Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas Departamento de Matemática MAT 040 Estudo Dirigido de Cálculo I 07/II Encontro 5 - /09/07: Eercício : Seja f a função cujo gráfico se encontra abaio: 4 Faça um esboço do gráfico de sua derivada f. Solução do Eercício : Inicialmente, vamos escrever f como uma função definida por partes. Notemos que, para < 4, f =, para >, f =. Para 4, f é a função afim cuja regra pode ser obtida pela equação da reta que passa pelos pontos 4, e,. A inclinação ou coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 4, e, é m = variação de variação de = = 4 = 5. Conhecendo a inclinação e um ponto da reta, obtemos a sua equação: = 5 4 = 5 +. Assim, para 4 <, f = 5 +. Logo, se < 4 f = 5 + se 4 se >

2 Solução do Eercício : Assim, podemos determinar a derivada da função f. Para < 4 e para >, temos f = 0. Para 4 < <, f = 5. Vamos verificar se f é derivável em = 4 e = a partir das derivadas laterais. Notemos que: f + 4 = 4 + = 5. f 4 = 4 f + = f = + f f4 4 f f4 4 f f f f = 5 = 5. = 4 + = 4 = + = = = 4 4 = 0 = 0. 4 = + 0 = = = = Como as derivadas laterais em = 4 são distintas, f não é derivável em = 4. de modo análogo, f não é derivável em =. Assim, 0 se < 4 f = 5 se 4 < < 0 se > e seu gráfico é: 5 4 Eercício : Sejam f e g duas funções cujos os gráficos são apresentados a seguir. Seja L T a reta tangente aos gráficos de f e g em =.

3 Eercício : = f / L T / 4 L T = g Determine a derivada de cada uma das funções a seguir no ponto de abscissa =. a f b g c F = f g d G = f g f Solução do Eercício : a A derivada de f em = é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto,. Observemos que a reta L T passa pelos pontos, e, 0. Sua inclinação é dada por m = variação de variação de = = 0 = = = 4. Portanto, f = 4. b A derivada de g em = é a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto,. 4 Observemos que a reta L T é horizontal e sua inclinação é 0. Assim, g = 0. c Temos: F = = F F + = f g f g + f + f g f g + g f g

4 Solução do Eercício : c F = = = g [ g f f + g f + f f f + + f + g g g + Em, usamos o fato de g ser contínua em =, isto é, que g é derivável em =. f ] g g + = = 6. g = g. Isso ocorre uma vez d Temos: G = G G + = f g f f g f + = = = = [f g] f [f g ] f + f f f f g f f f + g f + f f g f +f g f g + g f + f f g f f f f + f g g + = g [f f ] f g = 4 Em, usamos o fato de f e g serem contínuas em =, isto é, g. Isso ocorre uma vez que f e g são deriváveis em =. 4 0 = 4 9. f = f e g = Eercício : Seja f a função real cujo gráfico se apresenta abaio: / 4 4

5 Eercício : a Determine f e f. Eiste o ite f? Justifique sua resposta. + b Determine se a função f é contínua em =. c Verifique que a derivada de f em = é 0. Solução do Eercício : a Temos b Notemos que: + f = 0 e f =. Como f + f, não eiste o ite f. f = 0. Como f = 0 e f = 0. Logo, eiste f e f = 0. + f = 0 = f, f é contínua em =. c Sabemos que a derivada de f em = é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa. Observemos que esta é uma reta horizontal, cuja inclinação é 0. Portanto, f = 0. Eercício 4: Em cada item, faça o que se pede: a Calcule + + b Determine a derivada de f = sen cos cos +. Solução do Eercício 4: a + + = + + = [ + + ] = + + =. b Façamos f = sen cos e f = cos +. 5

6 Solução do Eercício 4: b Temos: f = cos sen sen cos cos = cos sen + cos sen sen cos = sen cos + cos sen cos + sen + sen cos = sen + cos + sen sen cos cos = sen + sen cos cos f = cos cos + cos + cos sen + = cos + = 6 cos cos sen sen + 7 cos + = 7 7 cos cos sen 9 4 sen + 4 cos + = 7 7 cos cos sen 4 sen cos + Como f = f + f, temos: f = sen + sen cos cos cos cos sen 4 sen. cos + Eercício 5: Considere a função f definida por f = 9. a Determine o domínio de f, justificando sua resposta. b c d É possível calcular É possível calcular É possível calcular f? Justifique! Em caso afirmativo, calcule. + f? Justifique! Em caso afirmativo, calcule. f? Justifique! Em caso afirmativo, calcule. + 6

7 Eercício 5: e É possível calcular f? Justifique! Em caso afirmativo, calcule. f Podemos afirmar que as retas = e = são assíntotas verticais ao gráfico de f? Justifique! g Determine, caso eistam, as assíntotas horizontais ao gráfico de f, eplicitando suas equações. Solução do Eercício 5: a Queremos determinar o maior conjunto de números reais para os quais a regra da função f possa ser aplicada. Neste caso, devemos ter Df = { R ; 9 > 0 }. Estudaremos o sinal de g = 9. Notemos que g é uma função quadrática com duas raízes reais distintas: = e =. A função g é uma parábola côncava para cima. Assim, o sinal de g é: g > 0 se < ou > g = 0 se = ou = g < 0 se < < Logo, Df = { R ; < ou > }. b Sim. Podemos aproimar de por valores maiores que, uma vez que estes valores pertencem ao domínio de f. Neste caso, f = =, uma vez que se aproima de e 9 se aproima de 0 por valores positivos quando se aproima de por valores maiores que. c Não podemos aproimar de por valores menores que, uma vez que estes valores não pertencem ao domínio de f. d Não podemos aproimar de por valores maiores que, uma vez que estes valores não pertencem ao domínio de f. 7

8 Solução do Eercício 5: e Sim. Podemos aproimar de por valores menores que, uma vez que estes valores pertencem ao domínio de f. Neste caso, f = 9 =, uma vez que se aproima de 0 e 9 se aproima de 0 por valores positivos quando se aproima de por valores menores que. f Como f =, = f =, = + g Notemos que: i f = + + é uma assíntota vertical ao gráfico de f. De modo análogo, como também é uma assíntota vertical ao gráfico de f. 9 = + 9 = + 9 = + 9 = + {}}{ 0 {}}{ 9 }{{} 0 }{{} =. Assim, = é uma assíntota horizontal ao gráfico de f. ii f = 9 = 9 = 9 = 9 = {}}{ 0 {}}{ 9 } {{ }{{} 0 } =. Assim, = é uma assíntota horizontal ao gráfico de f.