ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Aula nº 1 do plano nº 12

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Aula nº do plano nº Resolver os eercícios 35, 355, 358, 360, 36, 364 das páginas 67 a 7 Conceito de derivada de uma função num ponto Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f, no ponto a, e representa-se por f' ( a, ao ite (se eistir a Observação: Designando a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever: ( f a h f a h 0 h 35. Usando a definição de derivada de uma função num ponto vamos calcular: 3 a. f ( sendo 3 0 f ( ( 3 f 7 C.A. b. g ( sendo g e e ( e ( e g g e e g ( e e c. h ( 0 sendo h PROFESSORA: Rosa Canelas 005/006

2 h h( 0 h ( ( ( d. r ( sendo r 0 ( ( ( ( r r 4 r ( 4 ( ( ( e. s ( sendo s ln y ln s s( 0 ln ln ln y ln s y 0 y y 0 y y ln y 0 y 355. Pretendemos provar que a derivada de uma função par é uma função ímpar ( e vice-versa. Hipótese: f é par isto é f( f(, Df Tese: f é ímpar isto é f ( f Demonstração: Calculemos f ( e provemos que é igual a f. ( ( f ( h f ( h h f ( f h 0 h h 0 h h 0 h Provemos agora que a derivada de uma função ímpar é uma função par: Hipótese: f é ímpar isto é f( f(, Df Tese: f é par isto é f ( f. Demonstração: Calculemos f ( e provemos que é igual a f ( ( f ( h f ( h h f ( h 0 h h 0 h h 0 h ( h f h 0 h PROFESSORA: Rosa Canelas 005/006

3 Interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. A derivada da função f, no ponto a, é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( a, f ( a. ( a f é o declive da recta r Interpretação física do conceito de derivada de uma função num ponto Se, para cada valor de t, f ( t representar o espaço percorrido por um móvel até ao instante t, então a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel no instante a. Derivabilidade e continuidade Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto. O recíproco não é verdadeiro Seja f 0,5 a. Pretendemos escrever a equação da recta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissa 0 e. Começamos por calcular as coordenadas dos pontos do gráfico onde passa a recta: ( 0, e (,, calculando f( 0 e f(. Neste caso a recta é horizontal pelo que a sua equação é y. b. Pretendemos escrever a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. Começamos por calcular as coordenadas do ponto de tangência ( 0, calculando f( 0 Em seguida calculamos o declive da recta tangente ao gráfico no ponto de abcissa 0, 0,5 ( 0,5 f 0 ( 0,5 Ou calculando: calculando f e f 0 0. Concluímos então que a recta tem equação y Também podemos utilizar a calculadora para obter a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. PROFESSORA: Rosa Canelas 3 005/006

4 360. Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei distância percorrida em metros ao fim de t segundos. a. Calculemos a velocidade média no intervalo [,4]. ( ( e 4 e v[,4] 45m/s 3 3 b. Calculemos a velocidade no instante t 3 Usando as regras de derivação e ( t 0t 0 e portanto e 5t 0t sendo e a e Derivadas laterais Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada lateral direita da função f, no ponto a, e representa-se por f ( a, ao ite (se eistir a Chama-se derivada lateral esquerda da função f, no ponto a, e representa-se por f ( a, ao ite (se eistir a As derivadas laterais da função f, no ponto a, são os declives das semi-tangentes ao gráfico de f, nesse ponto. ( a f é o declive da semi-recta r f ( a é o declive da semi-recta s Como as duas semi-tangentes não estão no prolongamento uma da outra, têm declives diferentes, pelo que f ( a f ( a A função não tem, portanto, derivada no ponto a. Dizemos que o ponto de coordenadas ( a, f ( a é um ponto anguloso do gráfico de f. PROFESSORA: Rosa Canelas 4 005/006

5 36. Seja f a função definida por ( em 0 calculando as derivadas laterais de f no ponto 0. e 0 e f ( ( e se 0 ln. Justifiquemos que f não é derivável se < 0 ln 0 ln( f ( Porque as derivadas laterais são diferentes a função não tem derivada no ponto 0 e por isso não é derivável. Bastaria estudar a continuidade no ponto de abcissa zero porque: ( e 0 e 0 0 ln f, o que prova que f não é contínua em 0 e por isso a função não é 0 0 derivável. Se a função fosse derivável a função teria de ser contínua Se g0 e g 0 o que se pode dizer sobre a eistência de g ( 0? Nada, não podemos afirmar nada porque o que sabemos é que a função é contínua no ponto 0 mas isso não é suficiente para garantir a eistência de derivada nesse ponto. PROFESSORA: Rosa Canelas 5 005/006