Cálculo Diferencial em R. Departamento de Matemática

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1 Cálculo Diferencial em R Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática

2 Conteúdo Cálculo Diferencial em R. Definiçãodederivadanumponto.... Interpretação geométrica.... Derivadas laterais Diferenciabilidadeecontinuidade Função derivada Regras de derivação Teoremasfundamentaisdasfunçõesdiferenciáveis Teorema de Rolle Regra de Cauc TeoremadeLagrange Derivadasdeordemsuperior Fórmula de Talor Aplicações das derivadas Monotoniaeetremos Concavidades e pontos de infleão....0.problemasdeotimização.... Estudo de funções.... Eercícios propostos... 9.Soluções... 6

3 Cálculo Diferencial em R O estudo das principais características de uma função pode ser feito através do conceito de derivada de uma função. Nesta área destacaram-se vários matemáticos a partir do século XVII, como Isaac Newton (64-77) e Gottfried Leibniz (646-76), os grandes criadores do cálculo infinitesimal. O matemático Leonard Euler (707-78) clarificou um conjunto de notações usadas no cálculo diferencial e o português José Anastácio da Cuna ( ), através da sua obra Princípios Matemáticos em que dedica uma parte ao cálculo diferencial, apresentou um conjunto de definições que mereceu elogios de vários matemáticos. Em 8 o matemático francês Augustin Louis Cauc ( ) apresentou a ideia-cave de ite que permitiu, uns anos mais tarde, ao matemático alemão Karl Weierstrass (85-897) apresentar uma definição formal da noção de ite. A partir daí o cálculo diferencial adquiriu sustentação teórica sólida, sendo que a notação f 0 foi introduzida por Lagrange (76-8) no final do século XVIII.. Definição de derivada num ponto Definição A taa média de variação de uma função f no intervalo [a, b] é dada por: f (b) f (a) tmv [a,b] =. b a f ( b ) f ( b ) f ( a ) f ( a ) a b b a Em termos físicos, a taa média de variação corresponde à velocidade média, isto é, espaço percorrido. tempo gasto Definição A derivada (ou taa de variação instantânea) de uma função f no ponto = c ]a, b[ D f éonúmeroreal,seeistir,dadopor: f 0 f () f (c) f (c + ) f (c) (c) =. c c 0 f ( c + ) f ( c + ) f ( c ) f ( c ) c c + DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

4 Para além de f 0 (c), podem ser utilizadas as notações µ df D f (c) ou (c). d Em termos físicos, a taa de variação instantânea corresponde à velocidade instantânea. Definição Se uma função f admite derivada finita num ponto = c ]a, b[ D f, diz-se que f é diferenciável em c. Se não eistir derivada finita no ponto, diz-se que a função não é diferenciável nesse ponto. Eemplo A distância, em metros, percorrida por um móvel ao longo de uma lina reta, t segundos depois de partir, é dada pela função definida por: f (t) =t, 0 t 0. f (5) f () Tem-se que tvm [,5] = = 5 = 50 = =. Assim, a velocidade média do móvel no intervalo [, 5] éde m/s. Além disso, f 0 f ( + ) f () ( + ) () ( 0 0 ) (4 + ) (4 + ) = Logo, a velocidade do móvel no instante t = éde4m/s.portanto, f é diferenciável no ponto t =.. Interpretação geométrica Propriedade Caso f seja diferenciável em c ]a, b[ D f, a derivada de f em c corresponde ao declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f (c)) cuja equação é dada por: f (c) =f 0 (c)( c). Paradeterminarodeclivedaretatangenteaumacurvanumponto(c, f (c)), considerase um número muito pequeno, diferentedezeroe,sobreacurva,considera-seoponto (c +, f (c + )). Quando 0, a lina secante, definidapelospontosdeabcissasc e c +, tendeparaumaposiçãoitequeéretatangenteàcurvanoponto(c, f (c)). Como o declive da secante é dado por f (c + ) f (c), o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f (c)) édadopor 0 f (c + ) f (c). DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

5 recta secante recta secante f ( c + ) recta tg f ( c + ) f ( c ) f ( c ) c c + f ( c + ) f ( c ) f ( c + ) f ( c ) c c + f ( c ) c Quando os dois pontos (c, f (c)) e (c +, f (c + )) se aproimam indefinidamente, a secante acaba por trasformar-se na tangente à curva no ponto (c, f (c)), isto é, calcula-se o ite do declive da secante quando a distância entre os dois pontos tende para zero ( 0). Em relação à reta normal, a reta perpendicular à reta tangente que também passa pelo ponto (c, f (c)), a equação é dada por f (c) = f 0 (c) ( c), se f0 (c) 6= 0. = c, se f 0 (c) =0 Eemplo Observe-se a representação gráfica da função f e as retas tangentes ao gráfico nos pontos de abcissa a, b, c e d. f ( ) a b c d Tem-se que: f 0 (a) >0,porque o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é positivo; f 0 (c) <0,porque o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é negativo; f 0 (d) =0, porque o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa d é zero. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

6 Além disso, f 0 (a) >f 0 (b), porque o declive da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa a émaiordoqueodeclivedaretatangenteaográfico de f no ponto de abcissa b. Eemplo Considere-se a função f () = +. f 0 f ( + ) f () ( + ) () (6 + ) (6 + ) =6, 0 0 donde f é diferenciável em. Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto = é dada por f () =f 0 ()( ) 5 = 6 ( ) = = 6 eaequaçãodaretanormalaográfico de f no ponto = é dada por f () = f 0 () ( ) 5 = ( ) 6 = = = f ( ) = + 4 = Derivadas laterais Definição 4 Dada uma função real de variável real f e c ]a, b[ D f,definem-se as seguintes derivadas laterais de f no ponto = c: (i) f 0 (c + )=f 0 f () f (c) d (c) c + c a que se cama derivada à direita de c. f (c + ) f (c), 0 + (ii) f 0 (c )=f 0 f () f (c) e (c) c c a que se cama derivada à esquerda de c. f (c + ) f (c), 0 DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07

7 Teorema Uma função f é diferenciável num ponto = c se e só se eistem, são finitas e iguais as derivadas laterais nesse ponto. Nesse caso, f 0 (c) =f 0 (c + )=f 0 (c ). Observação Em termos geométricos as derivadas laterais correspondem aos declives das semitangentes à esquerda e à direita ao gráfico da função f no ponto de abcissa = c. Só eiste derivada de uma função num ponto quando as semitangentes estão no prolongamento uma da outra. Semitangente à esquerda m = f c '( ) c Semitangente à direita m = f c + '( ) Eemplo 4 Considere a função real de variável real ± +, < f () = +,. f ( ) Observando o gráfico da função, constata-se que não eiste f 0 (). Analiticamente, e f 0 ( + ) = f ( + ) f () = ( ) = 0 + ³ ( + ) f 0 ( ) = f ( + ) f () (( + )+) 0 0 = 0 =. Como f 0 ( + ) 6= f 0 ( ), não eiste f 0 (). ( 0 0 ) 0 + ( ) DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Janeiro de 07

8 Eemplo 5 Considere a função real de variável real definida por g () =. g ( ) = Observando o gráfico da função, constata-se que não eiste g 0 (0). Analiticamente, e g 0 (0 + ) g 0 (0 ) g (0 + ) g (0) 0 0 g (0 + ) g (0) ( 0 0 ) 0 ( 0 0 ) 0 r 0 r 0 r =+ r =+. Neste caso, g 0 (0 + )=g 0 (0 )=+, oquesignifica que eiste g 0 (0) = +. No entanto, como g 0 (0) não é finita, g não é diferenciável em 0. Definição 5 Dada uma função f : D f R R diz-se que:. f é diferenciável em ]a, b[ D f se f é diferenciável em todos os pontos do intervalo ]a, b[.. f é diferenciável em [a, b] se f é diferenciável em ]a, b[ eseeistemesãofinitas as derivadas laterais f 0 (a + ) e f 0 (b )..4 Diferenciabilidade e continuidade Teorema Qualquer função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto. Dem. Seja f uma função diferenciável em c. Tem-se que 6= c, f () f (c) = donde c f () f (c) [f () f (c)] c c f () f (c) c Como f é diferenciável em c, f 0 (c) eiste e é finita. Logo, c Portanto, f écontínuaemc. ( c), c ( c) =f 0 (c) 0. [f () f (c)] = 0, ou seja, f () =f (c). c DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Janeiro de 07

9 Observação. Uma função pode ser contínua num ponto e não ser diferenciável nesse ponto. Toda a função que não é contínua num ponto não é diferenciável nesse ponto. Eemplo 6 Considere a f.r.v.r. definida por f () = cujo gráfico é dado por 4 f ( ) = Verifica-sefacilmentequef é contínua em 0. No entanto, e f 0 (0 f (0 + ) f (0) 0 ) = 0 0 f 0 (0 + f (0 + ) f (0) ) 0 + Como f 0 (0 ) 6= f 0 (0 + ),fnão é diferenciável em =. Eemplo 7 Considere a f.r.v.r. definida por g () = dado por 4 g ( ) ± +, < 0 4, 0 cujo gráfico é Como 0 g () = 6= 4 0 +g (), não eiste g (). Logo, g não é contínua em 0, 0 donde g não é diferenciável em 0. Defacto, g 0 (0 ) = g (0 + ) g (0) ( + ) = + 5 = = e g 0 (0 + ) = g (0 + ) g (0) = = 0. DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Janeiro de 07

10 .5 Função derivada Definição 6 A função derivada de f é a função definida pelo seguinte ite f 0 f ( + ) f () () =. 0 O domínio de f 0 é o conjunto de todos os valores de para os quais o ite eiste e é finito. Além da notação f 0 (), pode utilizar-se D f ou Eemplo 8 Considere a função real de variável real definida por f () = 4. Então, ³ f 0 f ( + ) f () ( + ) 4 4 () ( 0 0 ) ( + ) ( + ) =, 0 donde D f 0 = R..6 Regras de derivação Apresentam-se em seguida algumas das regras de derivação mais usuais, obtidas a partir da definiçãodafunçãoderivada. df d. Propriedade 4 Seja f uma função real de variável real e k R.. Se f () =k, então f 0 () =(k) 0 = 0.. Se f () =, então f 0 () =() 0 =.. Se f () = k, então f 0 () = k 0 = k k. Propriedade 5 Sejam f e g duas funções diferenciáveis em ]a, b[ e k R. Então kf, f + g, f g, f g, f g (se g 6= 0) e fk são funções diferenciáveis em ]a, b[ tais que. (kf) 0 () =k f 0 ().. (f + g) 0 () =f 0 ()+g 0 ().. (f g) 0 () =f 0 () g 0 (). 4. (f g) 0 () =f 0 () g ()+f () g 0 (). 5. µ 0 f () = f0 () g () f () g 0 (). g g () 6. f k 0 () =kf k () f 0 (). DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Janeiro de 07

11 Apenas irá ser demonstrado o resultado da derivada da soma de funções, já que os outros resultados são analogamente demonstrados. Dem. Aplicando a definição de derivada de uma função num ponto onde f e g têm derivada finita, tem-se (f + g) 0 (f + g)( + ) (f + g)() [f ( + )+g ( + )] [f ()+g()] () 0 0 f ( + )+g ( + ) f () g () f ( + ) f ()+g( + ) g () 0 0 f ( + ) f () g ( + ) g () + = f 0 ()+g 0 (). 0 0 Propriedade 6 (derivada da função composta) Sejam f e g duas funções tais que g é diferenciável em c e f é diferenciável em g (c). Então f g é diferenciável em c tal que (f g) 0 (c) =f 0 [g (c)] g 0 (c). Propriedade 7 (derivada da função inversa) Seja f uma função contínua e estritamente monótona num intervalo I R. Se f é diferenciável em c I tal que f 0 (c) 6= 0, então f é diferenciável em f (c) tal que f 0 [f (c)] = f 0 (c). Propriedade 8 (derivada de funções eponenciais e logarítmicas) Seja f uma função diferenciável em ]a, b[ e α R + \{}. Então, α f é diferenciável em ]a, b[ tal que α f 0 () =f 0 () α f() ln α. Em particular, e f 0 () =f 0 () e f(). Se ]a, b[,f() >0,entãolog α f é diferenciável em ]a, b[ tal que (log α f) 0 () = f0 () f () ln α. Em particular, (ln f) 0 () = f0 () f (). Propriedade 9 (derivada de funções trigonométricas) Seja f uma função diferenciável em ]a, b[. Então, (sen f) 0 () =f 0 () cos [f ()] ; (arcsen f) 0 () = f 0 () p f () ; (cos f) 0 () = f 0 () sen [f ()] ; (arccos f) 0 f 0 () () = p f () ; (tg f) 0 () = f0 () cos [f ()] ; (arctg f)0 () = f0 () + f (). DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Janeiro de 07

12 Em particular, (sen ) 0 = cos, (cos ) 0 = sen, (tg ) 0 = cos, (arcsen )0 = (arccos ) 0 = e (arctg )0 = +. Eemplo =(5) 0 +() = 0 + () = + = = , = 0 () 0i + 4 ³ 0 = = = µ 0 = ( )0 6 ( ) ( 6) = () 0 () 0 6 ( ) 0 (6) 0i ( 6) = = = 94. = 6 ( ) = = ( 6) ( 6) ( 6) ( + ) 5i 0 = 5 ( + ) 4 ( + ) 0 = 5 ( + ) 4 () 0 +() 0 = 5 ( + ) 4 ( + 0) =0 ( + ) 4. ³ + 0 = + i 0 = = + 0 +() 0i = ( + 0) = ( + ) ( 0) 6 ( )( 0) q. ( + ) ³ + 0 e = + 0 e + = 0 +() 0i e + =( + ) e +. ( 6) ³ ³ µ = = ln = ()0 ln = ln. 8. ln = + = +() 0 = + 0 = ³ log = = = = ln ln ln ln = ln = ln. DMat - ESTSetúbal/IPS 0 Janeiro de 07

13 0. sen + 0 = + 0 cos + = 0 +() 0i cos + =( + ) cos + =(6 + ) cos +.. cos 0 = 0 sen = 0 () 0i sen = ( 0) sen = sen.. tg 0 0 = cos ( ) = cos ( ).. arctg 0 = 0 +( ) = Eemplo 0 Sejam f e g funções reais de variável real tais que >0,f 0 () = e g () =log. Pretente-se determinar o valor de (f g) 0 (4). Tem-se que g (4) =log (4) =log = log () =. Além disso, Logo, g 0 () =(log ) 0 = ln, donde g0 (4) = 4 ln. (f g) 0 (4) =f 0 [g (4)] g 0 (4) =f 0 () 4 ln = 6 4 ln = ln = ln 4..7 Teoremas fundamentais das funções diferenciáveis Nesta secção apresentam-se os teoremas de Rolle e de Lagrange e suas aplicações. Recorde-se que dada uma função f : D R R e c D, f (c) é um máimo relativo de f se eiste um intervalo ]a, b[ D tal que c ]a, b[ e f (c) f (), ]a, b[. f (c) é um mínimo relativo de f se eiste um intervalo ]a, b[ D tal que c ]a, b[ e f (c) f (), ]a, b[. Definição 7 Dada uma função real de variável real f e c D f, diz-se que f (c) éum etremo local de f se f (c) é um máimo ou mínimo relativo de f. O próimo resultado afirma que se uma função diferenciável num ponto tem etremo local nesse ponto, então a reta tangente ao gráfico da função nesse etremo é orizontal. Teorema 0 Sejam f :[a, b] R diferenciável em ]a, b[ e c ]a, b[. Se f (c) éumetremodef, entãof 0 (c) =0. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

14 Dem. Suponamos que f temummáimorelativoem = c. Então, f () f (c), ou seja f () f (c) 0, qualquer que seja pertencente a um intervalo aberto centrado em c e dentro do domínio de f. Então,para<c f 0 (c f () f (c) ) 0. c c Analogamente, para >c f 0 (c + f () f (c) ) 0. c + c Como f é diferenciável em c, podemos concluir que 0 f 0 (c )=f 0 (c) =f 0 (c + ) 0, ou seja, f 0 (c) =0. Ademonstraçãoéanálogaparaocasoemqueafunçãof temummínimorelativoem = c. Observação O recíproco da proposição anterior é falso, isto é, se eiste c ]a, b[, tal que f 0 (c) =0, não significa que f (c) seja um etremo de f. Por eemplo, a função f () = éestritamentecrescenteemr, pelo que não tem nenum etremo. No entanto, f 0 (0) =0..7. Teorema de Rolle O resultado seguinte afirma que dados dos pontos, A e B, do gráfico de uma função diferenciável a uma mesma altura, eiste pelo menos um ponto C desse gráfico em que a reta tangente é orizontal. Teorema (teorema de Rolle) Seja f :[a, b] R uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Se f (a) =f (b), então eiste c ]a, b[ tal que f 0 (c) =0. Dem. Pelo teorema de Weierstrass podemos concluir que a função f temummáimom e um mínimo m no intervalo [a, b]. Se m = M, então f é constante, donde f 0 () =0, ]a, b[. Se m 6= M, como f (a) =f (b), então a função atinge o máimo M ou o mínimo m em = c, onde c ]a, b[. Pelo teorema 0, f 0 (c) =0. Eemplo Seja f () = +. Como f é uma função polinomial, tem-se que f é diferenciável em R. Além disso, f ( ) =f (), donde f satisfaz as condições do teorema de Rolle. Assim, c ], [ :f 0 (c) =0. De facto, f 0 () = +, R, donde f 0 () =0 = ], [. Corolário Se f :[a, b] R é uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[, então entre dois zeros consecutivos de f á, no mínimo, um zero de f 0. Corolário Se f :[a, b] R é uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[, então entre dois zeros consecutivos de f 0 não pode aver mais do que um zero de f. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

15 .7. Regra de Cauc Uma das aplicações mais relevantes do teorema de Rolle no cálculo de derivadas é a sua utilização no levantamento de indeterminações do tipo 0 0 ou do tipo no cálculo de ites. Propriedade 4 (regra de Cauc) Sejam f, g : D R R funções diferenciáveis em ]a, b[ D, com a, b R {, + }, e c = a ou c = b tais que g 0 () 6= 0, ]a, b[; c f () = c g () =0 ou c f () = c g () = ; c f 0 () g 0 () eiste. Então, f () cg () f 0 () cg 0 (). f 0 () Observação 4 Caso não eista não se pode aplicar a regra de Cauc, devendo c g 0 () f () utilizar-se outro processo para determinar c g (). Eemplo Calculemos o valor do ite µ sen 0 sen que é uma indeterminação do tipo 0 µ 0. Tem-se que f () = sen e g () =sen são funções diferenciáveis em R\{0}. Além disso, g 0 () =cos 6= 0, ], 0[ ]0, [. No entanto, µ µ f 0 sen cos () 0g 0 () não eiste. 0 cos Portanto, não se pode aplicar a regra de Cauc. sen Por outro lado, sabe-se que = e que o ite de um infinitésimo por uma função 0 itada é um infinitésimo. Assim, µ sen µ 0 sen 0 sen sen = 0 = 0. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

16 Eemplo Calculemos o valor do ite + ln + que é uma indeterminação do tipo. Tem-se que f () =ln e g () = + são funções diferenciáveis em ]0, + [ tais que g 0 () = 6= 0, ]0, + [. Além disso, Assim, pela regra de Cauc, + f 0 () g 0 () + + Eemplo 4 Calculemos o valor do ite ln + + sen 0 + = 0. = 0. que é uma indeterminação do tipo 0 0. Tem-se que f () = sen e g () = g 0 () = 6= 0, 6= 0. Além disso, são funções dierenciáveis em R tais que f 0 () 0 g 0 () 0 sen cos 0 sen () é também uma indeterminação do tipo 0 0. Utilizando justificações análogas às do caso anterior, vamos então estudar o seguinte ite do quociente de derivadas: [ sen ()] 0 cos () 0 ( ) que se mantem uma indeterminação do tipo 0. No entanto, 0 [ cos ()] 0 0 (6) 0 Assim, aplicando sucessivamente a regra de Cauc, 4 sen () = sen sen () cos () 4 sen () = DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07

17 .7. Teorema de Lagrange O resultado seguinte afirma que dados dois pontos, A e B, do gráfico de uma função diferenciável, eiste pelo menos um ponto C desse gráfico em que a reta tangente é paralela à reta secante definida por A e B. Teorema 5 (teorema de Lagrange) Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Então, eiste c ]a, b[ tal que f 0 (c) = f (b) f (a). b a Dem. Considere-se a função g () =f () f (b) f (a) () b a definida em [a, b] que verifica as condições do teorema de Rolle. Então, e g (a) =f (a) g (b) =f (b) f (b) f (a) f (a)(b a) [f (b) f (a)] a f (a) b f (b) a a = = b a b a b a f (b) f (a) f (b)(b a) [f (b) f (a)] b b = = b a b a f (a) b f (b) a. b a Portanto, g (a) =g (b). Pelo teorema de Rolle, conclui-se que c ]a, b[ :g 0 (c) =0, donde, por (), ou seja, f 0 (c) = f (b) f (a). b a c ]a, b[ :f 0 (c) f (b) f (a) b a = 0, Corolário 6 Seja f uma função nas condições do teorema de Lagrange tal que f 0 () = 0, para todo o ]a, b[. Então, f é constante no intervalo [a, b]. Corolário 7 Seja f umafunçãonascondiçõesdoteoremadelagrange.então,. f écrescenteem]a, b[ f 0 () 0, ]a, b[;. f éestritamentecrescenteem]a, b[ f 0 () >0, ]a, b[;. f édecrescenteem]a, b[ f 0 () 0, ]a, b[; 4. f éestritamentedecrescenteem]a, b[ f 0 () <0, ]a, b[. DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Janeiro de 07

18 .8 Derivadas de ordem superior Definição 8 Dado um intervalo aberto I eumafunçãof : D R R diferenciável em I D, diz-se que f tem segunda derivada em c I se f 0 é diferenciável em c, ou seja, f 00 (c) =(f 0 ) 0 (c) = c f 0 () f 0 (c) c Para além de f 00 (c), podem ser utilizadas as notações eiste e é finito. D f (c) ou µ d f d (c). Em termos físicos, a segunda derivada de f corresponde à aceleração instantânea. Analogamente, se f 00 for uma função diferenciável em c I definimos f 000 (c) =(f 00 ) 0 (c). De forma sucessiva, se eistirem e forem diferenciáveis em c as funções f 0,f 00,f 000,...,f (n ), podemos definir a derivada de ordem n (com n>) como f (n) (c) = f (n ) 0 (c) edizemos que f é n-vezes diferenciável em c. Eemplo 5 Seja g () =sen definida em R. A função g é 4-vezes diferenciável em R. De facto, R, g 0 () = cos ; g 00 () = (g 0 ) 0 () =(cos ) 0 = sen ; g 000 () = (g 00 ) 0 () =( sen ) 0 = cos ; g (4) () = (g 000 ) 0 () =( cos ) 0 = sen. Eemplo 6 Seja f () =e definida em R. Afunçãof é n-vezes diferenciável em R. De facto, R, f (n) () =e, para qualquer n N..9 Fórmula de Talor Sem o resurso de uma calculadora, ou de um computador, não é fácil calcular grande parte dos valores de funções relativamente simples,como a função logarítmica ou a função seno. No entanto, se fôr possível aproimar estas funções por polinómios, onde apenas intervêm as operações algébricas da soma e do produto, pode-se utilizar o valor do polinómio em vez do valordafunção,desdequeadiferençaentreovaloreatodafunçãoeovaloraproimadodo polinómio seja suficientemente pequena, ou seja, desde que o erro cometido seja tão pequeno quanto se queira. A questão que se coloca é: dada uma função f não polinomial, qual é o polinómio P de grau n N que melor aproima f? A resposta a esta questão depende do ponto que se considera mas quanto maior for o grau de P melor será a aproimação! DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Janeiro de 07

19 Considere-se, por eemplo, a função f () = e e os polinómios P () = + e P () = + + cuja representação gráfica é dada por: P P f Emrelaçãoaoponto(0, ), verifica-se que P é uma melor aproimação de f do que P. Definição 9 Seja f uma função n-vezes diferenciável em a. Define-se polinómio de Talor de grau n de f em a como sendo P n () =f (a)+f 0 (a)( a)+ f00 (a)! ]a ε,a+ ε[ D f, com ε >0. ( a) f(n) (a) n! ( a) n, Observação 5 No caso particular em que a = 0, o polinómio de Talor designa-se por polinómio de Maclaurin. No caso particular do polinómio de Talor de grau, P () =f (a)+f 0 (a)( a) otermof 0 (a)( a) corresponde ao conceito do diferencial de f em a, sabendo que, para valores de próimos de a, setem f () P (). Definição 0 Seja f : D R R umafunçãodiferenciávelema D. Define-se diferencial de f em a relativamente ao acréscimo = a ao polinómio df = f 0 (a) que, para valores de próimos de a, dá um valor aproimado da diferença finita de f f = f () f (a). Ou seja, f df. DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Janeiro de 07

20 Eemplo 7 Considere-se a função f () =ln definida em ]0, + [ e a =. Com f é -vezes diferenciável em a =, tem-se que f () = 0; f 0 () = f0 () =; f 00 () = f00 () = ; f 000 () = f00 () =. Assim, o polinómio de Talor de grau de f em a = édefinido por P () = 0 + ( )! ( ) + ( )! = ( ) ( ) + ( ), ]0, [. P f DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Janeiro de 07

21 Além disso, o diferencial de f no ponto a = é df = f 0 ()( ) =. Eemplo 8 Calculemos um valor aproimado de e 0., utilizando o polinómio de Maclaurin de grau da função eponencial. Seja f () =e. Então, P () =f (0)+f 0 (0)( 0) = +, donde f (0.) P (0.), ou seja, e 0... Definição Dada uma função fn-vezes diferenciável em a e P n o respetivo polinómio de Talor de grau n em a, define-se resto de ordem n como sendo a função R n () =f () P n (), que corresponde ao erro cometido na aproimação de f por p n. Teorema8(fórmuladeTalor)Seja f uma função n-vezes diferenciável em a e P n o respetivo polinómio de Talor de grau n em a. Então, f () =P n ()+R n () tal que R n () a ( a) n = 0. Observação 6 Para a = 0, a fórmula anterior designa-se por fórmula de Maclaurin. Das várias formas que se podem deduzir para calcular eplicitamente R n (), resto integral, resto de Lagrange e resto de Cauc, apresenta-se em seguida a epressão do resto de Lagrange. Teorema 9 (resto de Lagrange) Seja f uma função (n + )-vezes diferenciável num intervalo aberto I D f tal que a I. Então, para cada I, eiste c entre a e tal que R n () = f(n+) (c) (n + )! ( a)n+. Eemplo 9 Considere-se a função f () =e sen, n-vezes diferenciável em R, n N. Em particular, f é 4-vezes diferenciável em R tal que f 0 () = e (sen + cos ), f 00 () = e cos, f 000 () = e (cos sen ) e f (4) () = 4e sen. DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Janeiro de 07

22 Pela fórmula de Maclaurin de grau, f () =f (0)+f 0 (0)( 0)+ f00 (0) ( 0) + f000 (0) ( 0) + R ()!! R () tal que = 0. 0 Aplicando o resto de Lagrange, conclui-se que para cada ], [, eiste c entre 0 e tal que f () =0 + +! +! 4ec sen c 4, 4! ou seja, e sen = + + ec sen c 4, com 0<c<ou <c< Aplicações das derivadas Nesta secção irão ser abordadas algumas das aplicações mais importantes do cálculo de derivadas..0. Monotonia e etremos Recorde-se que, através do corolário 7 do teorema de Lagrange visto na subsecção.7., dado um intervalo ]a, b[ R, coma, b R, e uma função real de variável real f diferenciável em ]a, b[, tem-seque: f é crescente em ]a, b[ f 0 () > 0, ]a, b[; f é decrescente em ]a, b[ f 0 () 6 0, ]a, b[. Pela definição de máimo e de mínimo relativos sabe-se que: f (c) é um máimo relativo se f é crescente em ]a, c[ e decrescente em ]c, b[; f (c) é um mínimo relativo se f é decrescente em ]a, c[ e crescente em ]c, b[. Assim, para determinar os etremos de uma função diferenciável, identificam-se os zeros da função derivada e analisam-se os sinais à esquerda e à direita desses zeros. Eemplo 0 Considere a função definida por f () = e 4. Como f é diferenciável em R, f 0 () = 4 0 e 4 = 4 e 4. Portanto, Assim, f 0 () =0 4 {z} e 4 = 0 = 0. >0 D 0 + f 0 () 0 + f () & % dondeseconcluiquef é decrescente em ],0] e crescente em [0, + [. Logo, = = f (0) é mínimo relativo (e absoluto) de f. DMat - ESTSetúbal/IPS 0 Janeiro de 07

23 Eemplo Considere a função definida por g () =. Como g é diferenciável em R, g 0 () =. Logo, g 0 () =0 = 0 = 0. Assim, D 0 + g 0 () 0 g () & & dondeseconcluiqueg édecrescenteemr. Logo, g não tem etremos. Notação 0 Podem eistir etremos de um função em pontos do domínio em que não eista derivada. Por eemplo, para f () = tem-se que = 0 = f (0) é mínimo relativo de f e no entanto não eiste derivada de f no ponto = Concavidades e pontos de infleão Considere f : D R R uma função diferenciável em ]a, b[ D. Então, f tem a concavidade voltada para cima em ]a, b[ se o gráfico de f está acima da reta tangente em todos os pontos de ]a, b[ e f tem a concavidade voltada para baio em ]a, b[ se o gráfico de f estáabaiodaretatangenteemtodosospontosde]a, b[. Propriedade Seja f :]a, b[ R R -vezes diferenciável em ]a, b[. Então,. se f 00 () >0, ]a, b[, f tem a concavidade voltada para cima em ]a, b[;. se f 00 () <0, ]a, b[, f tem a concavidade voltada para baio em ]a, b[. Considere f : D R R tal que f é diferenciável num ponto c D. Recorde-se que (c, f(c)) éumponto de infleão de f se, neste ponto, ocorre uma mudança de concavidade no gráfico de f. Assim, para determinar os pontos de infleão de uma função diferenciável, identificam-se os zeros da segunda derivada da função e analisam-se os sinais à esquerda e à direita desses zeros. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

24 Eemplo Considere a função definida por f () = 6. Tem-se que f é -vezes diferenciável em R tal que Logo, Assim, f 0 () = e f 00 () =6. f 00 () =0 6 = 0 =. D + f 00 () 0 + f () 6 dondeseconcluiquef tem a concavidade voltada para baio em ],[ e a concavidade voltadaparacimaem], + [. Portanto,(, 6) é ponto de infleão de f. Observação 7 Combinando os sinais de f 0 e f 00 tem-se: Sinal de f 0 e f 00 f 0 () >0 e f 00 () >0 f 0 () >0 e f 00 () <0 f 0 () <0 e f 00 () >0 f 0 () <0 e f 00 () <0.0. Problemas de otimização Propriedades do gráfico de f f é estritamente crescente e tem concavidade voltada para cima f é estritamente crescente e tem concavidade voltada para baio f éestritamentedecrescenteetem concavidade voltada para cima f éestritamentedecrescenteetem concavidade voltada para baio Forma do gráfico As derivadas também se aplicam na resolução de problemas de otimização, isto é, problemas demáimosedemínimos. Suponamos que se pretende construir um cilindro com 69, 56 cm de volume mas de modo a minimizar a quantidade de material utilizado na sua construção. É então necessário descobrir qual o cilindro com 69, 56 cm de volume que tem a área total mínima. Sejam r o raio da base do cilindro e a altura do cilindro. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

25 Demodoasimplificar os cálculos assumimos que π =, 4. Sabemos que a área da base do cilindro é dada por A b = πr e a área lateral do cilindro é dada por Então, a área total do cilindro é dada por A l = πr. A = A b + A l = πr + πr. Por outro lado, o volume do cilindro é dado por V = πr. Assim, 69, 56 = πr 69, 56 = = 54 πr r. Subtituindo na fórmula da área total, tem-se que A = πr + πr 54 r = πr + π 54 µ r r = π r Agora basta procurar os etremos de A,considerandoA umafunçãoadependerdavariávelr. µ Ã r A 0 r r r + 54! µ r 54 = π = π = π. r r r Logo, A 0 = 0 r 54 = 0 r 54 = 0 r 6= 0 r =. r Assim, r ]0, + [ 0 + A A & 54π % donde se conclui que 54π é um mínimo relativo de A, pelo que se deve construir um cilindro com r = cm e = 6 cm de modo a minimizar a área.. Estudo de funções O gráfico de uma função pode ser muito útil para visualizar as propriedades dessa função. De facto, através da observação do gráfico de uma função é possível compreender e sintetizar todas as informações obtidas a partir do estudo da epressão analítica de uma função. Dada a epressão analítica de uma função, apresentam-se em seguida os itens que devem ser obtidos para esboçar o gráfico dessa função: DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

26 . Domínio;. Estudo da continuidade no domínio;. Assíntotas; 4. Zeros da função; 5. Intervalos de monotonia e etremos; 6. Concavidadesepontosdeinfleão. Depois de obtidos todos estes itens, têm-se todos os elementos necessários para esboçar o gráfico da função. A este processo dá-se o nome de estudo da função. Notação Nesta secção n.d. será a abreviatura de não definido. Eemplo Considere a função definida por f () = +. Pretende-se fazer o + estudo desta função.. O domínio de f é D f = R \{ }.. D f, f () é quociente com denominador não nulo de funções contínuas (polinómios). Portanto, f é contínua em D f.. Assíntotas verticais (pois / D f mas é ponto de acumulação de D f ): e f () + = = +f () = =+. Logo, = é assíntota vertical do gráfico de f. Assíntotas não verticais: f () m ± + ± ( + ) + ± + + = R ± + e µ b [f () m] + ± ± + + ± + ± + = R. Assim, = é assíntota oblíqua do gráfico de f. ± + DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07

27 4. D f, f () =0 + = 0 + = 0 ( ) = 0 = 0 = =, µ 0 + f 0 () = = ( )( + ) + + ( + ) Logo, = ( + ) = + ( + ). f 0 () =0 + = 0 + = 0 = ± p 4 4 ( ) ( + ) = ± 4 = = ( + ) f 0 () + 0 n.d. 0 + f () % 8 & n.d. & 0 % Portanto, f écrescenteem], ] eem[, + [ e é decrescente em [, [ eem ], ], donde se conclui que 8 = f ( ) é máimo relativo de f e 0 = f () émínimo relativo de f. 6. 6=, Ã!0 f 00 + () = = ( + )( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 4 = ( + ) ( + )( + ) + ( + ) 4 = ( + ) = 8 ( + ). Então, f 00 () =0 8 ( + ) = 0, que é uma condição impossível donde se conclui que não eistem pontos de infleão. No entanto, ( + ) 0 + f 00 () n.d. + f () n.d. DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Janeiro de 07

28 Portanto, f tem a concavidade voltada para baio em ], [ e tem a concavidade voltadaparacimaem], + [. Assim, de acordo com a informação obtida, o esboço do gráfico de f será: Eemplo 4 Considere a função definida por g () = oestudodestafunção. e > Pretende-se fazer. O domínio de g é D g = { R :( 6= 0 >0) 6 0} = { R : >0 6 0} = R.. > 0, g () = e é quociente com denominador não nulo de funções contínuas (função eponencial e polinómio). < 0, g () = é quociente com denominador não nulo de funções contínuas (polinómios). Portanto, g écontínuaemr \{0}. + Além disso, 0 g () 0 + = 0 e e 0 +g () 0 + = 0 =+, + dondeseconcluiquenãoeisteg (). Portanto,g não é contínua no ponto = Assíntotas verticais (pois g não é contínua em 0): Como 0 +g () =+, = 0 é assíntota vertical do gráfico de g. Assíntotas não verticais: g () e + + =+ DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Janeiro de 07

29 mas Logo, g () m + ( + ) + b [g () m] g () = 0. + Assim, = 0 é assíntota orizontal do gráfico de g. 4. >0, g () = e >0e 6 0, g () = + = 0. + = 0 = Note-se que se g não é contínua em 0, g não é diferenciável em 0 e portanto não eiste derivada de g no ponto = 0. Alémdisso, µ 0 e >0,g 0 () = = e e = e ( ) e Logo, e Assim, <0,g 0 () = µ 0 = + = + ( + ) ( + ). >0,g 0 () =0 e ( ) = 0 = <0,g 0 () =0 ( + ) = 0 =. 0 + e ( ) g 0 () 0 + n.d. 0 + g () & % 0 & e % Portanto, g é crescente em [, 0[ e [, + [ eédecrescenteem], ] e ]0, ], donde se conclui que = g ( ) e e = g () são mínimos relativos de g. 6. >0, g 00 () = µ e ( ) 0 = e e ( ) 4 = [e ( )+e ] e ( ) 4 = e + = 4 i e ( ) + DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Janeiro de 07

30 e <0, Ã!0 g 00 () = = + + ( + ) ( + ) 4 = + + = + ( + ) 4 ( + ) = ( + ). Logo, i e ( ) + >0,g 00 () =0 = 0, i que é uma condição impossível pois e ( ) + >0, R. Por outro lado, <0,g 00 () =0 = 0 = 0 =. ( + ) Assim, 0 + i e ( ) g 00 () 0 + n.d. + g () i 0 Portanto, g tem a concavidade voltada para baio em voltadaparacimaem de g. i, 0 e ]0, + [. Portanto,, e tem a concavidade µ, épontodeinfleão Assim, de acordo com a informação obtida, o esboço do gráfico de g será: DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Janeiro de 07

31 . Eercícios propostos Eercício Admita que, após uma injecção de cálcio, a quantidade de cálcio presente no sangue de uma pessoa ao fim det oras é dada, numa unidade de massa conveniente, por Q (t) = 90 t, para t 0.. Qual a taa média de variação entre as eas4 oras? E entre as eas5 oras? Eentreas eas oras e 0 minutos?. Qualataavariaçãoàs oras? Eercício Calcule, caso eista, recorrendo à definição de derivada de uma função, a derivada de f no ponto indicado:. f () =e no ponto = ;. f () =ln no ponto =. Eercício Considere a função real de variável real definida por f () =.. Calcule, usando a definição de derivada, f 0 () e interprete o resultado;. Calcule, usando a definição de derivada, f 0 ();. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ; 4. Determine m R de modo que a reta = m + seja tangente ao gráfico de f. Eercício 4 Considere a função real de variável real ± 6, f () = 6, <. Calcule f 0 ( + ), f 0 ( ) edigaseeistef 0 (). Eercício 5 Considere a função real de variável real ±, f () =, >.. Calcule f 0 ( + ),f 0 ( ) e diga se eiste f 0 ();. Caracterize a função derivada de f;. Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Eercício 6 Estude a continuidade e diferenciabilidade das funções seguintes nos pontos indicados:. f () = no ponto = ;. g () = no ponto = 0; ±,. () = ln, > no ponto =. DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Janeiro de 07

32 Eercício 7 Sejam f e g duas funções definidas por f () = e g () = 4. Determine:. f 0 () e g 0 ();. (f g) 0 ();. (f g) 0 (); 4. µ 0 f (); g 5. (f g) 0 (). Eercício 8 Calcule a derivada das funções seguintes:. f () =( + ) +( + 5);. g () = + ;. () = + + ; 4. j () = + e ; 5. l () = ; µ 6. m () =ln ; + 7. n () =ln (); 8. o () =log ( + ); 9. p () = 4 + cos ; 0. t () = sen ;. u () = tg (). Eercício 9 A concentração de um certo medicamento no sangue de um doente, t oras depois de ser tomado, é dada pela função C (t) = 0.t µ. Calcule t C0 e C 0 () einterprete + os valores obtidos. Eercício 0 Dois pontos movem-se numa reta. Em cada instante t, medidoemsegundos, as suas posições (abcissas) respetivas são dadas pelas funções f (t) =5t e g (t) =t + t. Em que instante têm os pontos a mesma velocidade? E em que instante, não nulo, têm a mesma posição? DMat - ESTSetúbal/IPS 0 Janeiro de 07

33 Eercício Um automóvel em movimento começa a reduzir a velocidade sob acção do travão de mão. Admita que, a partir do instante t = 0, medidoemsegundos,emqueé accionado o travão, a distância do carro ao ponto que ocupa naquele instante é dada por D (t) =80t.5t,0 t T eestafórmulavaleatéaoinstantet em que o carro se imobiliza. Determine T evelocidademédiadocarronointervalo[0, T]. Eercício Determine o ponto ou os pontos do gráfico da função cuja tangente é uma reta orizontal, sendo:. f () = 6 ;. g () = e ;. () = + ln 4. Eercício A altura de uma bola t segundos após ter sido lançada verticalmente de baio para cima a uma altura de m e com velocidade inicial de 48 m/s é dada pela função f(t) = 6t + 48t +.. Mostre que f verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo [, ].. O que pode afirmar sobre a velocidade em algum instante do intervalo [, ]? Determine esse instante. Eercício 4 A função f() = q( ) assume valores iguais nos etremos do intervalo [0, 4]. O teorema de Rolle é válido para f no intervalo indicado? Eercício 5 Calcule os seguintes ites:. + ;. 0 ( tg ) sen sen () ;. 0 e ; 4. ( + ) ; 0 sen 5. 0 sen. Eercício 6 Verifique a validade das condições do teorema de Lagrange para a função f() = no intervalo [, ] e determine o valor médio correspondente. Eercício 7 Aalturadeumobjectot segundos após ter sido largado de uma altura de 500 m é f(t) = 4.9t DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

34 . Calcule a velocidade média do objecto durante os primeiros segundos.. Use o teorema de Lagrange para mostrar que, em algum instante durante os primeiros segundos de queda, a velocidade instantânea se iguala à velocidade média. Determine esse instante. Eercício 8 Seja f afunçãorealdevariávelrealdefinida por ± + ln( ), > f() = e,. Determine a epressão da função f 00 Eercício 9 Utilize o polinómio de Maclaurin de ordem para calcular um valor aproimado de:. e;. sen (0.). Eercício 0 Considere a função real de variável real definida por g() =ln( + ).. Escreva a fórmula de Maclaurin da função g com resto de Lagrange de ordem.. Escreva a fórmula de Maclaurin da função g com resto de Lagrange de ordem.. Prove que ln( + ), 0. Eercício Determine, se eistirem, os etremos relativos da função definida por: f () = ( ) 5. Eercício Estude a monotonia e calcule os etremos relativos, caso eistam, da função definida por: f () =e. Eercício Estude a monotonia e calcule os etremos relativos, caso eistam, de cada uma das funções definidas a seguir:. f () = e ;. g () = ln ; ± 0, = 0. () = e, 6= 0. DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

35 Eercício 4 Determine o sentido das concavidades do gráfico da função definida por f () =( ) e, se eistirem, os pontos de infleão. Eercício 5 Com 5 m de rede pretende-se construir um recinto retangular. Quais devem ser as dimensões do recinto de forma a que a área seja máima? Eercício 6 Detodososretânguloscom5cm de área, qual é o que tem perímetro mínimo? Eercício 7 Observe a representação gráfica das funções. Para cada uma, indique o domínio, o contradomínio, a paridade, os intervalos de monotonia, os etremos, o sentido da concavidade e os pontos de infleão.. 0. A DMat - ESTSetúbal/IPS Janeiro de 07

36 Eercício 8 Qual dos gráficos seguintes satizfaz as condições: f () =; f 00 () 0 (). A B C 0 0 Eercício 9 Faça o estudo completo das seguintes funções reais de variável real:. f () = 8 + 6;. f () = ;. f () = + ( + ) ; 4. f () = ± ln (e ), > 0 e, 0 ; 5. f () = ; 6. f () =ln + ; 7. f () = 4 ; 8. f () =ln (e ). Eercício 0 Considere a função definida por f () =. Determine o domínio e os zeros de f.. Mostre que f não é contínua em (0, 0).. Determine a função derivada de f. 4. Estude f quanto à monotonia e eistência de etremos relativos. 5. Determine, caso eistam, os pontos de infleão de f. 6. Esboce o gráfico de f. ± + ln, > 0 cos (), π 0. DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07

37 Eercício Faça um esboço do gráfico de uma função f que satisfaz as seguintes condições: Domínio: R; zeros: (, 0) e (0, 0); Assíntotas: = 0 e = 0; Intervalos de monotonia: crescente em ]0, [ edecrescenteem],0[ e ], + [; Etremos: = f () é máimo relativo; Concavidades: voltada para baio em ],0[ e ]0, [, voltada para cima em ], + [; Ponto de Infleão: (, ). Eercício A altitude (em mm) deumfoguete,t segundos depois de ser lançado, é dada pela epressão f (t) =0 + 95t + 96t t.. Determine a altitude máima atingida pelo foguete;. Determine a velocidade máima atingida pelo foguete;. Comente a seguinte frase relativa ao foguete referido no enunciado: "Quando viajava no meu balão de ar quente, a uma altitude de 00 metros, quase fui atingida por um foguete que passou mesmo junto do balão." Eercício O vértice B do retângulo [OABC] é um ponto do o quadrante e pertence ao gráfico da função f definida por f () =e. Os vértices O, A e C pertencem aos eios coordenados, como se mostra na figura. C B O A(,0) Determine o valor de (abcissa do ponto A) demodoqueaáreadoretângulo[oabc] seja máima. DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Janeiro de 07

38 . Soluções Solução.. tmv [,4] = 0.64; tmv [,5] = 0.94 e tmv [,.5] =.05.. f 0 () =.08. Solução.. f 0 () =e.. f 0 () =. Solução.. f 0 () =. Interpretação geométrica: o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto = é. Interpretação física: a função f tem uma taa de variação de unidades para =.. f 0 () =.. = m =. Solução 4 f 0 ( + )=, f 0 ( 0 (). Solução 5.. f 0 ( + )=, f 0 ( 0 (). ±, <. f 0 () =, >.. = 4 4. Solução 6.. f é contínua e não diferenciável em.. g é contínua e não diferenciável em 0.. não é contínua nem diferenciável em. Solução 7.. f 0 () =. (f g) 0 () = e g0 () = (f g) 0 () = 6 6. ³ 0 f g () = 5. DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Janeiro de 07

39 5. (f g) 0 () = 6. Solução 8.. f 0 () = g 0 () = () = ( + ) 4. j 0 () =e l 0 () = ln ( ). 6. m 0 () = n 0 () = 8. o 0 () = ln (). ( + ) ln. 9. p 0 () = + sen. 0. t 0 () =sen + cos.. u 0 6 () = cos (). Solução 9 C 0 = 0.6 c/ e C 0 () = 0.04 c/. Interpretação: 0 m após a toma do medicamento, a sua concentração no sangue do doente ainda está a aumentar na proporção de 0.6 c/; após,a concentração diminui na proporção de 0.04 c/. Solução 0 Os pontos têm a mesma velocidade no instante t = 4setêm a mesma posição no instante t = 8s. Solução T = 6. (6) s e t.m.v. [0,T] = 40 m/s. Solução.. (0, 0) e (4, ).. (0, 0) e (, 0.54).. (0, 4.9). Solução.. f () =64 = f ().. t =. Solução 4 O teorema de Rolle não é válido porque a função não é diferenciável em ]0, 4[. DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Janeiro de 07

40 Solução e e (não se pode aplicar a regra de Cauc). Solução 6. Solução 7.. 4, 7 m/s.. t =. Solução 8 f 00 () = ( ), > e, < Solução 9.. Para f () =e,f(0.5) =e 0.5 = e P (0.5) =.65.. Para g () =sen, g (0.) =sen (0.) P (0.) =0.. Solução 0.. g () =. g () = +. - (c + ), com c entre 0 e. (c + ), com c entre 0 e. Solução 0 = f () é mínimo relativo de f.. Solução f édecrescenteem], ] e crescente em [, + [; = f ( ) émínimo e relativo de f. Solução.. f édecrescenteem],0] ecrescenteem[0, + [; 0 = f (0) é mínimo relativo de f.. g é crescente em 0, e µ e [, + [ e decrescente em e, 4 ; e = g émáimo e relativo de g e 0 = g () é mínimo relativo de g.. é crescente em ], ] e [0, ] e decrescente em [, 0] e [, + [; = ( ) = () é máimo relativo de e 0 = (0) é mínimo relativo de. e DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Janeiro de 07

41 Solução 4 f tem a concavidade voltada para baio em ],[ e a concavidade voltada para cima em ], + [; (, 0) é ponto de infleão de f. Solução 5 Deve ser um quadrado com 6, 5 m de lado. Solução 6 O quadrado com 5cmde lado. Solução 7.. D = R; decrescente em ],0] e [, ]; crescente em [0, ] e [, + [; = f () é máimo relativo; 0 = f (0) é mínimo absoluto; concavidade voltada para cima em ],0[ e ], + [; concavidade voltada para baio em ]0, [; pontos de infleão (0, 0) e (, 0).. D = R; crescente em R; não eistem etremos; concavidade voltada para cima em ], [; concavidade voltada para baio em ], + [; ponto de infleão (, ).. D = R; decrescente em [0, ]; crescente em ],0] e [, + [; = f (0) émáimo relativo; = f () é mínimo relativo; concavidade voltada para cima em ], + [; concavidade voltada para baio em ],[; ponto de infleão µ, 4. D = R\{, } ; decrescente em ], [ e ], 0]; crescente em [0, [ e ], + [; = f (0) é mínimo relativo; concavidade voltada para cima em ], [; concavidade voltada para baio em ], [ e ], + [; não eistem pontos de infleão. Solução 8 A. Solução 9.. D f = R; é contínua em R; não tem assíntotas; =.7, = 0.7 e = são zeros de f; decrescente em [., ]; crescente em ],.] e [, + [;.5 = f (.) é máimo relativo; 6 = f () é mínimo relativo; concavidade voltadapara cimaem]0., + [;concavidade voltada para baio em ],0.[;ponto de infleão (0.,.6) f ( ) = DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Janeiro de 07

42 . D f = R\{, } ; é contínua em R\{, } ; assíntotas verticais bilaterais: = e = ; assíntota orizontal bilateral: = 0; = 0 ézerodef; decrescente em ], [ e ], [ e ], + [; concavidade voltada para cima em ], 0[ e ], + [; concavidade voltada para baio em ], [ e ]0, [; ponto de infleão (0, 0). f ( ) = D f = R\{ } ; é contínua em R\{ } ; assíntota vertical bilateral: = ; assíntota orizontal bilateral: = ; decrescente em ], 0.67]; crescente em ], [ e [0.67, + [; 0. = f (0.67) é mínimo absoluto; concavidade voltada para cima em ], [ e ],.5[; concavidade voltada para baio em ].5, + [; ponto de infleão (.5, 0.4) f ( ) = ( + ) D f = R; écontínuaemr\{0} ; assíntota vertical unilateral: = 0; = 0.69 ézerode f; estritamente decrescente em ], 0[; estritamente crescente em ]0, + [; = f (0) é mínimo relativo; concavidade voltada para cima em ],0[; concavidade voltada para baio em ]0, + [. e ln ( e ) DMat - ESTSetúbal/IPS 40 Janeiro de 07

43 5. D = R\{}; é contínua em R\{} ; assíntota vertical bilateral: = ; assíntota obliqua bilateral: = + ; = 0 e = são zeros de f; estritamente decrescente em ], [ e ], + [; concavidade voltada para baio em ], [; concavidade voltada para cima em ], + [ D = R\{ }; é contínua em R\{ } ; assíntota vertical bilateral: = ; = e = 0 são zeros de f; decrescenteem], [; crescente em ], + [; concavidade voltada para baio em ], [ e ], + [ D = R\{, }; é contínua em R\{, } ; assíntotas verticais bilaterais: = e = ; = 0 ézerodef; decrescente em ], [, ], [ e ], + [; concavidade voltada para baio em ], [ e ]0, [; concavidade voltada para cima em ], 0[ e ], + [; ponto de infleão (0, 0) DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07

44 8. D =] ln, + [; écontínuaem] ln, + [; assíntota vertical unilateral: = ln ; assíntota oblíqua unitateral: = +ln ; = 0 ézerodef; crescente em D; concavidade voltada para baio em D Solução 0.. D =[ π, + [; Zeros: π 4, π 4 e e.. 0 f () = 6= 0 +f (). ±. f 0 () =, > 0. sin (), π <0 4. f édecrescenteem π, π i e crescente em mínimo relativo de f. 5. f tem a concavidade voltada para baio em concavidade voltada para cima em infleão de f. π 4, π 4 π,0 ³ e ]0, + [; = f π π, π, i π 4 4,0 e ]0, + [ etema ; µ π4,0 e ³ π,0 são pontos de 4 é DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07

45 Solução 0 Solução m...67 m/s.. Afirmação falsa. Pela alínea., sabe-se que o foguete atingiu a altitude máima de 4.66 m. Portanto, não pode ter passado perto do balão a uma altitude de 00 m. Solução =. DMat - ESTSetúbal/IPS 4 Janeiro de 07