Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a seguinte definição será indispensável: ), tal que ( ) 0

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1 ABORDAGEM DO CONCEITO DE DERIVADA SEM LIMITES Maria Clara Martins, ESEC; Jaime Carvalho e Silva, UC Introdução O conceito de derivada é abordado pela primeira vez na disciplina de Matemática no º ano do ensino secundário De acordo com as orientações curriculares actualmente em vigor esta abordagem é feita numa primeira fase de modo intuitivo e posteriormente trabalhando eemplos com maior compleidade mas recorrendo sempre à teoria de limites Mas será que o conceito de derivada terá que ser necessariamente abordado recorrendo ao conceito de limite? Não De facto, iremos, no que segue apresentar uma abordagem do conceito de derivada baseada no livro Calculus Unlimited de J Marsden e A Weinstein Trata-se de uma abordagem alternativa visto não envolver a teoria de limites e eigir apenas como pré-requisitos que o aluno esteja familiarizado com funções e gráficos Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a seguinte definição será indispensável: Definição : [Mudança de Sinal] Seja f uma função real de variável real e um número real A função f muda de sinal negativo para positivo em se eistir um intervalo ], [ definida (ecepto eventualmente em ), tal que ( ) a b contendo em que f esteja f < se a f > se < < e ( ) < < b A função f muda de sinal positivo para negativo em se eistir um intervalo ] a, b [ contendo em que f esteja definida (ecepto eventualmente em ), tal que ( ) f > se a < < e ( ) f < se < < b Geometricamente, dizemos que uma função f muda de sinal se o seu gráfico atravessa o eio dos de um lado para o outro É importante notar que o intervalo ] a, b [ na definição deverá ser escolhido convenientemente De facto, devemos ter em conta que certas funções podem, num determinado ponto, mudar de sinal positivo para negativo e logo a seguir num ponto, mudar de sinal negativo para positivo

2 I Definição de Derivada de uma função num ponto Apresentaremos de seguida uma motivação para introduzir o conceito de derivada recorrendo à velocidade instantânea de um objecto Assim, clarifiquemos primeiro o que se entende por movimento uniforme e velocidade de um objecto Suponhamos que um objecto de pequenas dimensões, que identificaremos a um ponto, se move segundo uma recta e a sua posição muda linearmente com o tempo Para simplificar a linguagem diremos que a distância percorrida pelo objecto a partir de um ponto de referência é representada por uma variável y (lei do movimento do objecto) e que y é uma função do tempo Dizemos que o objecto tem movimento uniforme e que a taa de variação de y em relação ao tempo é a velocidade do objecto Assim, podemos concluir que a velocidade de um objecto que tem movimento rectilíneo uniforme é constante pelo que, geometricamente, tal significa que a velocidade coincide com a recta que representa a função y Apesar de termos definido movimento rectilíneo uniforme podemos verificar que na natureza é difícil encontrar objectos que o possuam; no entanto, uma vez que é possível determinar a velocidade de um objecto com movimento rectilíneo uniforme, será que é possível fazer o mesmo relativamente a um objecto com um movimento rectilíneo diferente do uniforme? A resposta a esta questão é afirmativa e no caso de um movimento rectilíneo não uniforme, a taa de variação da distância de um ponto em relação ao tempo em cada instante, dependerá do instante considerado, designando-se por velocidade instantânea Para um melhor entendimento do conceito de velocidade instantânea estudaremos o seguinte problema: Eemplo : Numa auto-estrada com três vias, v, v e v, num dos sentidos circulam três automóveis, A, A e A, cada um em sua via Os automóveis A e A têm um movimento uniforme cuja velocidade é 9 km e km por hora, respectivamente Sabendo que o automóvel A ultrapassa A e é ultrapassado pelo automóvel A eactamente às horas, estime a velocidade de A eactamente às horas Resolução: Uma vez que A é ultrapassado por A eactamente às horas, podemos concluir que a velocidade de A nesse instante é inferior à velocidade de A Analogamente, podemos concluir que a velocidade de A é superior à velocidade de A, pois este é ultrapassado por A

3 eactamente às horas Assim, eactamente às horas, a velocidade do automóvel A está compreendida entre 9 km e km, por hora Designando por y e y a distância percorrida pelos automóveis A e A, respectivamente, em relação a uma origem comum, podemos concluir que às horas estas duas funções são iguais, ou seja, considerando o tempo medido em horas, y ( ) y ( ) = Graficamente podemos representar o comportamento das funções y e y como é eemplificado na figura Se designarmos por y a distância relativa entre A e A, então y = y y Nestas condições, a função y será negativa até às horas e será positiva a partir desse momento Por outro lado, sabemos que a velocidade do automóvel A é inferior à velocidade do automóvel A e que este último ultrapassa A às horas, logo neste instante A terá que ter velocidade superior à Figura : Uma possível representação gráfica das funções y e y de A Tendo em conta o eemplo anterior, recorrendo à interpretação geométrica do conceito de velocidade num movimento rectilíneo uniforme, ou seja, uma vez que a representação gráfica de um movimento uniforme com velocidade v é uma recta com declive v então é possível estimar a velocidade, num determinado momento, de um objecto com um movimento não uniforme cuja lei é descrita por uma função f estudando como é que rectas com vários declives intersectam o gráfico de f, ou seja, estudando o sinal das funções diferença que se obtêm Vejamos uma aplicação do que foi dito no seguinte eemplo: Eemplo : A posição de um objecto é definida em função do tempo t por p( t) = t Provar que a sua velocidade em t = está compreendida entre e Resolução: A posição do objecto dado em t = é p () = Provemos que a sua velocidade é inferior a Para tal consideremos um outro objecto com movimento uniforme cuja

4 velocidade é e cuja posição em t = é Tem-se então que p() t = t 8 é a lei que traduz o movimento deste objecto Consideremos agora a função diferença d= p p e estudemo-la em d t p t p t t t = = + 8 t = Temos () () () Logo, d muda de sinal positivo para negativo em t = e isso significa que no momento t =, o objecto cuja posição é determinada por p é ultrapassado pelo objecto cuja posição é descrita por p, logo, em t = a velocidade do primeiro é inferior à velocidade do segundo que é velocidade do objecto em t = é superior a De modo análogo, prova-se que a Tendo em conta o eemplo apresentado, podemos dizer que é possível estimar a velocidade num determinado instante comparando a função dada, f, com rectas de equação = ( ) em que (, ) y y m y é um ponto (que coincide com o ponto do gráfico de f que tem como abcissa o momento em que se pretende estudar a velocidade do objecto) da recta e m é o declive Formalizemos então a definição de derivada de uma função num ponto Definição : [Derivada de uma função num ponto] Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo Dizemos que m é uma derivada de f em se forem verificadas as seguintes condições: Para todo o número real m tal que m < m, a função ( ) ( ) + ( ) f f m muda de sinal de negativo para positivo em Para todo o número real m tal que m > m, a função ( ) ( ) + ( ) f f m muda de sinal de positivo para negativo em Se eistir m nas condições anteriores, dizemos que f é uma função diferenciável em e escrevemos ( ) m = f Se f é uma função diferenciável em todos os pontos do seu domínio dizemos simplesmente que f é uma função diferenciável 4

5 Prova-se que se eistir f ( ) então esse valor é único Consideremos agora o seguinte eemplo: Eemplo : A posição no momento de um objecto é Resolução: Consideremos a seguinte função diferença Qual a sua velocidade em =? ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) g f f m m Se m>, g( ) muda de sinal positivo para negativo em = (Figura ) Se m<, g( ) muda de sinal negativo para positivo em = (pois m> ) (Figura ) Logo f ( ) = e portanto a velocidade do objecto em = é zero Figura : Representação gráfica de algumas funções diferença para valores positivos de m Figura : Representação gráfica de algumas funções diferença para valores negativos de m A definição de derivada de uma função f num ponto de abcissa pode ser interpretada geometricamente da seguinte forma: ( ) Todas as rectas que passam pelo ponto, f ( ) com declive superior a m = f ( ) atravessam o gráfico de f de baio para cima (da esquerda para a direita no ponto (, f ( )) ), enquanto que as rectas que passam pelo ponto, ( ) ( ) ( ) f com declive inferior a m = f atravessam o gráfico de f de cima para baio (da esquerda para a direita no mesmo ponto) Assim, a recta que tem declive m = f ( ) e que passa por, ( ) ( ) f recta tangente ao gráfico de f em, ( ) ( ) É importante referir que nem toda a recta que passa por, ( ) ( ) f será a f e não atravessa o gráfico da função neste ponto é uma recta tangente ou por outro lado, eistem rectas tangentes que atravessam o gráfico no ponto de tangência [Eemplo 4] 5

6 Eemplo 4: Mostrar que f não é diferenciável em = sendo f uma função definida por Resolução: a função f( ) Se m m é sempre positiva ou nula (Figura 4) f : R R Para eistir derivada de f no ponto zero teria de eistir um número real m tal que para valores inferiores a esse m a diferença entre f e a recta de declive m que passa pelo ponto (, ), mudasse de sinal de negativo para positivo, e para valores superiores a esse m a diferença teria de passar de sinal de positivo para negativo Como eistem valores de m onde a função não muda de sinal então conclui-se que f não é diferenciável em = Figura : Representação gráfica de f e algumas funções definidas por y= m com m I Transições e Derivadas Neste ponto iremos apresentar uma definição do conceito de derivada um pouco diferente da apresentada em I Assim, iremos reformular esta definição à custa do conceito de ponto de transição Além disso, o conceito de mudança de sinal também poderá ser reformulado em termos de ponto de transição I Ponto de Transição, Mudança de Sinal e Ultrapassagem Algumas mudanças são repentinas, ou definitivas e são marcadas por um ponto de transição Por eemplo, o pôr-do-sol assinala a transição do dia para a noite, o solstício de Verão marca a transição da Primavera para o Verão A temperatura de zero graus num termómetro é o ponto de transição de temperaturas positivas para temperaturas negativas Consideremos ainda o seguinte eemplo: Eemplo 5: Uma tartaruga e uma lebre estão a fazer uma corrida em que ora corre uma mais depressa ora corre a outra, ou correm lado a lado, podendo parar mas nunca recuar Seja T o período de tempo em que a tartaruga lidera a corrida e L o período de tempo em que a lebre lidera a prova O momento em que a lebre ultrapassa a tartaruga é o ponto de transição de T para L Quando a tartaruga ultrapassar a lebre então o ponto de transição será de L para T 6

7 Posto isto, vamos definir matematicamente o conceito de transição Definição : [Ponto de transição ] Sejam A e B dois conjuntos de números reais Um número é um ponto de transição de A para B se eistir um intervalo aberto I contendo tal que: Se I e <, então A e B Se I e >, então B e A Note-se que na corrida entre a tartaruga e a lebre, estas corressem lado a lado num dado intervalo de tempo, então neste caso não haveria nenhum ponto de transição Ou seja, se para t< t a tartaruga está à frente da lebre, para > t t a lebre está à frente da tartaruga e se entre t e t os dois animais estão lado a lado, então não há nenhum ponto de transição mas sim um período de transição No que se segue, iremos apresentar uma outra caracterização de mudança de sinal de uma função em termos da noção de ponto de transição Teorema : Consideremos uma função f, N o conjunto dos elementos do domínio tais que f( ) < e M o conjunto dos elementos do domínio tais que ( ) > f A) é um ponto de transição de N para M se e só se f mudar de sinal de negativo para positivo em B) é um ponto de transição de M para N se e só se f mudar de sinal de positivo para negativo em Retomando o eemplo da corrida da lebre e da tartaruga, denotemos por T() t a posição da tartaruga no instante t e por L() t a posição da lebre no mesmo instante Se dissermos que a tartaruga ultrapassa a lebre no instante t então podemos escrever que eiste um intervalo aberto I contendo t tal que: Se t I e t t Se t I e t t <, então T() t L() t < >, então T() t L() t > 7

8 Supondo que as funções T e L são as que estão representadas graficamente na figura, podemos verificar que num intervalo contendo t, o gráfico de T está abaio do gráfico de L para t inferior a t, e está acima do gráfico de L para t superior a t Importa realçar a importância de escolher um intervalo conveniente onde se verifiquem as condições e pois a lebre poderia alcançar a tartaruga logo a seguir ao momento t, por eemplo num momento t, e esse momento não pode pertencer ao intervalo escolhido Ponto onde a tartaruga ultrapassa a lebre Intervalo onde são satisfeitas as condições e Figura 5: Representação gráfica das funções T e L Podemos agora definir o que se entende em matemática por ultrapassar Definição 4: Sejam f e g duas funções e A um subconjunto da intersecção dos dois domínios em que ( ) < g( ), e B um subconjunto em que f( ) g( ) f se é um ponto de transição de A para B > Dizemos que f ultrapassa g em Obviamente que se eistir um intervalo I onde se verifiquem as condições e, então em qualquer intervalo J contido em I contendo também se verificam as mesmas condições Eemplo 6: Seja f( ) = e g ( ) em = = + Mostre que f ultrapassa g Consideremos I= ],[ Para I e < tem-se f( ) g( ) ( ) f( ) < g( ) < < Analisando o sinal de < De facto, ( ) podemos verificar que esta função é negativa em I e < Para I e > tem-se ( ) g( ) f > Logo f ultrapassa g em =, como podemos observar na representação gráfica apresentada 8

9 Os conceitos de ultrapassar e de mudança de sinal podem ser definidos em termos um do outro, de facto, prova-se que f muda de sinal em se e só se f ultrapassa ou é ultrapassada pela função nula I Reformulação da definição de Derivada de uma função num ponto O conceito de derivada foi apresentado anteriormente usando o conceito de mudança de sinal de uma função Iremos agora apresentar uma definição equivalente com uma terminologia diferente Seja f uma função cujo domínio contém um intervalo aberto contendo Seja A o conjunto dos números m para os quais a função f ( ) m( ) ( ) declive m que passa por, ( ) + (cujo gráfico é a recta com f ) é ultrapassada pela função f em Seja B o conjunto dos números m para os quais a função f ( ) m( ) + ultrapassa a função f em Teorema : Um número m é um ponto de transição de A para B se e só se m é a derivada de f em Caso eista, a derivada de uma função num ponto, é única Este facto, na terminologia que estamos agora a usar, significa que eiste um único ponto de transição de A para B Eemplo 7: Calcular a derivada de ( ) Resolução: f = em = pelo teorema 9 Consideremos g( ) = f() + m( ) ou g( ) m( ) = Queremos definir os conjuntos A e B, sendo A o conjunto dos valores m para os quais f ultrapassa g em =, e B o conjunto dos valores m para os quais f é ultrapassada por g em = Para determinar os conjuntos A e B notemos que f( ) g( ) m( ) ( )( m) = = Se m> então f g muda de sinal positivo para negativo em =, logo f é ultrapassada por g em = Se m< então f g muda de sinal negativo para positivo em =, logo f ultrapassa g em = Posto isto, ],[ tem-se que f () = A= e ], [ B= + logo como é o ponto de transição de A para B, 9

10 Conclusão A abordagem do conceito de derivada sem limites apresenta-se como uma alternativa ao cálculo, usando o método de eaustão para a derivada em vez de limites Esta abordagem visa uma compreensão intuitiva dos números reais, no entanto o seu desenvolvimento é rigoroso e todos os resultados são facilmente demonstrados Esta abordagem recorre muito a raciocínios geométricos, mais do que a usual, por eemplo: a definição de completamento é apresentada em termos de conveidade em contraste com o uso de limites superiores e inferiores, e os cortes de Dedekind são substituídos pela noção de ponto de transição A nível de pré-requisitos é eigido ao aluno, conhecimentos de funções, gráficos e álgebra (o aluno deverá estar bastante à vontade com o manuseamento de inequações) Por não eigir o conhecimento da teoria de limites, esta abordagem parece encaiar-se nos primeiros anos do ensino secundário ou porque não, ainda no ensino básico O aluno poderá confrontar-se com o conceito de derivada mesmo não conhecendo o conceito de limite podendo resolver problemas de máimos e mínimos da área da física, economia, que envolvam o conceito de derivada Parece-nos importante referir que esta abordagem não eige teoria de limites mas eige que o aluno seja capaz de raciocinar geometricamente e resolver, com alguma destreza, equações e inequações Assim, se do ponto de vista conceptual a abordagem do conceito de derivada sem limites não parece trazer dificuldades, em relação ao domínio da geometria pode originar algumas dificuldades, não porque eija o conhecimento de teoremas profundos mas porque os alunos devem possuir hábitos de trabalho de raciocínios geométricos, tirar conclusões, interpretar e orientar o seu raciocínio a nível geométrico Além disto, esta abordagem é muito suportada pela ilustração geométrica ( f ultrapassa g em se é um ponto de transição de A para B ) e até física pelo que terá alguma vantagem em ser utilizada no 9º ano em conjunto com a disciplina de Física É deiada a sugestão para estudos posteriores: seria interessante avaliar em campo a reacção dos alunos a esta abordagem Bibliografia: JERROLD MARSDEN, ALAN WEINSTEIN, Calculus Unlimited, The Benjamin/ Cummings Publishing Company, Inc California, 98