Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō Exame - 12 de Janeiro de h00m

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1 Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō Eame - 2 de Janeiro de h00m Solução Problema (0,5 val.) Seja f() = log(3 2 ) + 3. (a) Determine o domínio de f. As condições a satisfazer são: 3 2 > 0 e < 3 e 3 < < 5 e 3 Concluímos que Df =], 3] (b) Determine, se eistirem, o máimo, mínimo, supremo e ínfimo de Df. É claro que máimo = supremo = 3, ínfimo = -, mínimo não eiste. Problema 2 (,5 val.) Seja f : R R a função definida por f() = e. (a) Determine os intervalos de monotonia de f. f () = e e = ( )e, para qualquer R. O sinal de f () é o sinal de, porque a eponencial é sempre positiva, e portanto, f () < 0 >,f () = 0 =,f () > 0 < Concluímos que: f é crescente no intervalo ],], e f é decrescente no intervalo [,+ [. (b) Estude a concavidade de f. f () = e ( )e = ( 2)e, para qualquer R. O sinal de f () é o sinal de 2, porque a eponencial é sempre positiva, e portanto, Concluímos que: f () < 0 < 2,f () = 0 = 2,f () > 0 > 2

2 f tem a concavidade para baio (como 2 ) no intervalo ],2], e f tem a concavidade para cima (como 2 ) no intervalo [2,+ [. Notamos que f tem um ponto de infleão em = 2. (c) Determine as assímptotas do gráfico de f, se eistirem. f é contínua em R, e portanto certamente não tem assímptotas verticais. Para determinar outras assímptotas, calculamos: f() = e = + e = +, e f() + = + e = e = 0 Concluímos que f não tem assímptota à esquerda, e a assímptota à direita, se eistir, é uma recta horizontal. Notamos finalmente que a recta y = 0 é uma assímptota horizontal à direita de f porque (pela regra de Cauchy) f() = + + e = + e = + e = 0 (d) Determine os etremos de f, se eistirem, e esboce o gráfico de f. É claro de (a) que f tem um máimo absoluto em =. O gráfico de f apresenta-se a seguir: Problema 3 (0,5 val.) Considere a função f : R R definida por { + a se 0 f() = bsen + 2 se < 0

3 (a) Determine as constantes a e b para as quais f é contínua em R. A função f é certamente contínua em qualquer 0. Observamos que f(0) = a, e calculamos os ites laterais em 0: À direita de 0: f() = + a = a, e À esquerda de 0: f() = bsen + 2 = A função f é contínua em = 0 (e portanto em R) se e só se 0 0 f() = f() = f(0), + ou seja, se e só se a = 2. O valor de b é inteiramente arbitrário. (b) Determine as constantes a e b para as quais f é diferenciável em R. A função f é certamente diferenciável em qualquer 0, e é necessário que seja contínua em = 0 para que possa ser também diferenciável em = 0. Pela alínea anterior, concluímos que a = 2, e em particular, f(0) = 2. Temos f f() f(0) f() 2 (0) = =, e passamos a calcular os dois ites laterais correspondentes, a saber: f() 2 f() 2 bsen() = =, e = = b A função f é diferenciável em = 0 (e portanto em R) se e só se a = 2 e b =. Problema 4 (0,5 val.) Calcule, se eistirem, os seguintes ites: (a) 0 arctan (b) 0 e / Calculamos o ite em (a) usando a regra de Cauchy: arctan = =. Para determinar o ite em (b), notamos que 0 + e/ = + Como temos pela regra de Cauchy que 0 e/ = + + e, e 0 e/ = e = + e = +, e = 0

4 concluímos que 0 e / não eiste, porque como acabámos de ver 0 + e/ = + 0 e/ = 0. Problema 5 ( val.) Calcule as derivadas das seguintes funções: (a) f() = ( sen (e ) ) 3 (b) g() = 3 cos(t 4 )dt (c) h() = sen() (a) Temos f() = u 3, onde u = sen(v) e v = e. Concluímos que (b) Temos g() = (c) Temos Concluímos que u f () = 3u 2 cos(v) e = 3 (sen (e )) 2 cos(e ) e cos(t 4 )dt, onde u = 3. Concluímos que g () = cos(u 4 ) 3 2 = cos( 2 ) 3 2 h() = sen() = e log() sen(), donde y = e u,u = log()sen(). h () = e u ( sen() + log()cos()) = sen() ( sen() + log()cos()). Problema 6 (,5 val.) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: cos(log ) (a) f() = (d) Calcule o integral 2 (b) g() = 5 log (c) h() = ( + ) ( + ) d. O integral é superior ou inferior a log( 2)? (a) Usamos a substituição u = log(), du = d, para obter: cos(log ) d = cos(u)du = sen(u) = sen(log()). (b) Primitivamos por partes, com f () = 5 e g() = log(), para obter: 5 log d = log() 6 5 d = 6 6 log() 6 6 d = log()

5 (c) Como h é uma função racional própria, e o denominador só tem factores irredutíveis do o grau, sem repetições, temos: ( + ) = A + B, donde = A( + ) + B. + Tomando = obtemos = B, e com = 0 temos = A. Segue-se que: ( + ) d = d (d) Pela regra de Barrow, 2 d = log( ) log( + ) = log( + + ). ( + ) d = log( ) log( + ) = log( 2 3 ) log( ) = log(2/3 2 /2 ) = log(4 3 ) Como 4 3 =,333 < 2, é claro que 2 ( + ) d = log(4 3 ) < log( 2). Problema 7 ( val.) Calcule a área da região do plano deitada pelas curvas y = ( 2) 2 e y =. A área da região em causa é superior ou inferior a 4? As linhas de equações y = ( 2) 2 e y = intersectam-se nos pontos com abcissa, onde = ( 2) 2. Temos = ( 2) 2 = = = 5 ± = 5 ± 3 2 Os pontos de intersecção são portanto em = e em = 4. A recta está por cima da parábola no intervalo [,4], e a área em questão A é dada por: A = 4 ( )d = 4 ( )d = ( ) 4 = = ( ) ( ) = = = = 5 2 > 4

6 Problema 8 ( val.) Considere a usual função trigonométrica secante, dada por sec() = cos(). Para efeitos desta questão, suponha que pertence ao intervalo I = [0,π/2[. (a) Mostre que sec é injectiva no intervalo I, e mostre que a imagem sec(i) é o intervalo J = [,+ [. A função coseno é contínua e estritamente decrescente no intervalo [0,π/2], onde diminui de = cos(0) para 0 = cos(π/2). A função secante é portanto contínua e estritamente crescente no intervalo [0, π/2[. Como sec(0) = e π/2 sec() = + segue-se do teorema do valor intermédio que sec(i) = [,+ [= J. (b) Sendo arcsec a função inversa de sec definida no intervalo J, calcule a derivada de arcsec nos pontos onde essa derivada eiste. Sabemos que a função inversa arcsec : J I é diferenciável no ponto J se e só se a função sec : I J é diferenciável em θ = arcsec(), e sec (θ) 0. Neste caso, temos: arcsec () = sec (θ), onde sec (θ) = sen(θ) cos 2 (θ) = sec(θ)tan(θ) = sec(θ) sec 2 (θ)

7 Como θ = arcsec() temos = sec(θ), e portanto arcsec () = sec (θ) = sec(θ) sec 2 (θ) = 2 (c) Esboce o gráfico de arcsec. Esboçamos abaio os gráficos de arcsec (e de sec) nos intervalos em causa, com as respectivas assímptotas: y = sec() = π/ y = π/2 y = arcsec() Problema 9 ( val.) Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes: (a) =0! (b) =0 2 + (c) = ( ) 3 (a) Usamos o critério da razão: a =!, a + =! + a ( + )! = = 0 Concluímos que a série é convergente (e absolutamente convergente, já que é não negativa).

8 (b) Comparamos a série dada com a série de Dirichlet convergente a = 2 +,b = a 3/2, = 3/2 b ( 2 + = /2 : Concluímos que a série é convergente (e absolutamente convergente, já que é não negativa). (c) A série dada é alternada, a = ( ) 3. Como a = 3 0 e é decrescente, segue-se do critério de Leibniz que a série converge. Notamos no entanto que: a = 3 = = é uma série de Dirichlet divergente, porque /3 <, e portanto a série original é simplesmente convergente. Problema 0 ( val.) Determine a série de Taylor no ponto a = 0 das seguintes funções: (a) f() = e (b) g() = 2 e 2 (c) u() = = (d) v() = + 4 A série de Taylor da função f no ponto = 0 é f (n) (0) n (a) Se f() = e então f (n) () = e e f (n) (0) = e 0 =. A série de Taylor é portanto n Recorde-se que na realidade e = (b) Temos da alínea anterior que ( 2 ) n e 2 = = 2 e 2 = 22n = n, para qualquer R 2n+2 = 2n, donde 2(n+) = n= 2n (n )!

9 (c) A fórmula usual para a soma de uma série geométrica mostra que = n, para qualquer R com <. (d) Segue-se da alínea anterior que + 4 = ( 4 ) = ( 4 ) n = ( ) n 4n. Problema (0,5 val.) Considere a série de potências. n= ( ) n 2n (a) Determine o raio de convergência desta série, aqui designado R. n Aplicamos o critério da razão à série 2n n= n : a n = 2n n, a n+ = n n+ a n (n + ) n = n n + Concluímos que a série é absolutamente convergente se <, e divergente se >. O raio de convergência é portanto R =. (b) Sendo f a função definida por f() = n= ( ) n 2n mostre que f tem um mínimo em = 0. n, para < R, A série em causa é a série de Taylor de f em = 0, donde f() = ( ) n 2n n = 2 + = f(0) + f (0) + f (0) 2 /2 + n= Como f(0) = f (0) = 0 e f (0) = 2 > 0, a função f tem um mínimo em = 0.

10 (c) Calcule a função f (sugestão: calcule primeiro a derivada f ). As séries de potências podem ser diferenciadas termo a termo, e portanto f () = ( ) n 2n2n = ( ) n 2 2n. n n= A série de f é uma série geométrica, com primeiro termo a = 2, e razão r = 2, donde f () = ( ) n 2 2n = n= Segue-se que (com a substituição u = + 2 ) 2 f() = + 2d = u du = log(u) + C = log( + 2 ) + C Como f(0) = C = 0, concluímos então que n= f() = log( + 2 ), para < R