cot(e ) d; (b) (e) (h) 4 3 e d; e 4 3 e 4 d; e arctan() (j) + d; (k) 4e d; (l) (m) sin(3) cos (3) d; (n) tan() cos () d; (p) 3 d; (q) 4 d; (c) d; (f) (e 7 e 7 ) d; (i) (o) (cos(6) + cos( )) d; (r) 3 ( + ln()) d; cos() sin() + sin () d; (sin(5) + sin()) d; d.. Calcule: (a) d; (d) (g) (j) a + 3 d; (b) (e) d, n ; (h) ( a) n a d; (k) a b 3k 3 d; d; (c) tan () sec () d; (f) d; (i) + cos() + d; (l) d; + a d; a ( + b) d; (m) arcsin() d; (n) sin() cos(4) d; (o) cos(6) cos(5) d; (p) e tan() cos () d; ln() (q) d; (r) tan() cos() sin( 3 ) d. 3

33 3. Calcule, utilizando o método de Primitivação por Partes: (a) ln() d; (b) e cos() d; (c) sin(ln()) d; (d) e d; (e) e d; (f) 3 e d; (g) sin() d; (h) ln () d; (i) 3 e d; (j) cos () d; (m) cos(ln()) d; (k) (n) ln() d; arctan() d; (l) ln() d; (o) sin(3) cos() d; (p) cos() d; (q) arccos() d; (r) arcsin() d; (s) ( ) cos() d; (t) (v) 5 d; sin () cos () d; ln () () d. (u) ( + ) 0 ( + ) d; 4. Calcule as seguintes primitivas de potências de funções trigonométricas: (a) cos 3 () d; (b) sin 5 () d; (c) sin () d; (d) cos () d; e) sin 4 () d; (f) cot 3 () d; (g) tan 3 () d; (h) tan () d; (i) cot 4 () d. 5. Calcule as seguintes primitivas de funções racionais: + (a) d; (b) ( )( 3) ( ) d; (d) (g) (j) (m) d; (e) ( + )( 3) d; (h) ( ) d; (k) ( + ) + (3 + 5) d; (n) ( ) + ( ) d; (c) (f) + d; (i) ( ) ( ) 3 d; (l) ( + ) + 3 ( + ) d; (o) ( )( + ) d; d; + ( ) 3 d; ( + )( ) d; ( + ) ( + ) d. 33

34 6. Calcule as seguintes primitivas efectuando a mudança de variável adequada: 3 (a) d; (b) ( ) d; (c) d; (3 ) (d) (g) (j) 3 d; (e) d; (h) 4 d; sin 5 () cos() d; (k) (4 + ) d; (f) d; (i) d; d; (l) + 9 d. 7. Calcule as seguintes primitivas: e 4 (a) e d; (b) (d) d; (g) ln() d; (j) arcsin() d; (m) (p) (s) e + e d; (c) + e ln() (e) d; (h) (f) d; (i) ( + 3)( + )( + 5) (k) sin 3 () d; d; + 5 e (n) e + d; (o) sin() cos() d; (q) ( ) d; (r) + /3 d; (t) sin() cos() + sin 4 () d; (u) 5 d; ln() d; cos(a + b) d; (l) arctan() d; sin() cos() + cos () d. arccos(); d; + d. 8. Seja h() = e (a) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de h em = 0. (b) Prove que o gráfico da função dada intersecta a recta de equação y = + em pelo menos um ponto do intervalo ]0, [. (c) Determine a função H, primitiva de h, tal que H(0) = 0. 34

35 9. Calcule os seguintes integrais definidos: (a) 5 3 d; (b) d; (c) 3 d; (d) 3 d; (e) e d; (f) π π sin( ) d; (g) (j) 5 3 d; (h) ( + )( 3 + ) d; (k) e ( ) 9 d; ln() d; (i) (l) π 0 4 cos 3 () d; 3 + d. 0. Calcule a medida da área da região plana limitada pelos gráficos das equações: (a) y = 0 e y = 4 ; (b) y = 7 + 6, y = 0, = e = 6; (c) = 8 + y y, = 0, y = e y = 3; (d) y = e y = 0; (e) = 4 y e = 0; (f) y = 6 e y = ; (g) y = 4 e y = 4; (h) y = e, y =, = 0 e = ; (i) y = e, y =, = e = ; (j) y =, + y = e = ; (k) y = e, y = +, = 0 e = ; (l) y = sin(), y = cos(), = π e = π 6.. Calcule a medida da área da menor região limitada pelo círculo + y = 5 e pela recta = 3.. Determine a medida da área de superfície comum aos círculos + y = 4 e + y = Calcule a área da região plana fechada, delimitada por y = e y =. 4. Calcule a área da região plana fechada, compreendida entre as curvas y = 3, y + = e y + = A região plana limitada pelos gráficos das equações y =, y = e y = roda em torno do eio dos. Determine a medida do volume do sólido gerado por essa rotação. 6. A região plana limitada pelos gráficos das equações y = 3 e y = roda em torno do eio dos. Determine a medida do volume do sólido gerado por essa rotação. 7. Determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eio (a) da elipse b + a y = a b ; (b) da região sob o gráfico da y = sin(), = 0 e = π. 8. A região plana limitada pelos gráficos das equações y = e, y = 0, = 0 e = roda em torno do eio dos yy. Determine a medida do volume do sólido gerado por essa rotação. 9. Determine o volume do corpo gerado pela rotação da catenária y = a (e a + e a ) em torno do eio dos entre os planos = 0 e = a. 35

36 0. Determine o volume do toro gerado pela rotação do círculo + (y b) = a em torno do eio das abcissas (supõe-se que b a).. A figura delimitada pela curva y = e e pelas rectas y = 0 e =, roda em torno do eio das abcissas. Determine o volume do sólido de revolução gerado.. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eio dos yy, da região limitada pela circunferência + y y = Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios: (a) 0 ln() d; (b) + 0 e d; (c) 3 + d; (d) + e d; (e) + sin() d; (f) 0 + d; (g) 0 d; (h) + e d; (i) + 0 d; (j) (m) + b a b d; (k) + a ( a) 3 d (a < b); (n) b d; d; (l) (o) 4 + a 4 d; 7 d (a > 0); (p) d; (q) d; (r) 0 + d. 36