UNIVERSIDADE DO ALGARVE

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELÉCTRICA E ELECTRÓNICA ANÁLISE MATEMÁTICA I

2 Plano da Disciplina Bibliografia Roteiro para as Aulas Teóricas, Teórico-Práticas e Orientação Tutorial Enunciados dos Eercícios das Aulas Teórico-Práticas Algumas Soluções Enunciados de Testes e Eames. Algumas Soluções dos Testes e Eames. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

3 PLANO DA DISCIPLINA Análise Matemática I ANO LECTIVO 009/00 (º Ano º Semestre) DOCENTE RESPONSÁVEL: DOCENTE QUE LECCIONA: Prof.ª Doutora Maria Gabriela Schütz Prof.ª Ana Bela Santos Prof.ª Larissa Labakhua OBJECTIVOS: Fornecer uma base sólida sobre Análise Matemática em R, que permita aos estudantes o prosseguimento, bem sucedido, nas restantes disciplinas do curso. Em termos genéricos pretende-se que o estudante desenvolva as suas capacidades de raciocínio indutivo e dedutivo, de aprofundar conhecimentos com objectividade, de eposição e tratamento dos conhecimentos que vão sendo adquiridos com clareza e rigor de linguagem. Especificamente o estudante deve dominar os conceitos envolvidos nos conteúdos programáticos, utilizá-los com destreza e saber aplicá-los, com maleabilidade e sentido crítico, a outras disciplinas e a outras áreas científicas. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO. NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS.. Números inteiros e números racionais... Números reais.... Módulo de um número real... Números compleos.... Forma algébrica.... Representação geométrica Plano de Cauchy ou de Argand.... Forma trigonométrica e forma eponencial.... Operações com compleos.... Igualdade, Adição, Subtracção, Multiplicação, Divisão, Potenciação, Radiciação...5. Propriedades dos compleos...6. Curvas e regiões do plano.. SUCESSÕES E SÉRIE.. Sucessões: Definição... Séries: Definição.. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL.. Definição e gráficos... Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa e implícita... Funções trigonométricas, logarítmicas e eponenciais... Limites e continuidade.... Definições.... Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos.... Propriedades dos limites.... Casos particulares...5. Continuidade teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass..5. Derivadas..5.. Definição e interpretação geométrica. Eemplos. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

4 .5.. Regras de derivação..5.. Derivadas das funções logarítmica, eponencial e trigonométricas..5.. Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica Aplicação das derivadas para levantar indeterminações..6. Diferencial e derivadas de ordem n..6.. Diferencial da soma, do produto e do quociente..6.. Derivadas de ordem n..6.. Diferencial de ordem n..6.. Fórmula de Taylor e de Maclaurin..7. Primitivas..7.. Definição..7.. Primitivas imediatas..7.. Integral indefinido..7.. Integral indefinido por substituição e por partes Integral indefinido de funções racionais..8. Cálculo integral..8.. Soma integral e função integral no sentido de Riemann..8.. Integral definido definição e propriedades, Fórmula de Barrow..8.. Integração por partes e por substituição..8.. Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução. AVALIAÇÃO Avaliação Contínua: provas escritas parcelares (P e P) e participação nas aulas teórico-práticas e tutoriais (PT). P + P Classificação = 0,9 + 0, PT, com classificação mínima de 8 valores nas provas P e P, sendo todas as provas avaliadas na escala de 0 a 0. Avaliação Final: Eame escrito, avaliado na escala de 0 a 0. O aluno fica aprovado se obtiver classificação igual ou superior a 0 na avaliação contínua ou na avaliação final. NOTA SOBRE OS TESTES E EXAME Para a ª Frequência e Eame é obrigatória a inscrição no Secretariado da ADEE. Os testes duram no máimo h:0m e os eames h. Os alunos devem apresentar o seu B.I., ou Cartão de Estudante, de modo a permitir a sua identificação. Os alunos não podem sair da sala durante os testes, e/ou eame, ecepto quando desistirem ou mediante a entrega da prova, e nestes casos só o podem fazer ½ hora depois do seu início. Não é permitida (nem necessária) a utilização de máquina de calcular. Não é permitido qualquer tipo de consulta. Os alunos devem trazer apenas o material necessário (folhas de teste, folhas de rascunho, canetas, régua). Todos os cálculos efectuados deverão estar escritos na folha de prova. A resolução não sequencial das perguntas e alíneas deverá estar devidamente assinalada. Não serão consideradas respostas diferentes para a mesma pergunta. Carga Horária = ( horas teóricas + horas teórico-práticas + horas orientação tutorial) / semana UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

5 BIBLIOGRAFIA Folhas editadas pela Área Departamental de Engenharia Electrotécnica (disponíveis na Internet e na reprografia da Associação Académica). Cálculo (Vol. ) Apostol, Tom, Editora Reverté, Lda. Cálculo Diferencial e Integral, (vol. ) N. Piskounov, Editora Lopes da Silva Mathematics for Engineers and Scientists, (Vol. ), Bajpai; Calus; Fairley Matemática para Engenharia, (Vol. II), Ia. S. Bugrov, S. M. Nikolski, Editora Mir Moscovo Curso de Análise Matemática, J. S. Guerreiro, Livraria Escolar Editora Lições de Cálculo Diferencial e Integral, A. Ostrowski Cálculo com Geometria Analítica, (Vol. ), Swokouski, Makron Books, McGraw-Hill Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em R e McGraw-Hill n R, A. Azenha & M.A. Jerónimo, Introdução à Análise Matemática, Campos Ferreira, J., Fundação Calouste Gulbenkian (987) Análise Matemática, Leituras e Eercícios, Sarrico, C., Gradiva UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

6 ROTEIRO PARA AS AULAS TEÓRICAS, TEÓRICO-PRÁTICAS E TUTORIAIS ª SEMANA: NÚMEROS REAIS /09/009 Teórica Apresentação do programa, da metodologia a seguir e da avaliação.. Números reais e compleos... Números inteiros e números racionais... Números reais. Módulo de um número real. Teórico-Prática: Eercícios: a),. Orientação Tutorial: Eercícios: b), (º Teste-5//006). ª SEMANA: NÚMEROS COMPLEXOS 0/09/009 Teórica.. Números compleos.... Forma canónica e forma algébrica. Módulo e conjugado de compleos. Propriedades.... Operações com compleos na forma algébrica: Igualdade, adição, subtracção, multiplicação e divisão. Eemplos práticos.... Representação geométrica. Plano de Cauchy ou de Argand. Forma trigonométrica. Módulo, argumento de um compleo. Eemplos práticos.... Forma eponencial de um compleo. Teórico-Prática: Eercícios: a) b) c)(ii, v) e)(ii). Orientação Tutorial: Eercícios: c)(i, iii, vi), d), e)(i), f), h). ª SEMANA: NÚMEROS COMPLEXOS 07/0/009 Teórica..5. Operações com compleos na forma trigonométrica: Igualdade, multiplicação e divisão...6. Teorema de Moivre...7. Divisão, potenciação e radiciação. Eemplos práticos. Teórico-Prática: Eercícios: a), 5 a)(i), 6, 8, 0,. Orientação Tutorial: Eercícios: b), 5 a)(ii), 7,,,. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5

7 ª SEMANA: NÚMEROS COMPLEXOS /0/009 Teórica..8. Curvas e regiões do plano de Argand. Definição da circunferência, elipse, recta, semi-planos no plano compleo. Eemplos práticos. Teórico-Prática: Eercícios: 5, 7. Orientação Tutorial: Eercícios: 6,. (º Teste-0//005),. (º Teste-5//006). 5ª SEMANA: SUCESSÕES E SÉRIES E FUNÇÕES EM R. /0/009 Teórica. Sucessões e séries.. Sucessões: Definição, limite e convergência... Séries infinitas. Propriedades... Séries Geométricas.. Funções em R :.. Noções topológicas... Definição e gráficos... Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa, implícita, logarítmica e eponencial... Estudo das funções trigonométricas e suas funções inversas. Teórico-Prática: Eercícios: 9 a),, 0. Orientação Tutorial: Eercícios: 8 b), 9 b),, 5, 7, 8. 6ª SEMANA: LIMITES E CONTINUIDADE 8/0/009 Teórica.5. Limites e continuidade:.5.. Definições..5.. Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos..5.. Propriedades dos limites..5.. Casos particulares. Continuidade Teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass Teórico-Prática: Eercícios:,,. Orientação Tutorial: Eercícios:, 5,. (º Teste-0//005). UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

8 7ª SEMANA: CÁLCULO DE DERIVADAS 0//009 Teórica.6. Derivadas:.6.. Definição e interpretação geométrica..6.. Regras de derivação..6.. Derivadas das funções logarítmica, eponencial, trigonométricas e trigonométricas inversas..6.. Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica Aplicação das derivadas para levantar indeterminações. Teórico-Prática: Eercícios: 6, 9, c) d) f) n) p), 5 a), 6 a). Orientação Tutorial: Eercícios: 7,, a)e)g)i)j)l)m)o), 5 d), 6 b). 8ª SEMANA: º TESTE //009 Preparação para o º teste. Esclarecimento de dúvidas. 9ª SEMANA: DIFERENCIAL E DERIVADAS DE ORDEM n. 8//009 Teórica.7. Diferencial e derivadas de ordem n..7.. Noção e interpretação geométrica..7.. Diferencial da soma, do produto e do quociente..7.. Derivadas de ordem n..7.. Diferencial de ordem n Fórmula de Taylor e de Maclaurin. Teórico-Prática: Eercícios: 7 a),c), 8 c), 9 e), 50. Orientação Tutorial: Eercícios: 7 b), 8 b), 9 d), f), h), 5. 0ª SEMANA: PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDO. 5//009 Teórica.8. Definição de primitiva..8.. Primitivas imediatas..8.. Integral indefinido por substituição. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 7

9 Teórico-Prática: Eercícios: 5 (, 5, 7, 9,,, 5, 8, 9, ). Orientação Tutorial: Eercícios: 5 (,, 6, 8, 0,,, 6, 7, 0, ). ª SEMANA: PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDO (CONTINUAÇÃO). 0//009 Teórica.8.. Integral indefinido por partes. Teórico-Prática: Eercícios: 5 (, 9, 0, ). Orientação Tutorial: Eercícios: 5 (, 5, 6, 7,,, ). ª SEMANA: INTEGRAL INDEFINIDO DE FUNÇÕES RACIONAIS. 09//009 Teórica.8.. Integral indefinido de funções racionais. Teórico-Prática: Eercícios: 5 (6, 7). Orientação Tutorial: Eercícios: 5 (8, 5, 8, 9). ª SEMANA: INTEGRAL DEFINIDO. 6//009 Teórica.8. Cálculo integral..8.. Soma integral e função integral..8.. Integral definido definição e propriedades, fórmula de Barrow Integração por partes e por substituição. Teórico-Prática: Eercícios: 5 (0,, ). Orientação Tutorial: Eercícios:. (º Teste-/0/006),. (º Teste-5/0/007), 5. (Eame- 05/0/007), 5. (Eame-5/0/007). UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8

10 ª SEMANA: INTEGRAL DEFINIDO (CONTINUAÇÃO). 06/0/00 Teórica.8 Cálculo integral (continuação) Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução. Teórico-Prática: Eercícios: 5, 57, 60. Orientação Tutorial: Eercícios: 5, 56, 59. 5ª SEMANA /0/00 Preparação para o eame. Esclarecimento de dúvidas. 6ª SEMANA À 0ª SEMANA Esclarecimento de dúvidas. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 9

11 NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS. Determine o conjunto dos números reais que verificam: a) > 5. b). c) < Resolva em R, +.. a) Calcule 95 j. b) Sendo z = - + j calcule Re(Z), Im(Z), z e z. c) Represente cada uma das seguintes epressões na forma a + bj : i) ( + j) + ( + j) j ii) j j iii) ( + j)( 5 j) z d) Sendo z = + j e w = + j, calcule z. w e. w iv) v) vi) ( j ) j j + ( + j)( j) 5 j j j e) Resolva em R as seguintes equações: i) ( j ) z = ( + j) iii) jz z = j ii) z + 8 z = f) Determine a raiz quadrada de 5 + j. g) Demonstre que: o conjugado do produto de dois compleos é igual ao produto dos conjugados dos factores. h) Calcule k e p de modo a que os compleos: z = (k + ) + ( p + ) j e z = ( p ) + ( k) j sejam conjugados.. Escreva na forma trigonométrica e eponencial os seguintes números compleos, e represente-os no plano de Argand. a) z= j b) z = j 5. a) Escreva na forma trigonométrica os seguintes números compleos: j i) e + j ii) e + b) Dado z = a + bj relacione a e b de forma que z seja real. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 0

12 6. Calcule trigonometricamente o número compleo 5 ( j) ( + j) z=. 5 j j 7. Mostre que: + = + = ( + j). 8. Determine as circunstâncias em que z+ z é um imaginário puro. 9. Calcule os valores de 6 6, considerando 6 como um compleo. 0. Calcule os valores de 5 / j.. Calcule os valores de: º º a) [ 8( cos0 j sin 0 )] 5 b) º º. Calcule os valores de [ 9( cos5 j sin 5 )] 5 sin + j cos 6 6 cosθ + jsinθ 5. Calcule sin cos θ + j θ. Calcule Ζ n de modo que ( j ) n seja real e positivo. 5. Determine o lugar geométrico dos afios dos compleos z que satisfazem a equação z z = z z sendo z = + j e z + j6 =. 6. Determine o lugar geométrico z = com z = + j y. 7. Sendo A (-,0) e B (,0) os afios dos compleos z e z, qual é o lugar geométrico dos afios de z, tais que z z + z z = 6. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

13 SOLUÇÕES a) ], 6 [ U ] 0, [ U ] 0, [ U ] 6, + [, U c) 6 6 b), [, 0 [ U 0, + U [, + [ - ] [ - a), b) Re (z)=-, Im (z)=, z = e z = j 9, c) i) + j, ii) + j, iii) j, iv) + j v) j vi) 0 j z 5 d) z. w = + 5 j, = + j e) i) j, ii),, j, j w z C : z = a + ( a ) j, a R f) j, + j h) k =, p = iii) { } j - a) z cos j sin = e j = +, b) z = cos + j sin = e a) e cos + j sin, b) e ( cos + j sin ), c) a = 0 b = 0 a = ± b z = cos + j sin, 8 - z = + j y : + y = 9-6 z k = 6 cos k + j sin k, k = 0,..., 5, 0- j, + j, + j - a) z k = [ ( ) ( )] 5 cos 7 o + k 7 o + j sin 7 o + k 7 o, k = 0,..., k b) cis +, k = 0,, o o o z = [ cos ( 5 + k 7 ) + j sin ( 5 + k 7 o )], k = 0,..., k - cos 0θ + j sin 0θ = cis 0θ - n = k / ( k Ζ e múltiplos de ) 5 - = + 5 y 6 - y = ± ( ) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

14 SUCESSÕES E SÉRIES 8. Verifique se são convergentes e no caso afirmativo calcule a soma das seguintes séries: a) b) n= 0 c) n= ( n+ ) tan n, 0 < d) n n= e) n sin n 0 9. Considerando as seguintes séries, determine os valores reais de a para os quais as séries convergem e as suas respectivas somas: a) a K + + K a n a a b), a R /{ } n n= 0 a c) d) n ( ) ( a ) = + 0 n= 0 n 8 ( a ) n n, a R /{, }, a R /{ 0,} UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

15 SOLUÇÕES 8 - a) Convergente, S = b) Convergente, S = c) Diverge para e converge para d) Divergente e) Convergente, S = sin 0 < com tan S = tan 9 - a) ], ] ], + [ a e b) ], 0] ], + [ a e c) a R e + a S = + a d) a R \ [ 5,5] e S = a S = a S = a ( a ) ( a ) ( a ) 6 a UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

16 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL + se < 0. Considere a função se < < 0. se 0 a) Represente-a graficamente. b) Indique o domínio e o contradomínio. c) Verifique se é injectiva.. Determine o domínio da função real de variável real definida pela epressão: ( ) log + f = Determine o domínio, da função real de variável real definida pela epressão: f ( ) = tan( ) com, 0 ( ) n na na n m n. m a. Resolva a equação: e e =. +. Mostre que:, y R,log (. y) = log + log y a a 5. Determine a inversa da função real de variável real f ( ) = +, de domínio [,+ [ 6. Determine o domínio de f ( ) =. log ( cos ) 7. Indique as epressões gerais dos pontos de descontinuidade de: 5 a) f ( ) = tan, R b) f ( ) = cotan, < < 8. Determine os zeros e os pontos de descontinuidade da função f ( ) 9. Determine os pontos de descontinuidade de f ( ) 0. Seja a função ( ) a. = cotan. tan =. + cosec. f = arcsin (considere a restrição principal do seno) calcule a função inversa e o contradomínio de f ().. Estude a continuidade em R de: ( ) ( ) + log se < t =. e se UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5

17 . Considere a função ( ). Prove que a função f ( ) sin + cos determine-o. e + f = e estude-a sobre o ponto de vista da continuidade. e = admite pelo menos um zero no intervalo [,0]. Prove que sendo p () um polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. e 5. Indique o valor que deve tomar k para que a função f () seja contínua para = a, em que f ( ) sin sina = a k se se a. = a ' ' 6. Calcule as derivadas laterais f d () e e () eistência de f '(). f e conclua sobre a f de ( ) = ( ) 7. Mostre que a função ( ) ( ) + se 0 f = é contínua no ponto =, mas não 5 se > tem derivada nesse ponto. 8. Verifique gráfica e analiticamente que a função ( ) derivada em =. 9. Considerando a função f ( ) + se < f = não admite se + = a) Determine uma equação da tangente à curva no ponto de abcissa =. b) Determine as abcissas dos pontos dessa curva onde a tangente tem a inclinação de 5º. 0. Determine as derivadas das funções seguintes aplicando logaritmos: a) ( + ) y = b) y= ( arctan ) ( + ). Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar.. Calcule a derivada de ( ) f =.. Estude a continuidade da função ( ) sin se 0 f = no ponto = 0. se = 0. Aplicando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções: UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

18 a) f ( ) = ( 5 )( ) b) f ( ) c) f ( ) = + = + d) f ( ) = + e) ( ) f f) f ( ) + = e = + g) f ( ) = cos +tan( sin ) h) f ( ) = tan + + tan( cos ) = + cotan + = log log i) ( ) f j) f ( ) k) f ( ) = log ( ) 0 + log l) f ( ) = ( sin ) m) f ( ) = n) f ( ) = ( + ) arctan o) f ( ) = [ sin( log ) ] p) f ( ) = arcsin( log) + + [ ] q) f ( ) = sin log + arcsin( + ) dy 5. Calcule as derivadas das seguintes funções implícitas: d a) y p= 0 y =cos + y b) + y = a e) y y = 0 c) + y a y= 0 d) ( ) a) at = + t at y= + t dy 6. Calcule para as seguintes funções epressas na forma paramétrica. d, a const. b) y = logcotan t = tant + cotan t 7. Calcule os seguintes limites: a) b) lim 0 e y + sin y ( y) y log + lim 0 tan 8. Calcule os diferenciais das seguintes funções: a) y = tan tan b) y= sin a c) lim +, a const. d) lim 0 sin log c) y = + log( )

19 9. Aproime as seguintes funções por um polinómio em, de grau menor ou igual a n. a) f ( ) = e b) f ( ) = e c) f ( ) = sin d) f ( ) = cos e) f ( ) = e + e f) f ( ) = g) f ( ) = log ( ) + h) f ( ) = i) f ( ) = arctan 50. Decomponha o polinómio em potências de Decomponha o polinómio em potências de Calcule os seguintes integrais: ) 5 d ) d ) + + d ) d + 5) cos( 5 ) d log 6) d d 7) cos (7 ) 8) tan d 9) tan sec d 0) cos sin d ) d + cos ) d sin d ) cos tan log ) d arctan 5) d + + 6) d + + d 7) log 8) tan d 9) d arcsin cos(log ) 0) d sin ) e cos d d ) ) d + a arctan ) d + + 5) d e 6) d + e 7) + cos sin d UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8

20 8) d + 9) log ( + + ) d 0) log d e coslog sin ) ( ) d arcsin ) d ) arcsin d d ) d 5) ( + ) + + 6) ( + ) d ) + d log 8) d (log + log + 8) (log + ) d 9) + 0) sec d o y ) dy + y 5 ) d 5. Calcule o valor de b, sendo a > 0 e b > a, de modo que a área limitada pelas curvas y + = e + y = a seja igual a. b a 5. Calcule a área da menor das partes, em que a recta = divide a área limitada pela elipse + y = Determine a área da figura limitada pelas curvas y = 5 e y=. 56. Determine a área da figura compreendida entre a curva y = o eio dos. 57. Determine a área da figura delimitada pela curva y=, a recta = 8 y e o eio dos yy. 58. Determine a área do domínio compreendido entre as parábolas y = p e = py. y 59. Determine o volume do sólido de revolução, obtido ao rodar a elipse + = em torno do b a eio O. 60. Determine o volume gerado pela rotação em torno do eio O de um arco de sinusóide. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 9

21 0 - b) = R \ { } D = ] 0, [ U ] 6, + [ SOLUÇÕES D c) Não é - ], ] [, + [ U - - = log ( + 5) + k R: a a, k Ζ n 5 - f ( ) = ( ), D - = ], ] f 6 - R \ { : = k / k Ζ } 7 - a) + k, k Ζ b) {,,0, } 8 - Zeros: = + k, k Ζ f() não é injectiva; D = f, 0 - = k, k Ζ - Contínua em R - Contínua em R \ { 0 } 5 - cos a P. d.: = + k = + ( k + ) = + k, k Ζ 6 - f d ( ) = +, fe ( ) = 9 - a) y = b), 0 - a) ( ) ( ) y = y b) y = arctan se < > - f ( ) = - Contínua + se < < - a) b) e) + e ( ) f) + log ( + ) tan + sec + c) 6 h) sin sec ( cos ) + i) + cotan cosec + + log cotan i) ( ) ( + log ) sin log n) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 0 d) ( + ) ( + ) g) sin cos + ( sin cos + sin ) sec ( sin ) log sin + + o) ( sin log ) j) arctan log m) ( + log ) k) log0 + + log arctan cot an log ( sin log ) +

22 p) + log arcsin ( log ) log q) + cos log + sin + arcsin( + ) + ANÁLISE MATEMÁTICA I logarcsin ( + ) + arcsin ( + ) ( + ) y y y log y p y ay sin( + y) 5 - a) b) c) d) e) y y a + sin( + y) y y log y t a 6 - a) b) tan t 7 - a) b) c) e d) + t cos log 8 - a) dy = ( tg + ) sec d = sec d b) dy = d c) dy = d a) b) c) +... d) +...!!!!! 5! 7!!! 6! e) f) g)...!! h) i) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 - ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) C C C 0 log C. 7 - tan7+ C C sin C log cos + C. 9 - tan + C. 0 - cos + C C. - C sin +. - tan + C. - log + C C arctan ( ) C log. 7 - log log + C. 8 - tan tan + + C. 9 - log arcsin + C sin sin. - e + C. 0 - ( log ) + C. - arcsin( ) + C UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

23 . - + C arctan arctan.. - log( + ) + C a a. 5 - ( + ) + C. 6 - arctan e + C. 7 - ( + cos ) + C log + + C log C. 0 - log + C. - log( sin ) sin sin+ C. - + ( ) + C. - arcsin + + C + arcsin. - + C. 5 - log + C + log arctan ( + ) + + C. 8-8 ( ) ( log+ ) log log + log+ 8 arctan ( + ) 9 + log log + + C ( + ). 9 - log + arctan + C log( + ) + a 5 - b= a log +. - ( arctan) + C p 59 - v= b a 60 - v =. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

24 ENUNCIADOS DE TESTES E EXAMES º TESTE //007. Aplicando as propriedades de valor absoluto de um número real, mostre que y y.. Considere a epressão + F( ) =. Defina, com intervalos de números reais, o conjunto dos valores de para os quais F ( ).. C é o corpo compleo. ( Z C). Calcule / cos j sin. n. Seja Z = cis. Determine o menor número natural n, tal que Z R. Z Z. Prove que os compleos z, tais que + = Im Z, são imaginários puros. + j j. Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos Z que verificam simultaneamente as condições: Z + Z Z Z arg Z Re ( Z).. Seja f() a função real de variável real definida por f ( ) = e. Caracteriza a inversa de f(). e se. Considere a função definida em R por f ( ) = cos se.. Estude a continuidade da função... A função tem algum zero no intervalo [ 0 ; ]? Justifique. <... Calcule a função derivada de f(), em todos os pontos em que a função é derivável. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

25 º TESTE /0/008 dy. Calcule a derivada da função dada implicitamente log y y = 0. d. Calcule f ( 0), sendo f ( y) y t ( t) = arcsin t e z( t) arctan =. z = uma função definida parametricamente por:. Aproime a função f ( ) = arctan a um polinómio em de grau menor ou igual a.. Calcule os seguintes integrais: sin log 7. d ;. d ;. d ; ( ) ( + ) + ( + ). ( a + b) d ;.5 sin d ;.6 ( + ) log( + ) d Calcule a área do sub-conjunto de R constituída pelos pontos de coordenadas (, y ) que y verificam as seguintes condições: y + y pela rotação do mesmo em torno do eio OX. e determine o volume do sólido de revolução gerado EXAME 0/0/008. C é o conjunto dos números compleos.. Calcule os valores de 5 sin j cos.. Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos Z que verificam simultaneamente as condições Z + j 5 arg Z Z + Z <. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

26 n n + j j. Mostre que, n N, se tem + =.. Considere a função definida por f ( ) gráfico de f no ponto de abcissa.. Aproime a função f ( ). Calcule:. d ( +) ;. = d t. ;.5 ( + t ) e d + e a e d. sin ( ) =. Determine uma equação da tangente ao cos por um polinómio em de grau menor ou igual a n. log ;. d 5. Dado o conjunto dos pontos de coordenadas (, y ) que verificam as seguintes condições ; y y + y. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do mesmo em torno do eio OX. EXAME DE RECURSO 8/0/008. C é o conjunto dos números compleos. º º /. Calcule os valores de [ 8( cos0 j sin 0 )].. Represente geometricamente no plano de Argand o conjunto dos pontos do plano, definido pelas imagens dos compleos Z, tais que: 6 ( Z Re ( + j) Arg Z < Arg ( + j ) ) Z + 65 =. Uma das raízes cúbicas de um compleo é + j. Calcule, na forma algébrica, as outras raízes do compleo.. Considere a função definida por f ( ) = e + sin ( ) tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.. Aproime a função ( ) = e + UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA Determine uma equação da f por um polinómio em de grau menor ou igual a n.

27 . Calcule: ANÁLISE MATEMÁTICA I. ( + ) d ;. ( ) sen log d ;. d ;. e log ( log + ) d e log d. ;.5 ( log ) 5. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eio OX, da região limitada por y =, = 0, y = e y = 0. º TESTE 9//008. Considere a epressão F ( ) = +. Defina, com intervalos de números reais, o conjunto dos valores de para os quais F ( ) > 0.. C é o corpo compleo. ( z C).. Mostre que se z = c então. Resolva seguinte equação z + z j + j = 0. z z + c é um imaginário puro, com c c C.. Determine o conjunto dos valores de z para os quais + z z é um real.. Represente no plano de Argand o conjunto dos pontos definido pela condição: z + j 0 arg ( z + + j ) <. ( + ), se 0, se. Considere a função definida em R por f ( ) = +, se ( + ), se continuidade da função em todo o seu domínio.. Calcule o seguinte limite tan lim. sin < =. Estude a < > UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

28 . Determine a equação da recta tangente à curva definida pelas equação paramétrica = sin t y = cos(t) no ponto t =. º TESTE /0/009. Determine o polinómio de McLaurin de ordem que aproima a função f ( ) = log ( ) +.. Calcule os seguintes integrais: d. ; ( + ). d ;. ( + cos ) d ; + e. e 0 d ;.5 + d. 0. Calcule a área da região plana delimitada por y = +, y = e y =.. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eio OX da região plana dada pelas desigualdades: y, e. EXAME 6/0/009. C é o conjunto dos números compleos.. Calcule os valores de 6 sin j cos e represente-os na forma eponencial. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 7

29 . Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos z ( z C ) que verificam simultaneamente as condições: z z j j z + < z j.. Sendo z = imaginário puro. + j n, verifique se eiste algum n N para o qual z seja um f +. k. Considere a função real de variável real definida por ( ) = sin( k ), k 0 Mostre que f ( ) + k f ( ) = cos ( k).. Calcule a derivada da função implícita de y dada pela equação: cos ( y) + log( + y ) + = 0. y. Calcule:. arctan d ; ( -). e + e d ;. e log ( )( ) d. log + log +. Calcule a área da região do plano limitada pelas rectas y =, = 0, = e pela curva y =. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da mesma em torno do eio OY. EXAME DE RECURSO 09/0/009. C é o conjunto dos números compleos.. Calcule os valores de + j. Apresente os resultados na forma trigonométrica (com o argumento mínimo positivo) e represente no plano de Argand. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8

30 . Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos z ( z C ) que verificam simultaneamente as condições: z j z + j = z ( + j) > z + j +.. Mostre que z z + z + z = z + z, z, z C.. Determine a equação da recta tangente à curva dada pela função implícita de t e ( + t ) = log no ponto (, ).. Determine o polinómio de McLaurin de ordem que aproima a função f ( ) = Calcule: + ( + ). d ;. 9 t dt ;. 0 cos 6 5sin + sin d.. Considere a figura definida por y y +. Utilize integrais para calcular:. A área da figura.. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da figura em torno do eio OY. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 9

31 SOLUÇÕES DOS TESTES E EXAMES º TESTE // [ ; + [ ;. / z = cis ; / 8 z = cis ; z = / cis ; n =, com k = ; y Solução em azul f () não admite inversa;.. f () é contínua em /{ }.. Não admite. R ;.. e, < f ( ) =. sin, > º TESTE /0/008 log y dy log y ( y ). = d ; log y y y + log. f ( 0) = log ;. f ( ) = ;. arcsin C ; UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 0

32 . log + + log + + arctan ( ) + C ;. cos log + C ; 5 5. [( a + b) ] b 0 a ;.5. A = log (u.a.); V = (u.v.). 6 ;.6 6 log 6 log ; EXAME 0/0/ z = cis, 5 7 z = cis, z = 5 cis ; Solução em azul. y = 0;. n K + ;. log log + + C 8. log + C ; V = u.v. 5 ; ;. ( + e ) + C + ;.5 a e a a + a + e a a + a. a UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

33 EXAME DE RECURSO 8/0/ z = cis, z = cis, z = cis ; Solução em azul. z = + j - raís dada, z = + j, z = j.. y = ( e + ) ; n + K + ; ( n )!. log + + C ; + +. arcsin ( ) ( ) + arcsin + C ;. C cos log + ;. log ;.5 e. 5. V = u.v.,., \ { } º TESTE 9//008. z = j,. ( y = 0 y = ) y + 0,, y R,. Solução em azul. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

34 y - -. No intervalos ]-, -[, ]-, [ e ], + [ é cont., não é cont. nos pontos - e.. /.. y = - +. º TESTE /0/ log + C, log log + C,. sin + + cos + C,. e e e, (u.a.),. (u.v.). EXAME 6/0/ e, 9 e, e, 5 e ;. Solução em azul. UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

35 y /. n = + 6k.. y = y ( + y )sin ( y ). y ( + y )sin ( y ) + y + + y. arctan + log log + arctan + C ; +. ( + e ) + C ;. log (u.a.) e / (u.v.). EXAME DE RECURSO 09/0/009. cis, 8 cis, cis, Solução em azul y k = k = 0. Solução em azul. k = UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

36 e + 8. t = ( ) +, + log. + + ( + ( log ) ) + ( 5 + ( log ) ) + ( 05 + ( log ) ). 6. arcsin + log + C, 9. + t 9 t + C,. log.. 7/ (u.a.),. 5 / 6 (u.v.). UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5