3 Cálculo Diferencial

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1 Aula 6 26/0/206 (cont.) 3 Cálculo Diferencial Entramos agora num dos tópicos principais desta cadeira: o Cálculo Diferencial. usar derivadas como ferramentas no estudo de funções, em particular, cálculo de ites, representações gráficas, aproimação por polinómios Geometricamente, queremos determinar o declive da recta tangente ao gráfico de f em (a, f (a)) (i.e., a velocidade instantânea em a, se f representar um deslocamento). Temos que a razão incremental f () f (a) a nos dá o declive da recta secante entre (, f ()) e (a, f (a)) (i.e., a velocidade média entre a e ). Claro que não podemos substituir por a... Ideia: substituir velocidade instantânea por velocidade média e tomar o ite. Definição 3.. Seja f : D f R e a D (ponto de acumulação). Diz-se que f é diferenciável em a se eiste em R f f () f (a) f (a + h) f (a) (a) = =. a a h 0 h A função derivada f : D f R está definida em todos os pontos a D f onde f é diferenciável, o domínio de diferenciabilidade. A derivada de ordem n é dada por f (n+) () = ( f (n) () ), f (0) () = f (), nos pontos onde estiver definida. Eemplos:. f () = m + b, então f () = m, R. Definição 3.2. Se f é diferenciável em a, a recta tangente ao gráfico de f em (a, f (a)) é dada pela equação De facto, a recta dada verifica = a então y = f (a), tem declive f (a). y = f (a) + f (a)( a). 6

2 Aula 7 28/0/206 Começámos a ver a noção de derivada e de função diferenciável: Outra notação (Leibniz): f (a) = d f d (a). f f () f (a) f ( + h) f (a) (a) = = R. a a h 0 h Derivadas laterais Definem-se também as derivadas à direita e à esquerda 23 como f d (a) = a + É claro da definição de ite que: f () f (a), f e (a) = a a Teorema 3.3. f é diferenciável em a f d (a) e f e (a) eistem em R e f d (a) = f e (a) R. f () f (a). a NOTA: Reparem que, à partida, f d (a) e f (a + ) = a + f () não são a mesma quantidade. A igualdade f d (a) = a + f (), sempre que este ite eista, será consequência do Teorema de Lagrange, que veremos. Pode acontecer que f (a) esteja definida, e não eista a + f (). Eemplos. f () = m + b, então f () = m, R. 2. f () =, então f () =, > 0 e f () =, para < 0. Em = 0, temos f d (0) = 0 + = =, 0 + f e (0) = 0 = = 0 logo f não é diferenciável em 0, e D f = R \ 0. É contínua em f () =, D f = R \ 0. É diferenciável no seu domínio, com f () = 0, para todo D f. 4. f () = 3 em = 0: 0 3 = = +. a. Como o ite não eiste em R, f não é diferenciável em 0 e D f = R \ 0. É contínua em f () = 2 em = 0. É contínua, não é diferenciável em sempre que faça sentido, ou seja que a seja ponto de acumulação de D { > a} para a +, e de D { < a} para 62

3 Se f é diferenciável em a, a recta tangente ao gráfico de f em (a, f (a)) é dada pela equação y = f (a) + f (a)( a). Aproimação pela recta tangente: estamos a aproimar f (a) por nessa aproimação é dado por f () f (a), e o erro a E a () = f () f (a) a f (a) 0, a. Rescrevendo, temos f () = f (a) + f (a)( a) + E a ()( a) em que E a ()( a) 0 quando a. Podemos escrever f () f (a) + f (a)( a) quando a. 24 Eemplos: Os chamados ites notáveis - que justificámos na aula 3 - são na realidade derivadas: sen. 0 = (sen) (0) =. A recta tangente a f () = sen em 0 é dada por y = f (0) + f (0) =, e temos sen, quando 0. e 2. 0 = (e ) (0) =. A recta tangente a f () = e em 0 é dada por y = f (0) + f (0) = +, e temos e +, quando ln = (ln) () =. A recta tangente a f () = ln em é dada por y = f () + ( ) f () =, e temos ln, quando. Antes de (re)vermos as derivadas das funções elementares, vamos relacionar a noção de diferenciabilidade com a de continuidade. (Intuitivamente: se a f () f (a) 0 então o ite da razão incremental não pode eistir.) Teorema 3.4. Se f é diferenciável em a então é contínua em a. Demonstração. Uma vez que f é diferenciável em a, podemos usar a aproimação pela recta tangente. Temos f () = f (a) + f (a)( a) + E a ()( a) em que E a ()( a) 0 quando a. Tomando o ite em ambos os lados, temos então a f () = f (a). 24 Diz-se que f g quando a se a f () g() =. 63

4 O contra-recíproco deste teorema é por vezes útil, e diz que Por e., a função de Heaviside em = 0: (Notem que H é contínua à direita.) f não contínua em a f não diferenciável em a. H H() H(0) d (0) = = = 0, H e(0) H() H(0) = = = +. Mas, claro, f contínua f diferenciável! Já vimos f () =, f () = 3 são contínuas mas NÃO diferenciáveis em = 0 e muitas outras. Eemplo: sen, se 0. f () = 0, se < 0. 2 sen, se 0 2. f () = 0, se < 0. Em ambos os casos, f é contínua em 0. No caso., não é diferenciável em 0, já que f () f (0) 0 = 0 sen( ), que sabemos não eistir. No caso 2., f é diferenciável em 0, com f (0) = 0. Pode ver-se que f muda de sinal em qualquer vizinhança de 0, e que aliás não eiste 0 f () (ou seja, a função derivada f não é contínua em 0). Derivadas de funções elementares. f () = sen então f () = cos, R. (porque a sen sen a a 2 sen ( a 2 = a 2. f () = cos então f () = sen, R. 3. f () = e então f () = e, R. ) ( ) cos +a 2 a (Reparem que f satisfaz a equação diferencial f = f.) 4. f () = ln então f () =, R+. = cos.) Eercício: Prove as fórmulas dadas acima. (Repare que em cada caso a função derivada fica definida a partir do valor num ponto - a = 0 em., 2., 3., e a = em 4. - onde é dada pela notabilidade dos ites já estudados. Destes eemplos saem muito outros usando regras de derivação vossas conhecidas. Proposição 3.5. Se f e g são diferenciáveis em a então f ± g, c f (c R), f g, vizinhança de a) são diferenciáveis em a e f g (se g() 0 numa. ( f ± g ) (a) = f (a) ± g (a), ( c f ) (a) = c f (a), 64

5 2. 3. ( f g ) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) ( ) f (a) = f (a)g(a) g (a) f (a) g f (a) 2, ( ) (a) = g (a) g g 2 (a). Eemplos. Para n N ( n ) = n n, ( n ) = n n+ (pode ver-se por indução). Logo, para n Z, ( n ) = n n. 2. p() = n a k k p () = k=0 n n k a k k = (k + ) a k+ k. k= k=0 Em particular, a derivada de ordem n é constante: 3. (tg ) = ( ) sen cos = cos 2 = + tg2. (cotg ) = ( cos sen (sec ) = ( cos (cosec ) = ( sen p (n) () = n!a n e p (k) () = 0, k n +, R. ) = sen 2 = ( + cotg2 ). ) sen = cos 2 = tg sec. ) cos = sen 2 = cotg cosec. 4. (sen 2 ) = 2 sen cos = sen(2). ( ) 5. = ln ln 2, para > 0,. O seguinte resultado é crucial no calculo de derivadas: Teorema 3.6 (Derivada da Função Composta). Se g é diferenciável em a e f é diferenciável em b = g(a), então f g é diferenciável em a e ( f g) (a) = f (g(a))g (a). Demonstração. Usando a aproimação pela recta tangente, temos f (y) f (b) = (y b) f (b) + (y b)e b (y) em que E b (y) 0, y b representa o erro. Fazendo y = g(), b = g(a), e dividindo por a, temos f (g()) f (g(a)) (g() g(a)) = f (g() g(a)) (g(a)) + E g(a) (g()). a a a Como g é contínua em a (por ser diferenciável), E g(a) (g()) = E b (y) = 0, a y b 65

6 logo f (g()) f (g(a)) a a (g() g(a)) = f (g(a)) + a a (g() g(a)) E g(a) (g()) a = g (a) f (g(a)) + a g (a)e g(a) (g()) = g (a) f (g(a)). Eemplos: ( e. (ch ) + e ) ( e = = sh, (sh ) e ) = = ch (a ) = (e ln a ) = (ln a)a, a > 0, (log a ) = ( ) ln ln a = (ln a). 3. (e sen ) = cos e sen, em geral e u = u e u. Aula 8 3/0/206 Derivada da função composta: se g é diferenciável em a e f é diferenciável em b = g(a), então f g é diferenciável em a e ( f g) (a) = f (g(a))g (a). Muitas vezes aplica-se este resultado nos domínios respectivos (mais simples): se g é diferenciável em D g e f é diferenciável em D f, então f g é diferenciável em D f f e ( f g) () = f (g())g (). (Convem saber esta fórmula muito bem!) Escrevendo g() = u, recuperamos as regras de derivação vossas conhecidas: ( f (u) ) = f (u)u em que f (u) = e u, sen u, etc. Notação de Leibniz: escrevendo u = g() então o teorema anterior pode ser escrito como d f d = d f du (u) du d, e por esta razão é por vezes referido como Regra da Cadeia. Eemplos:. ( e +tg ) = e +tg ( + tg 2 ), Em geral: ( e ) = e 2, (ln cos ) = sen cos ( e u() ) = u ()e u(), (ln(u())) = u () u(). = tg. 66

7 2. ( sen( 2 ) ) = 2 cos( 2 ), Em geral: ( cos( 2 ) ) = 2 3 sen 2. (sen u()) = u () cos u(), (cos u()) = u () sen u(). 3. (sh ln ) = ch ln, ( ch(sen 2 ) ) = 2 sen cos ch(sen 2 ). Em geral: (sh u()) = u () ch u(), (ch u()) = u () sh u(). 4. Potências: para > 0 e α R (constante), escrevendo α = e ln(α) = e α ln temos Em particular: Em geral: ( ( α ) = (e α ln ) = α eα ln = α α. ) = ( ) = 2, ( 4 ) = ( 4) = 4 5, ( ) = ( 2 ) = 2. (u() α ) = u ()u() α. Por eemplo: ( (e 2 + tg(cos )) 4) = 4(e 2 + tg(cos )) 3 (2e 2 sen ( + tg 2 (cos ))) 5. Potência eponencial: ( ) = ( e ln ) = (ln + ). ( sen 3 cos 2 ) = 3 sen 2 cos 3 2 sen 4 cos. ( 3 ) + ln 3 = 3 ( + ln3 ) 2/3 3 ln2 = ln 2. 3 ( + ln 3 ) 2 (( + 2 ) cos ) = (e (cos ) ln(+2) ) = ( + 2 ) cos ( (sen ) ln( cos ) ) Em geral: potência eponencial ( ) f () g() ( ) = e g() ln f () = g () ln( f ()) f () g() + g() f () f () g(). (não é suposto saberem esta fórmula de cor!) Já vimos que f injectiva e contínua num intervalo I f contínua no intervalo J = f (I). Vemos agora: Teorema 3.7 (Derivada da Função Inversa). Seja f : I R injectiva e contínua em I, e a no interior do intervalo I. Se f é diferenciável em a, com f (a) 0, então f é diferenciável em b = f (a) e ( f ) (b) = f (a) = f ( f (b)) 67

8 Demonstração. Fazendo a mudança de variável y = f () = f (y), para y f (I), temos a se y b, já que f é contínua em b = f (a). Logo, já que f (a) 0. f (y) f (b) = y b y b a a f () f (a) = f (a) NOTA: Se soubessemos à partida que f é diferenciável em b = f (a), então também saíria do Teo. da Derivada da Composta, reparando que f ( f ()) =, para qualquer D f, logo ( f ) ( f (a)) f (a) =. O cálculo directo dado acima mostra a diferenciabilidade de f em b. Eemplos. f () = e, f (y) = ln y, y > 0. Então: 2. f () = 2, > 0, f (y) = y, y > 0. Então: Em geral, ( p y ) = p y p. (ln) (y) = e = e ln y = y. ( y ) = 2 = 2 y. 3. f () = sen, ] π 2, π 2 [, f (y) = arcsen y, y ], [. Então: (arcsen) (y) = cos = cos(arcsen y) = y f () = cos, ]0, π[, f (y) = arccos y, y ], [. Então: (arccos) (y) = sen = y f () = tg, ] π 2, π 2 [, f (y) = arctg y, y R. Então: ( arctg ) (y) = 6. f () = sh, f (y) = argsh y, y R. Então: + tg 2 = + tg 2 (arctg y) = + y 2. ( argsh ) (y) = ch = ch(argsh y) = y 2 + (notando que ch 2 y sh 2 y =.) Reparem que calculamos a derivada mesmo sem conhecer eplicitamente argsh y. Da mesma forma, ( argch ) (y) = sh = sh(argch y) = y 2, y >. 68

9 Agora podemos também calcular: (e arcsen ) = earcsen 2, ], [, ( arctg( ) ) = 2 ( + ), > 0. Em geral: ( arctg u() ) = u () + u 2 (), (arcsen u()) = u () u 2 (), (arccos u()) = u () u 2 (). Etremos Uma das principais aplicações da derivada é ao estudo de funções, nomeadamente, à determinação e classificação de pontos de etremo. Definição 3.8. Seja f : D f R, c D f. (i) f tem um máimo local em c se f () f (c) numa vizinhança de c. Este ponto diz-se um máimo absoluto se f (c) for o valor máimo de f em D f, ou seja (ii) f tem um mínimo local em c se f () f (c) para qualquer D f. f () f (c) numa vizinhança de c. Este ponto diz-se um mínimo absoluto se f (c) for o valor mínimo de f em D f, ou seja f () f (c) para qualquer D f. Em qualquer dos casos, f (c) diz-se um etremo de f, e c um ponto de etremo (ou etremante ou mazimizante ou minimizante). Um etremo local que não seja absoluto diz-se relativo. É claro que etremo absoluto etremo local. Eemplos:. f () = tem máimo (local e) absoluto em = 0, já que f (), R, e f (0) =. 2. f () = 2 + tem mínimo (local e) absoluto em = 0 2 +, se 3. f () = 3 2, se < >. tem mínimo local em = 0, não é absoluto já que ± = (logo f não é minorada - não tem mínimo absoluto, nem sequer ínfimo). tem máimo (local e) absoluto em = ±. Etremos no intervalo I = [ 3, 3]: mínimo local em = 0, máimo absoluto em = ±, mínimo absoluto (em I) em = ± 3. 69

10 4. f () = arcsen em D f = [, ] tem máimo (local e) absoluto em = e um mínimo (local e) absoluto em = (é estritamente crescente). Geometricamente, é intuitivo que se f tem um etremo em c e f é diferenciável em c, então a tangente ao gráfico (que eiste) será horizontal. A recta tangente é dada por y = f (c) + f (c)( c) Se, por e., f (c) > 0, então y > f (c), para > c e y < f (c), para < c (é claro que c não é ponto de etremo da recta!) Como f pode ser aproimada por y perto de c, f (c) também não será etremo de f. Teorema 3.9. Se f é diferenciável em c: c é ponto de etremo f (c) = 0. Demonstração. Vamos ver que se f (c) 0, então c não é ponto de etremo. Notem que f (c) é etremo f () f (c) não muda de sinal numa vizinhança de c. Temos f () f (c) = f (c)( c) + E c ()( c) = ( c) ( f (c) + E c () ). em que E c () 0 quando c. Se f (c) 0, então numa vizinhança (suficientemente pequena) de c, f (c) + E c () tem o mesmo sinal que f (c), 25 logo temos que o sinal de f () f (c) é o mesmo de f (c)( c). Como c muda de sinal em c, também f () f (c) mudará, e c não pode ser ponto de etremo. (Alternativamente: se f é diferenciável em c então f d (c) = f e (c). Se f (c) for máimo local, então f () f (c) 0 numa vizinhança V δ (c). Logo: f () f (c) c 0, se > c, f () f (c) c 0, se < c. Conclui-se que f d (c) 0 e f e (c) 0. Como f (c) = f d (c) = f e (c), temos f (c) = 0. Para mínimo é análogo.) Os pontos c tais que f (c) = 0 chamam-se pontos críticos de f. Pode haver pontos críticos que não são etremantes, ou seja, por eemplo f () = 3. f (c) = 0 c é ponto de etremo, Aula 9 2//206 Vimos: pontos de etremo e que se f é diferenciável em c: c é ponto de etremo f (c) = 0. Se f (c) = 0, então c chama-se um ponto crítico de f. Tipicamente, para estudar os etremos de uma função: 25 Basta garantir que E c () < f (c), o que é verdade em algum V δ (c) pela definição de ite. 70

11 . Achar possíveis pontos de etremo ( candidatos ): satisfazem uma das seguintes condições (a) f (c) = 0, (b) f (c) não eiste, (c) Em I = [a, b]: c = a ou c = b. 2. Classificar (reparem que a aproimação pela recta tangente dá-nos pouca informação em pontos críticos, são necessários outro critérios.) Eemplo Seja f () = 2 3 = 3 2, com D f = R. f () 0, para 0, e f não diferenciável em 0. Logo o único ponto de etremo local possível é = 0. f tem mínimo absoluto em 0 já que f (0) = 0 e f () 0,. Teoremas Fundamentais Veremos agora alguns resultados fundamentais do Cálculo Diferencial, que são em particular muito úteis no estudo de funções: Teorema de Rolle Teorema de Lagrange Teorema de Cauchy e Regra de Cauchy. Seja f uma função contínua em [a, b]. Sabemos do Teorema de Weierstrass que f tem máimo e mínimo em [a, b], e que estes se encontram em a ou b, ou pontos f (c) = 0, ou pontos onde f não tem derivada. Se for diferenciável em ]a, b[ e se einarmos a possibilidade de os dois etremos serem em a e b, temos Teorema 3.0 (Rolle). Seja f uma função diferenciável em ]a, b[, contínua em [a, b]. Se f (a) = f (b), então eiste c ]a, b[ tal que f (c) = 0. Demonstração. Sejam M = ma [a,b] f e m = min [a,b] f que eistem pelo Teo. Weierstrass. Se M = m, então f é constante e f () = 0, ]a, b[. Caso contrário, como f (a) = f (b), pelo menos um dos etremos será em f (c), com c ]a, b[. Como f é diferenciável, f (c) = 0. Corolário 3.. Entre dois zeros de uma função diferenciável, eiste um zero da derivada. Se einarmos a hipótese de f ser diferenciável, a conclusão do teorema pode não ser verdadeira: por eemplo 2/3, (têm etremos em pontos de não diferenciabilidade). Eemplos. Se f é duas vezes diferenciável e tem 3 raizes, então f tem (pelo menos) um zero: Se f (r ) = f (r 2 ) = f (r 3 ) = 0, com r < r 2 < r 3, então do Teo. Rolle, f (s ) = f (s 2 ) = 0 para alguns s ]r, r 2 [ e s 2 ]r 2, r 3 [. Aplicando agora o Teo. Rolle a f, temos que f tem (pelo menos) um zero em ]s, s 2 [. 2. A equação e = 3 tem eactamente 2 soluções: (É uma aplicação típica do Teorema de Rolle.) Vemos separadamente: 7

12 (i) Teorema de Bolzano: tem pelo menos 2 soluções. (Eercício.) (ii) Teorema de Rolle: tem no máimo 2 soluções. Logo tem eactamente 2 soluções. Para ver (ii): seja f () = e 3, diferenciável em R. Temos f () = e 3 e f () = 0 = ln 3 tem uma só solução. Segue-se do Teorema de Rolle que f tem no máimo dois zeros. Geometricamente, o Teo. de Rolle diz que há um ponto c ]a, b[ tal que a tangente é horizontal, ou seja paralela à recta secante que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)) (já que assumimos f (a) = f (b)). Se não eigirmos que f (a) = f (b) então o declive dessa recta secante é dado por f (b) f (a). b a Teorema 3.2 (Lagrange). Seja f uma função diferenciável em ]a, b[, contínua em [a, b]. Eiste c ]a, b[ tal que f f (b) f (a) (c) =. b a (Ou seja, eiste, pelo menos, um ponto em c ]a, b[ onde a velocidade instantânea coincide com a velocidade média entre a e b.) f (b) f (a) Demonstração. Seja m = e defina-se h() = f () m. Temos que h é diferenciável b a / contínua sempre que f o seja, com h () = f () m. Por outro lado, temos m(b a) = f (b) f (a) f (a) ma = f (b) mb h(a) = h(b). O Teorema de Rolle garante assim que eiste c ]a, b[ tal que h (c) = 0 f (c) = m = f (b) f (a). b a O Teorema de Lagrange generaliza o Teorema de Rolle (é a versão oblíqua ): se f (a) = f (b), então f (c) = 0. Escrevendo h = b a, o T. de Lagrange pode ser formulado da seguinte forma muito comum: f (a + h) = f (a) + f (c) h, para c = a + th, t ]0, [ (ou seja c entre a e a + h). É frequentemente útil aplicar o T. de Lagrange com o ponto a fio, e b = a variar. Eemplos:. Provar que e > +, > 0. Vamos aplicar o T. Lagrange a f () = e no intervalo [0, ]. Temos então que eiste c ]0, [ tal que f () f (0) 0 = f (c) e 72 = e c.

13 Como c > 0 e c > e > 0: e = e c > e > +. (Também é verdade que e > +, para < 0. Reparem que y = + é a recta tangente em = 0.) 2. Provar que < tg, ]0, π/2[. De novo, vamos aplicar o T. Lagrange a f () = tg no intervalo [0, ]. Temos então que eiste c ]0, [ tal que f () f (0) 0 = f (c) tg = cos 2 c > já que cos 2 < em ]0, π/2[. Logo como > 0, segue-se que tg >. Uma das principais consequências do T. Lagrange é permitir relacionar a monotonia de uma função diferenciável com o sinal da sua derivada: Corolário 3.3. Seja f uma função diferenciável em ]a, b[, contínua em [a, b]. (i) f () = 0, ]a, b[ (ii) f () > 0, ]a, b[ (iii) f () < 0, ]a, b[ f é constante em [a, b]; f é estritamente crescente em [a, b]; f é estritamente decrescente em [a, b]. Demonstração. Para quaisquer, 2 ]a, b[ com < 2 temos que eiste c ], 2 [ tal que Notando que 2 > 0, temos então f (c) = f ( 2) f ( ) 2 f ( 2 ) f ( ) = f (c)( 2 ). (i) f (c) = 0 f ( 2 ) = f ( ) (ii) f (c) > 0 f ( 2 ) > f ( ) (iii) f (c) < 0 f ( 2 ) < f ( ) f é constante em [a, b]; f é estritamente crescente em [a, b]; f é estritamente decrescente em [a, b]. NOTAS:. Em geral: f é (estritamente) crescente em I f () 0, I (por e. f () = 3 ) f é (estritamente) decrescente em I f () 0, I.. 73

14 2. Se o domínio não for um intervalo, então o resultado pode falhar: por e. f () = f () = 0, D f = R \ 0, e f não é constante em D f. Ou: f () = f () < 0 em D f mas f não é decrescente no domínio. 3. Se f () = g () em I então f () = g() + c, para alguma constante c R (já que ( f g) () = 0 em I). Para classificar pontos de etremo (em geral não é preciso f - mesmo que eista): Corolário 3.4. Seja f contínua num intervalo I e diferenciável em I \ {a}. 26 Se f muda de sinal em a então a é ponto de etremo. Demonstração. Consideramos o caso: f () > 0, ] a, a + ε[ f crescente em ]a, a + ε[ f () f (a + ) f () < 0, ] a ε, a[ f decrescente em ]a ε, a[ f () f (a ). Como f é contínua em a, f (a + ) = f (a ) = f (a), logo f () f (a), Vε(a) e a é ponto de mínimo. O outro caso é análogo. É precisamente o caso de f () =, que tem um mínimo em = 0 - ponto de não diferenciabilidade. Se f não for contínua em a não é necessariamente verdade: f () =, se < 0, f () = +, 0. Então f muda de sinal em 0 mas f (0) = não é mínimo local. Aula 20 4//206 Vimos os Teoremas de Rolle e de Lagrange e algumas aplicações. Uma outra consequência útil do T. Lagrange relaciona as derivadas laterais f d (a) e f e (a), i.e., os ites laterais da razão incremental, com os ite laterais da função f em a: Corolário 3.5. Seja f contínua num intervalo I e diferenciável em I \ {a}. (i) Se eiste a + f () então eiste f d (a) e f d (a) = a + f (). (ii) Se eiste a f () então eiste f e (a) e f e (a) = a f (). (iii) Se eiste a f () então f é diferenciável em a e ou seja, f é contínua em a. f (a) = a f (), 26 Notem que não estamos a assumir que f não é diferenciável em a, só não é necessário que seja. 74

15 Demonstração. É claro que (iii) segue de (i) e (ii). Para ver (i) ((ii) vê-se de forma análoga), queremos mostrar que f f () f (a) d (a) = = a + a f (). a + Do Teorema de Lagrange em [a, ] ( f é contínua em [a, ] e diferenciável em ]a, [), eiste c ]a, [ tal que f () f (a) = f (c ). a Quando a + também c a +. Como a + f () eiste, o resultado segue tomando o ite na igualdade acima. Notem que f pode ser diferenciável e não eistir a f (), por eemplo f () = 2 sen, f (0) = 0. Neste caso a função f não é contínua. Diz-se que f é de classe C (I) se f é diferenciável em I e f é contínua em I. Mais geralmente, f é de classe C n (I) se é n-vezes diferenciável em I e f (n) é contínua. Eemplos: Monotonia e etremos. f () = = 2 ( 2 8) 2. f () = e 3. f () = arctg ( ), D = R \ {0}. 4. f () = e, D = R \ {0}. O Teorema seguinte tem uma interpretação geométrica menos evidente, mas será muito útil. Teorema 3.6 (Cauchy). Sejam f e g funções diferenciáveis em ]a, b[, contínuas em [a, b], com g () 0 em ]a, b[ 27. Eiste c ]a, b[ tal que Demonstração. Seja m = resultado sai do T. Rolle. f (b) f (a) g(b) g(a) f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). e defina-se h() = f () mg(). Temos h(a) = h(b) e o De novo, o Teorema de Cauchy generaliza o Teorema de Lagrange, fazendo g() =. Uma das aplicações mais úteis na prática do Teorema de Cauchy é um resultado que nos permite alargar consideravelmente o universo dos ites que sabemos calcular (e das funções que sabemos estudar). 27 Em particular, sabemos do T. Rolle que g(a) g(b). 75

16 Teorema 3.7 (Regra de Cauchy ou de l Hôpital). Seja I um intervalo, a I, e f e g funções diferenciáveis em I \ a, g () 0. Se (i) a f () = a g() = 0 ou (ii) a f () =, g() =, a f () e se eiste a g (em R), então () f () a g() = f () a g (). Demonstração. Vamos ver apenas o caso (i) em que temos uma indeterminação da forma 0 0. Podemos assumir que a D f D g com f (a) = g(a) = 0 (já que podemos sempre prolongar por continuidade a a). Do T. de Cauchy, para qualquer I, a, temos f () f () f (a) = g() g() g(a) = f (c ) g (c ) para algum c I entre a e. 28 Quando a também c a, logo f () a g() = a f (c ) g (c ) = y a f (y) g (y) já que o ite do lado direito eiste. NOTAS: Podemos tomar a R, fazendo por eemplo, uma mudança de variável = y, com y 0. A Regra de Cauchy só se aplica directamente em indeterminações da forma 0 0 e! A condição que o ite do lado direito eista é essencial: por eemplo, se f () = +sen e g() = temos f () + g () = + sen não eiste em R + mas, por enquadramento, Eemplos: +. 0 sh sen = (indeterminação 0 0 ) 2. + tg / arctg / = y 0 + f () g() = + sen =. + tg y arctg y =. 28 ou seja, c ]a, [ ou c ], a[, consoante > a ou < a 76

17 sen e Reparem que os ites notáveis 0 =, ln 0 =, = são todos também casos particulares da Regra de Cauchy (mas foram usados para determinar as derivadas de sen, e e ln, que são usadas na R.C...) A Regra de Cauchy permite-nos comparar infinitamente grandes : p + e = 0, ln + p = 0, p N. Notação: Em geral, escrevemos f () << g(), quando a, f é desprezável perante g, se f () a g() = 0. Neste caso podemos escrever, para p N, a > : ln << p << a, +. Usando a definição de ite segundo Heine, fazendo n = n +, concluímos que ln n << n p << a n (escala de sucessões - notem que não sabemos para n!... (porquê?). Embora a Regra de Cauchy só se aplique a indeterminações 0 0 e, nalguns casos, outros tipos de indeterminações podem ser reduzidos a estes. Eemplos:. 0 + ln = 0. É indeterminação 0 : escrevemos como quociente ln a Regra de Cauchy e = 0 (indeterminação 0 ) tg ln(sen ) (indeterminação 0 ) = 0 (indeterminação ). sen Indeterminações de tipo potência: 0 0, 0, : e aplicamos Transformam-se em indeterminações produto / quociente usando eponencial e logaritmo. Eemplos:. 0 + = 0 + e ln = e 0 = (indeterminação 0 0 ) 77

18 Aula 2 7//206 Vimos Regra de Cauchy: para indeterminações 0 0 e : se o ite do lado direito eistir. = 0 (indeterminação 0 0, mas Regra de Cauchy não aplicável directa- 2 cos(/). 0 sen mente, ite f f () a g() = f () a g (), não eiste). g 2. 0 e = + = (não é indeterminação.) 0 e é indeterminação 0 0. A aplicação directa da regra de Cauchy não resolve o problema neste caso já que conduziria a 0 + ( e ) () = e e = =... Escrevemos então na forma de indeterminação : 0 + e y = y + e y = 0. (Podíamos ter feito mudança de variável logo no início.) / = 0 + = 0 (não é indeterminação) 5. + / = (indeterminação 0 ). Logo, fazendo n = n N + e usando a definição de Heine: n n =. Podemos estudar o ite da raiz indice n de algumas sucessões usando este método ( + ) / = e (indeterminação ). Logo tomando n = /n 0 temos ( + n) n = e (cos ) 2 ln cos = 0 e 2 = e (indeterminação ). Podemos aplicar a regra de Cauchy sucessivas vezes, por eemplo: 78

19 cos sen. 0 2 = = sen cos sen = = = Notação: escrevemos f () g(), a, f () é aproimadamente g(), quando a, se Os ites acima podem escrever-se: f () a g() =. cos 2 3, 0, sen 2 6, 0. Reparem que no o eemplo, ao aplicar RC duas vezes, usamos a segunda derivada e no 2 o eemplo, usamos a terceira derivada, e em ambos os casos, 0 é ponto crítico do numerador, e do denominador (polinómio). Em geral, podemos usar segundas derivadas derivadas de ordem superior para estudar o comportamento perto de pontos críticos. Aproimação quadrática: Já vimos que se f é diferenciável em a, então pode ser aproimada pela recta tangente f () f (a) + f (a)( a). Se a é um ponto crítico, i.e., se f (a) = 0, esta aproimação dá-nos pouca informação. Por outro lado, do teorema anterior com n = 2, se f é contínua, ie, f é de classe C 2, temos f () f (a) a ( a) 2 = f (a) 2. Logo, podemos escrever f () = f (a) + f (a) 2 ( a)2 + E 2 ()( a) 2 em que o erro E 2 () 0, se a e numa vizinhança do ponto crítico a podemos aproimar Como ( a) 2 > 0, a, é claro que f () f (a) + f (a) 2 ( a)2. se f (a) > 0 então f () > f (a) numa vizinhança de a a é ponto de mínimo. se f (a) < 0 então f () < f (a) numa vizinhança de a a é ponto de máimo. Se f (a) = 0? Usar derivadas de ordem superior. 79

20 Aula 22 9//206 Vimos Aproimação quadrática: se f é de classe C 2, ie, se f é contínua, podemos escrever numa vizinhança de um ponto crítico a com f (a) = 0 f () f (a) + f (a) 2 ( a)2. Se f (a) = 0 nada se pode concluir - vamos usar derivadas de ordem superior. Eemplo: f () = sen, f () = sen + cos, 0 é ponto crítico f (0) = 2 > 0 logo é ponto de mínimo. Classificação de etremos com derivadas de ordem superior: O teorema seguinte não é nada mais do que a formalização da aplicação sucessiva do Teorema e Regra de Cauchy. Escrevemos f (n) () para a derivada de ordem n. Definição 3.8 (Derivada de ordem k). Com k N definimos f () () = f (), f (k) () = ( f (k ) ) (). Para k = 0, temos por definição, f (0) = f. A função f diz-se k-vezes diferenciável se f (k) eiste, e de classe C k se f (k) é contínua. Se eistirem as derivadas de todas as ordens, f diz-se indefinidamente diferenciável. Eemplos:. f () = ( ) 3 então f () = 3( ) 2, f () = 3 2( ), f () = 6 = 3!,, f (k) () = 0, k f () = ( a) n então f (k) () = n(n )...(n k+)( a) n k, se k n e f (k) () = 0, k n+. Reparem que f (n) () = n!, é constante e que f (k) (a) = 0, k = 0,,..., n Teorema 3.9 (Cauchy de ordem n). Sejam f e g n-vezes diferenciáveis em I, com f (k) (a) = g (k) (a) = 0, k =,..., n e g (n) () 0 em I. Então eiste c entre a e tal que Em particular, se eiste a f (n) () g (n) (), temos f () f (a) g() g(a) = f (n) (c) g (n) (c). f () f (a) a g() g(a) = f (n) () a g (n) (). Demonstração. Por indução: se n = é o Teorema e a Regra de Cauchy. para mostrar que P(n) P(n + ): aplica-se T. Cauchy a f (n) e g (n). 80

21 Reparem que se f (n) e g (n) forem contínuas em a então, nas condições do teorema anterior f () f (a) a g() g(a) = f (n) () a g (n) () = f (n) (a) g (n) (a). Um caso que tem particular interesse - porque nos permite comparar funções com polinómios, como fizemos acima para sen e cos em a = 0 - é considerar g() = ( a) n. Temos g () = n( a) n g (a) = 0, g () = n(n )( a) n 2 g (a) = 0,... g (n ) () = n(n )...2( a) g (n ) (a) = 0, g (n) () = n! g (n) (a) = n!. Corolário Seja f n-vezes diferenciável em I, com Então eiste c entre a e tal que Em particular, se f (n) é contínua em a, temos f (k) (a) = 0, k =,..., n. f () f (a) ( a) n = f (n) (c). n! f () f (a) a ( a) n = f (n) (a). n! Notem que se n =, o resultado acima reduz-se ao Teorema de Lagrange e à definição de derivada. Este corolário vai-nos permitir classificar etremos (e levará ao polinómio de Taylor). Reparem que nas condições acima, se f (k) (a) = 0, k =,..., n podemos aproimar f () f (a) + f (n) (a) ( a) n. n! Voltando ao caso dos pontos críticos: se f (a) = f (a) = 0, podemos usar o corolário do T. de Cauchy com n = 3, para concluir agora que f () f (a) + f (a) ( a) 3. 3! Como ( a) 3 muda de sinal em a, se f (a) 0, a não é ponto de etremo. Se f (a) = 0, tomamos n = 4, e tiramos as mesmas conclusões que para n = 2... Teorema 3.2 (Classificação de etremos). Seja f n + -vezes diferenciável em I, com Então: n é ímpar: a não é ponto de etremo. f (k) (a) = 0, k =,..., n, f (n) (a) 0. n é par: se f (n) (a) > 0, é ponto de mínimo, se f (n) (a) < 0, é ponto de máimo. 8

22 Eemplos. f () = sen, f () = cos, f () = sen, f () = cos. Pontos críticos: f () = cos = 0 = 2kπ, k Z. Temos f (2kπ) = 0 e f (2kπ) = 0, logo f não tem pontos de etremo. Eercício: Esboce o gráfico de f. (Note que f () + - o gráfico está entre as duas rectas.) 2. f () = cos : 0 é ponto de mínimo local já que f (0) = f (0) = f (0) = 0 mas f (4) (0) = > 0. Eemplos. f () = ln + e, f () = e logo f () = 0 é ponto crítico. Temos f () = 2 + e, f () = 0, f () = 2 3 e, f () = 0 logo não é ponto de etremo. 2. f () = sen, f () = cos, f () = sen, f () = cos. Pontos críticos: f () = cos = 0 = 2kπ, k Z. Temos f (2kπ) = 0 e f (2kπ) = 0, logo f não tem pontos de etremo. Eercício: Esboce o gráfico de f. (Note que f () + - o gráfico está entre as duas rectas.) 3. f () = 2 cos + 2 : 0 é ponto de mínimo local já que f (0) = f (0) = f (0) = 0 mas f (4) (0) = 2 > 0. Concavidades A aproimação quadrática também nos permite analisar a concavidade de f. Definição Seja f diferenciável em I. Diz-se que f é convea em I, ou tem concavidade virada para cima se para qualquer a I, f () > f (a) + f (a)( a), numa vizinhança de a. f é concava em I, ou tem concavidade virada para baio se para qualquer a I, f () < f (a) + f (a)( a), numa vizinhança de a. f tem um ponto de infleão em a I se f muda de concavidade em a. Teorema Seja f uma função 2-vezes diferenciável em I. Então: 82

23 (i) f é concava em I f () > 0, I, (ii) f é convea em I f () < 0, I. (iii) f tem ponto de infleão em a f () muda de sinal em a. Demonstração. Seja h() = f () f (a) f (a)( a) h(a) = h (a) = 0, h () = f (), I. É claro que f é concâva / convea se h() < 0 / h() > 0. Usamos a aproimação quadrática dada pelo T. de Cauchy de ordem 2 aplicado à função h: e o resultado segue. h() h (a) 2 ( a)2 = f (a) 2 ( a)2, a Pelo mesmo raciocínio usado anteriormente para classificar etremos, vemos que se e a é ponto de infleão e f (a) eiste, então f (a) = 0. Por outro lado, se f (a) = 0 e f (a) 0 então a é ponto de infleão. (Se f (a) = 0, iriamos a f (4) (a)...) Notem que sai da demonstração do teorema anterior que f () f (a) + f (a)( a) + f (a) 2 ( a)2, a. Iremos generalizar e melhorar esta aproimação através do Polinómio de Taylor. Esboço de gráficos: Veremos estudo completo de funções, usando ferramentas estudadas. Tipicamente para esboçar o gráfico: monotonia e etremos concavidades assintotas Assíntotas: Verticais: o gráfico de f tem assimptota vertical = a se a a f () = ±, e/ou f () = ±. + Horizontais: o gráfico de f tem assíntota horizontal y = b à direita se eà esquerda tomando o ite em. b = + f () R Oblíquas: o gráfico de f tem assíntota oblíqua y = m + b à direita se m = + f () R, e b = f () m R + e tem assíntota obliqua à esquerda tomando os ites em. (Claro que as horizontais são um caso particular: m = 0.) 83

24 Eemplos:. f () = arctg y = π 2 assíntota oblíqua à direita, y = π 2 assíntota oblíqua à esquerda. 2. f () = e / = 0 assíntota vertical (à direita), y = + assíntota oblíqua à direita e à esquerda. Eemplos: Estudo completo - monotonia, etremos, concavidades, assíntota, gráfico - de:. f () = e 2 2. f () = e / 3. f () = arctg ( ) arcsen, se 0, 4. f () = +. 2 e, se < 0 Aula 23 //206 Revisões para o teste. Aula 24 4//206 Aproimação por polinómios: polinómio de Taylor. Objectivo: aproimar funções por polinómios - fácil de calcular - perto de um ponto a dado. Já vimos perto de pontos críticos: se f (a) = 0, então f () f (a) + f (a) 2 ( a)2, e mais geralmente, se f é de classe C n numa vizinhança de a e f (k) (a) = 0, k =,..., n podemos aproimar f () f (a) + f (n) (a) ( a) n n! f () f (a) porque neste caso a ( a) n = f (n) (a) (Regra de Cauchy n vezes). n! Por outro lado, também vimos: Recta tangente: aproimação linear y = f (a) + f (a)( a) := p (), e f () p () = E ()( a), em que a E () = 0. IMPORTANTE: Temos p (a) = f (a), p (a) = f (a). 84

25 Se quisessemos uma aproimação quadrática: fazendo h() = f () p () = f () f (a) + f (a)( a) então h(a) = h (a) = 0 e h () = f (), logo Em geral temos: h() h (0) 2 ( a)2 f () f (a) + f (a)( a) + f (a) ( a)2 2 Aproimação quadrática: p 2 () = f (a) + f (a)( a) + f (a) 2 ( a)2. IMPORTANTE: Temos p 2 (a) = f (a), p 2 (a) = f (a), p 2 (a) = f (a). Aproimação cubica: Eemplos: p 3 () = f (a) + f (a)( a) + f (a) 2 ( a)2 + f (a) ( a) 3. 3! IMPORTANTE: Temos p 3 (a) = f (a), p 3 (a) = f (a), p 3 (a) = f (a).. f () = e então f (k) () = e, k N. No ponto a = 0, temos f (k) (0) = e e , quando f () = sen então f (2k) () = ( ) k sen e f (2k ) () = ( ) k cos. No ponto a = 0, f (2k) (0) = 0, e f (2k ) (0) = ( ) k : sen 3 6 quando 0. Ideia: considerar derivadas de ordem superior e determinar um polinómio de grau n cujas derivadas em a coincidam com as de f até à ordem n. É fácil ver que se p() = ( a) n então p (k) () = n(n )...(n k + )( a) n k, se k n e p (k) () = 0, k > n. Reparem que p (n) () = n!, é constante e que p (k) (a) = 0, k = 0,,..., n, p (n) (a) = n!, p (k) () = 0, k > n. Eemplos: Derivadas de polinómios. p() = 4 então p () = 4 3, p () = 4 3 2, p () = 4 3 2, p (4) () = 4!, p (k) () = 0, k 5, p (k) (0) = 0, k = 0,, 2, 3, p (4) (0) = 4!. 85

26 2. p() = ( ) 3 então p () = 3( ) 2, p () = 3 2( ), p () = 6 = 3!,, p (k) () = 0, k 4, p (k) () = 0, k = 0,, 2, p (3) () = 3!. 3. p() = 2( 2) 3 + 3( 2) 5 então p (k) (2) = 0, k 3, 5 p (3) (2) = 2 3!, p (5) (2) = 3 5!. Fio a D f, queremos agora encontrar um polinómio de grau n cujas derivadas em = a coincidam com as de f até à ordem n. Escrevendo temos p (k) n (a) = k!a k : p n (a) = a 0 = f (a) a 0 = f (a), p n () = a 0 + a ( a) + a 2 ( a) a n ( a) n p n() = a + 2a 2 ( a) na n ( a) n p n(a) = a = f (a), p n () = 2a ( a)... + n(n )a n ( a) n 2 p n (a) = 2a 2 = f (a), p (k) n () = k!a k n(n )...(n k + )( a) n k p (k) n (a) = k!a k = f (k) (a). Conclui-se que o polinómio desejado tem coeficientes a k = f (k) (a), k = 0,..., n. k! Definição 3.24 (Polinómio de Taylor). Seja f n-vezes diferenciável em a D f, o polinómio de Taylor de ordem / grau n no ponto a é dado por p n,a () = f (a) + f (a)( a) f (n) (a) ( a) n = n! Proposição Seja f de classe C n numa vizinhança de a.. O polinómio de Taylor de ordem n é o único polinómio de grau n tal que p (k) (a) = f (k) (a), k = 0,..., n. 2. O coeficiente n do polinómio de Taylor de ordem n é dado por: a n = f (n) (a) n! n k=0 f () p n,a () = a ( a) n, em que p n,a o polinómio de Taylor de ordem n em a, n N. f (k) (a) ( a) k. k! Demonstração. Já vimos. Para 2., se h() = f () p n,a () então h (k) (a) = 0, k = 0,,..., n, e h (n) () = f (n) (), logo f () p n,a () a ( a) n = a h() ( a) n = h(n) (a) n! = f (n) (a). n! 86

27 Conclui-se do resultado anterior que f () p n,a () << ( a) n ou seja, p n,a () é uma aproimação de f quando a (por um infinitésimo) com ordem superior a ( a) n : Teorema 3.26 (Fórmula de Taylor). Seja f de classe C n numa vizinhança de a e p n,a o seu polinómio de Taylor de ordem n em a. Então f () = p n,a () + E n ()( a) n, em que E n () 0, a. Demonstração. Seja E n () = f () p n,a() ( a) n tal que f () = p n,a () + E n ()( a) n. Como, p n,a () = p n,a () + f (n) (a) ( a) n, temos n! Eemplos:. f () = e então em a = 0: f () p n,a () E n () = a a ( a) n f (n) (a) = 0. n! p n,0 () = n ! n! 2. f () = sen então em a = 0 temos f (2k) (0) = 0 e f (2k+) = ( ) k logo, se n é ímpar, (se n é par temos p n,0 () = p n,0 ()). 3. f () = cos temos, para n par, p n,0 () = 3 3! + 5 n... + ( )(n )/2 5! n! p n,0 () = n... + ( )n/2 4! n! (se n é ímpar temos p n,0 () = p n,0 ()). Reparem que este polinómio pode obter-se derivando o polinómio de ordem n + para sen. 4. f () = ln em a = : temos f () =, f () = 2, f () = 2 3,..., f (k) k+ (k )! () = ( ) k (pode provar-se por indução), logo f (k) () = ( ) k+ (k )! e p n, () = ( ) 2 ( )2 + 3 ( ) ( )n+ ( ) n. n 87

28 NOTA: Nem sempre a aproimação nos dá informação: por e. se f () = e /2, com f (0) = 0, temos f (k) (0) = 0, logo o polinómio de Taylor de qualquer ordem é nulo. Estimativas para o erro: Para cada a e cada n N consideramos R n,a () = f () p n,a () o erro cometido ao aproimar f pelo polinómio de Taylor de ordem n em a. Já vimos que R n,a () a ( a) n = 0, ou seja R n,a () << ( a) n. Em aplicações é por vezes útil ter estimativas mais precisas para o erro. Teorema 3.27 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja f n + -vezes diferenciável e a I D f, I intervalo. Então f () = p n,a () + R n,a () em que para algum c entre a e. R n,a () = f (n+) (c ) ( a)n+ (n + )! Demonstração. Rescrevendo, queremos ver que f () p n,a () ( a) n+ = f (n+) (c ) (n + )! para algum c entre a e. Vemos por indução: Para n = 0 é o T. Lagrange. Supondo que é verdadeira para n, para qualquer função f, provamos para n: usando o T. de Cauchy, temos que eiste d entre a e tal que f () p n,a () ( a) n+ = f (d ) p n,a(d ) (n + )(d a) n. Como p n é o polinómio de Taylor de ordem n de f, podemos usar a hipótese de indução com f e p n,a, no ponto d, para concluir que f (d ) p n,a(d ) n + (d a) n = ( f ) (n) (c ) = f (n+) (c ) n + n! (n + )!, para algum c entre e a. Eemplos: 88

29 . e = n n! + R n() em que R n () = e c (n + )! n+, para algum c entre 0 e. Se então e c e < 3 e o erro vem R n () < 3,. (n + )! Se quisermos erro < 0 3, tomamos n tal que (n + )! > 3 0 3, por e., n = 6 (7! = 5040), erro < 0 4, tomamos n = 7. Em particular, para =, temos e , com erro < Para aproimar e: temos = /2 e portanto e c < e /2 < 2, dado que c ]0, /2[, logo R n (/2) = e c (n + )! 2 n+ < (n + )! 2 n. Temos: em que e n! 2 n n = : Erro = R n () < 4, n = 2: Erro = R n () < 24 < 25 = 0.04, n = 3: Erro = R n () < 4!2 3 = 92 < 200 = 0.005, n = 4: Erro = R n () < 5!2 4 = 920 < 2000 = ou seja, por eemplo, com n = 3 e sen = 3 3! + 5 5! ( )n 2n (2n )! + R 2n (), em que, para algum c entre 0 e, Erro = R 2n () = sen(c + nπ) 2n < 2n (2n)! (2n)!. 89

30 Aula 25 6//206 Uma propriedade importante do polinómio de Taylor é a sua unicidade enquanto polinómio de grau n que aproima f por um infinitésimo de ordem ( a) n perto de a: Proposição 3.28 (Unicidade do polinómio de Taylor). Se p() = a 0 + a ( a) a n ( a) n é tal que f () p() a ( a) n = 0 então p() = p n,a () é o polinómio de Taylor. Demonstração. Basta ver que p (k) (a) = f (k) (a), para qualquer k = 0,,..., n, ou seja, definindo h() = f () p() então h (k) (a) = 0. h() Temos h(a) = 0, já que se h(a) 0 então seria a = ±. Logo este ite é ( a) n uma indeterminação 0 0, usando a Regra de Cauchy, temos 0 = a h() ( a) n = a h () n( a) n e portanto h (a) = 0 usando o mesmo argumento. Repetindo o processo n vezes, chegamos a h (k) (a) = 0, k = 0,..., n. Esta propriedade permite-nos encontrar polinómios de Taylor de forma indirecta, sem calcular as derivadas de ordem k no ponto. Eemplos:. Mudanças de variável (polinomiais): sabendo que, com a = 0, em que R n() n e = n n! + R n() = ec n! 0, se 0, fazendo = y2 0, se y 0, temos e y2 = + y 2 + y y2n n! em que R n(y 2 ) y 2n 0, y 0, logo p 2n,0 () = + y 2 + y4 2 de ordem 2n de e y2. + R n (y 2 ) y2n n! é o polinómio de Taylor 2. Sabendo que, com a = 0, temos sen = 3 3! ( )n 2n+ + R 2n+ () (2n + )! sen = 2 4 3! ( )n 2n+2 + R 2n+ () (2n + 2)! em que R 2n+() 2n+2 0, y 0, logo p 2n+2,0 () = 2 4 3! ( )n 2n+2 (2n + 2)! de Taylor de grau 2n + 2 para sen. é o polinómio 90

31 3. Da fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica n = n+ temos = n + n+ ( n ) n = 0, 0 logo p n,0 () = n é o polinómio de Taylor de f () =. Para f () = + = temos o polinómio em a = 0, ( ) p n,0 () = ( ) n n. Para f () = em a =, temos f () =, e obtem-se o polinómio + ( ) Eercício: polinómio de Taylor de p n, () = ( ) + ( ) ( ) n ( ) n. fazendo = y2 + y2 9