Aula 16. Máximos e Mínimos Locais

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1 Aula 16 Máximos e Mínimos Locais Seja f, y) uma função de 2 variáveis diferenciável em R 2 (ou num domínio aberto). Para estudar a função f, y), começamos por identificar os pontos de Máximo local e Mínimo local. Dizemos que um ponto 0, y 0 ) do domínio de f, y) é um ponto de Mínimo local se os valores f, y) são maiores ou iguais que f 0, y 0 ), para todo, y) num disco em torno de 0, y 0 ). Neste caso dizemos que o valor f 0, y 0 ) é um Mínimo local. Do mesmo modo definimos Máximo local trocando maiores ou iguais por menores ou iguais. Intuitivamente, f 0, y 0 ) é um Mínimo local se, em torno de 0, y 0 ), o gráfico de f, y) está acima de 0, y 0, f 0, y 0 )). Como ilustração, na figura abaixo temos o gráfico de uma função f, y) definida em R 2 (parecendo o morro do Pão de Açúcar invertido ). Neste caso existem 2 Mínimos locais e não existem Máximos locais. Figura 1: 3 pontos críticos: 2 pontos de mínimo locais e 1 ponto de sela Em geral, não dispomos do gráfico da função. A identificação dos pontos de Máximo e Mínimo locais serve exatamente para termos uma ideia de como é o gráfico da função em torno desses pontos (tipo um parabolóide voltado para baixo ou voltado para cima). Acontece que identificar estes pontos através da sua definição não é prático já que envolve calcular todos os valores de f, y) num disco em torno de um ponto 0, y 0 ). Note que, no exemplo da figura, estes pontos ocorrem em Pontos Críticos, ou seja, onde o plano tangente é horizontal, identificados com um pontinho vermelho. Isto é verdade em geral: Teorema 1 Seja f, y) uma função diferenciável em R 2 (ou num domínio aberto). Os pontos de máximo e mínimo locais só podem ocorrer nos pontos críticos da função. Não demonstraremos este teorema, mas a ideia é bastante intuitiva: Se 0, y 0 ) não é um ponto crítico de f, y), isso significa que o plano tangente em 0, y 0, f 0, y 0 )) não é horizontal, isto é, tem uma inclinação. Logo se nos deslocarmos dentro do gráfico de f, y), por pouco que seja, relativamente a este ponto numa determinada direção, subimos, e portanto 0, y 0 ) não é um ponto de Máximo local. De igual modo, se nos deslocarmos dentro do gráfico de f, y), por pouco que seja, relativamente a este ponto nessa mesma direção mas com sentido inverso, descemos, e portanto 0, y 0 ) também não é um ponto de Mínimo local. Isso mostra a afirmação do teorema. 1

2 Portanto, para achar os pontos de Máximo e Mínimo locais deveremos achar os Pontos Críticos, isto é, resolver f, y) = 0. Exemplo 1: Determine os pontos críticos da função f, y) = x 4 + y 4 4xy + 1 Queremos achar os pontos, y) que anulam simultaneamente as derivadas parciais: f, y) = 0 x = 0 x = 0 4x 3 4y = 0 4y 3 4x = 0 x 3 y = 0 y 3 x = 0 y = x 3 x 9 x = 0 Começamos por resolver a segunda equação: x 9 x = 0 x 8 1) = 0 x = 0 ou x 8 = 1 x = 0 ou x = ±1 Há três casos para x: x = 0, x = +1 e x = 1. Para cada um destes casos precisamos determinar os seus correspondentes y s, usando a primeira equação:. x = 0 : y = x 3 y = 0. x = +1 : y = x 3 y = +1. x = 1 : y = x 3 y = 1 Assim temos exatamente 3 pontos críticos: (0, 0), (1, 1) e ( 1, 1). A nossa segunda tarefa é Classificar os Pontos Críticos: estes podem ser pontos de Mínimo Local, pontos de Máximo Local, ou nem um nem outro, caso em chamaremos de Pontos de Sela. Pontos Críticos Máximos Locais Mínimos Locais Pontos de Sela No exemplo da Figura 1 temos 3 Pontos Críticos sendo 2 pontos de Mínimo Local e 1 ponto de Sela. Note que, neste caso, o gráfico em torno do ponto de sela se assemelha a um parabolóide hiperbólico, sendo que no ponto em questão o plano tangente é horizontal e, partindo deste ponto, se andarmos um pouco dentro do gráfico numa certa direção, subimos, e, partindo do mesmo ponto, se andarmos um pouco dentro do gráfico numa outra direção, descemos. Em geral, como classificar os Pontos Críticos? Trata-se de um problema de concavidades: se num determinado ponto crítico, as concavidades em qualquer direção estiverem voltadas para cima, trata-se de um mínimo local; se num determinado ponto crítico as concavidades em qualquer direção estiverem voltadas para baixo, trata-se de um máximo local; se num determinado ponto crítico houver uma concavidade voltada para cima numa direção e houver uma concavidade voltada para 2

3 baixo numa outra direção, trata-se de um ponto de sela. Ora, tal como em Cálculo 1, vamos usar as derivadas parciais de 2 a ordem (caso existam) para determinar o sentido das concavidades, num determinado ponto crítco. O problema agora é um pouco mais complicado porque temos infinitas direções ao invés de uma. Comecemos por relembrar como classificamos os pontos críticos em Cálculo 1, usando a segunda derivada (Teste da 2 a derivada):. Se f 0 ) = 0 e f 0 ) > 0, então f 0 ) é mínimo local (concavidade voltada para cima). Se f 0 ) = 0 e f 0 ) < 0, então f 0 ) é máximo local (concavidade voltada para baixo).. Se f 0 ) = 0 e f 0 ) = 0, então nada se conclui sobre f 0 ) usando apenas a 2 a derivada. Para esclarecer este último ponto, considere as funções f) = x 4, g) = x 4 e h) = x 3. Ambas satisfazem, f (0) = g (0) = h (0) = 0 e f (0) = g (0) = h (0) = 0. No entanto, f(0) é máximo local, g(0) é mínimo local e h(0) é uma sela. Agora em Cálculo 2, também usaremos as derivadas parciais de segunda ordem. Seja 0, y 0 ) um ponto crítico de f, y) e suponha que as derivadas parciais de 2 a ordem existem e são contínuas no ponto 0, y 0 ). Então, pelo Teorema de Clairaut temos apenas 3 derivadas parciais de 2 a ordem no ponto 0, y 0 ): x 2 0, y 0 ), y 2 0, y 0 ) e x y 0, y 0 ). Estas duas primeiras derivadas parciais de 2 a (se não-nulas) medem o sentido da concavidade no ponto 0, y 0 ) nas direções dos eixos de x e y, respectivamente. Em geral, elas não são suficientes para determinar o sentido da concavidade nas outras direções e, nesse caso, a derivada parcial de 2 a ordem cruzada desempenhará um papel importante. Vamos agrupar as derivadas parciais de 2 a ordem numa matriz simétrica (chamada matriz Hessiana): x 2 0, y 0 ) x y 0, y 0 ) x y 0, y 0 ) y 2 0, y 0 ) O seu determinante (chamado Hessiano) desempenhará um papel crucial na classificação do ponto crítico 0, y 0 ): x 2 0, y 0 ) 2 f x y 0, y 0 ) D 0, y 0 ) = x y 0, y 0 ) 2 f y 2 0, y 0 ) 3

4 Antes de enunciarmos o Teste da 2 a Derivada para funções de 2 variáveis na sua generalidade, vamos considerar um caso particular para ilustrar o papel desempenhado pelas várias derivadas parciais de 2 a ordem. Suponhamos que a derivada parcial de 2 a ordem cruzada se anula no ponto 0, y 0 ), x y 0, y 0 ) = 0, (e que as outras derivadas parciais de 2 a ordem neste ponto são não-nulas.) Neste caso, as direções dos eixos x e y, são as 2 direções principais e elas determinarão completamente a natureza do ponto crítico 0, y 0 ), como explicaremos a seguir. Note que, neste caso a matriz Hessiana é diagonal e os seus autovalores são as derivadas parciais 2 f x 2 0, y 0 ) e 2 f y 2 0, y 0 ) (sendo os autoespaços correspondentes o eixo do x e o eixo do y, respectivamente). O que podemos concluir se D 0, y 0 ) < 0? Ora, neste caso, D 0, y 0 ) = 2 f x 2 0, y 0 ) 2 f y 2 0, y 0 ), portanto se D 0, y 0 ) < 0, significa que uma destas derivadas parciais de 2 a ordem é positiva e a outra é negativa, ou seja, a concavidade na direção do x está voltada para cima e a concavidade na direção do y está voltada para baixo, ou a concavidade na direção do x está voltada para baixo e a concavidade na direção do y está voltada para cima. Logo 0, y 0 ) é um ponto de sela. Exemplo 2: Considere a função f, y) = x 2 y 2. (Neste caso, sabemos desenhar o gráfico de f, y)! Trata-se de um parabolóide hiperbólico.) Temos x = 2x, logo o único ponto crítico é 0, y 0 ) = (0, 0). y = 2y, Como (0, 0) = 2, (0, 0) = 2, (0, 0) = 0, x2 y2 x y 2 0 D(0, 0) = = 4 < Logo, o ponto crítico (0, 0) é ponto de sela, como pode ser visto na Figura 2. 4

5 Figura 2: Diferentes perfis do gráfico z = x 2 y 2, perceba que há duas direções principais (os eixos x e y), uma em que o recorte da função tem derivada segunda positiva ( cara feliz ) enquanto a outra direção tem derivada segunda negativa ( cara triste ). Continuemos considerando o caso particular em que x y 0, y 0 ) = 0. O que podemos concluir se D 0, y 0 ) > 0? Ora, neste caso, D 0, y 0 ) = 2 f x 2 0, y 0 ) 2 f y 2 0, y 0 ), portanto se D 0, y 0 ) > 0, isto significa que as duas derivadas parciais de 2 a ordem acima têm o mesmo sinal, ou seja, as concavidades nas direções dos eixos x e y ou estão ambas voltadas para cima ou estão ambas voltadas para baixo. Como, neste caso, as direções dos eixos x e y são as 2 direções principais (autoespaços da matriz Hessiana) isto implica que o mesmo se passa em todas as outras direções. Ou seja, ou as concavidades estão voltadas para cima em todas as direções, ou as concavidades estão voltadas para baixo em todas as direções. No primeiro caso trata-se de um ponto de mínimo local e so segundo caso trata-se de um máximo local. Como saber em que caso estamos? Esta é a parte mais fácil! Como todas as concavidades em qualquer direção têm o mesmo sentido, basta analisar o que se passa numa direção específica. Ora, por exemplo, o sinal de 2 f x 2 0, y 0 ) dá o sentido da concavidade na direção do eixo x. Logo, se 2 f x 2 0, y 0 ) > 0 então a concavidade na direção do eixo x está voltada para cima e portanto todas as concavidades estão voltadas para cima, em qualquer direção (porque, por hipótese, D 0, y 0 ) > 0), e portanto 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local. Já se 2 f x 2 0, y 0 ) < 0 então a concavidade na direção do eixo x está voltada para baixo e portanto todas as concavidades estão voltadas para baixo, em qualquer direção (porque, por hipótese, D 0, y 0 ) > 0), e portanto 0, y 0 ) é um ponto de máximo local. Exemplo 2: Considere a função f, y) = x 2 + y 2. (Neste caso, sabemos desenhar o gráfico de f, y)!) Temos x = 2x, y = 2y, 5

6 logo o único ponto crítico é 0, y 0 ) = (0, 0). Como (0, 0) = 2, x2 D(0, 0) = 2 f (0, 0) = 2, y = 4 > 0. 2 f (0, 0) = 0, x y Como 2 f x 2 (0, 0) = 2 > 0, o ponto crítico (0, 0) é ponto de mínimo local (como já sabíamos neste caso, por sabermos tratar-se de um parabolóide elítico voltado para cima ) O que significa quando 2 f x y 0, y 0 ) 0? Por exemplo, se rodarmos o parabolóide hiperbólico do Exemplo 2 um ângulo 0 < θ < 90 em torno do eixo do z, o ponto (0, 0) continuará sendo um ponto crítico e a sua natureza se manterá, um ponto de sela. No entanto, as 2 direções principais deixarão de ser os eixos do x e y, serão estes eixos rotacionados de um ângulo θ! A matriz Hessiana deixará de ser diagonal e estas 2 direções principais serão os seus autoespacos, sendo os autovalores correspondentes uma medida das concavidades nestas direções: se um autovalor é positivo então a concavidade está voltada para cima na direção correspondente a esse autoespaço; se um autovalor é negativo então a concavidade está voltada para baixo na direção correspondente a esse autoespaço. (Lembre de Álgebra Linear que uma matriz simétrica com entradas reais tem autovalores reais e é diagonalizável.) Analiticamente, essa rotação muda a representação da função f, y) nas coordenadas cartesianas: aparecem termos cruzados envolvendo x y e, por isso, a derivada parcial de 2 a ordem cruzada deixa de se anular. No entanto, o raciocínio que fizémos anteriormente continua valendo: o determinante D 0, y 0 ) continua sendo o produto dos autovalores, que correspondem às concavidades nas direções dos autoespaços, as 2 direções principais. Exemplo 3: Considere a função f, y) = +y) 2 y 2. Ou seja, f, y) = x 2 +2xy. Calculemos as derivadas parciais de ordem 1 e 2: = 2x + 2y, x y = 2x. x 2 = 2, y 2 = 0, x y = 2. Portanto, os pontos críticos ocorrem quando o gradiente se anula: f, y) = (2x, 2y) = (0, 0), y) = (0, 0) Já o determinante da matriz hessiana neste ponto crítico é: 2 2 D(0, 0) = = 4 <

7 Logo, o ponto, y) = (0, 0) é ponto de sela, como pode ser visto na Figura 3 Figura 3: Diferentes perfis da função z = x 2 + 2xy, perceba que uma das duas direções principais mudou. Com o que foi dito até agora, deverá ficar claro o seguinte: Teorema 2 (Teste da segunda derivada) Seja f, y) uma função diferenciável em R 2 (ou num domínio aberto). Seja 0, y 0 ) um ponto crítico de f, y) e suponha que f, y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em 0, y 0 ). Então, podem acontecer três casos:. D 0, y 0 ) > 0 x 2 0, y 0 ) > 0 = f 0, y 0 ) é mínimo local. x 2 0, y 0 ) < 0 = f 0, y 0 ) é máximo local.. D 0, y 0 ) < 0 = 0, y 0 ) é ponto de sela.. D 0, y 0 ) = 0 Nesse caso, nada se conclui neste teste. Exemplo 4: Classifique os pontos críticos da função f, y) = x 4 + y 4 4xy + 1. Já tínhamos visto, no Exemplo 1, que temos exatamente 3 pontos críticos: (0, 0), (1, 1) e ( 1, 1). 7

8 Relembre que x = 4x3 4y e y = 4y3 4x. Agora, calculemos as derivadas parciais de segunda ordem: Logo x 2 = 12x2, y 2 = 12y2 12x 2 4 D, y) = 4 12y 2 e x y = 4. Calculando em cada ponto crítico e usando o Teste da 2 a Derivada obtemos: 0 4 D(0, 0) = = 16 < 0 = (0, 0) é ponto de sela D(1, 1) = = > 0 e (1, 1) = 12 > 0 = (1, 1) é ponto de mínimo local. x D( 1, 1) = = > 0 e (1, 1) = 12 > 0 = ( 1, 1) é ponto de mínimo local. x Obs.: O gráfico de f, y) é semelhante ao gráfico da Figura 1, com a diferença de que os mínimos locais estão na mesma altura. Exemplo 5: Encontre e classifique os pontos críticos de f, y) = x 4 y 4. É fácil ver que (0, 0) é o único ponto crítico. Neste caso, o Teste da 2 a Derivada não se aplica pois D(0, 0) = 0 (verifique!). Então teremos de classificar o ponto crítico de outra maneira, comparando os valores de f, y) com f(0, 0) = 0 para, y) próximo de (0, 0). Ao longo do eixo do x (exceto a origem) temos f, 0) = x 4 > 0 = f(0, 0). Por outro lado, ao longo do eixo do y (exceto a origem) temos f(0, y) = y 4 < 0 = f(0, 0). Portanto, arbitrariamente próximo da origem existem valores positivos e valores negativos, logo (0, 0) é um ponto de sela. O gráfico de f, y) é parecido com o parabolóide hiperbólico, sendo mais plano perto da origem. Exemplo 6: Seja f, y) = ax 2 xy + y 2 onde a R { 1 4 }. Verifique que (0, 0) é ponto crítico de f, y). Determine os valores de a de modo a que (0, 0) seja um mínimo local. f, y) = 0 { x = 0 y = 0 { 2ax y = 0 x + 2y = 0, y) = (0, 0). Logo (0, 0) é o único ponto crítico. Vamos agora usar o Teste da 2 a Derivada para classificar o ponto crítico. x 2 = 2a, y 2 = 2, x y = 1. 8

9 Logo D(0, 0) = 2a = 4a 1. Para (0, 0) não ser ponto de sela, deveremos ter 4a 1 > 0 a > 1 4. Neste caso, como (0, 0) = 2 > 0, temos que automaticamente (0, 0) é ponto de mínimo local. (Alternativamente, y 2 poderíamos ter verificado que, para a > 1 4, 2 f (0, 0) = 2a > 0.) x 2 Exercício 1: Considere a função do Exemplo 6 com a = 1 4. Verifique que (0, 0) é ponto crítico e classifique-o. Exercício 2: Seja f, y) uma função de classe C 2 em R 2 (derivadas parciais de 2 a ordem contínuas) e seja 0, y 0 ) um ponto crítico. Sendo (a, b) um vetor não-nulo, defina a função de 1 variável h(t) = f 0 + at, y 0 + bt). (a) Mostre que h (0) = 0 e h (0) = a 2 2 f x 2 0, y 0 ) + 2ab 2 f x y 0, y 0 ) + b 2 2 f y 2 0, y 0 ). (b) Escreva a identidade acima na forma matricial, usando a matriz Hessiana de f, y) no ponto 0, y 0 ), e dê uma interpretação geométrica. 9