Gabarito P1 - Cálculo para FAU Prof. Jaime Angulo

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1 Gabarito P1 - Cálculo para FAU Prof. Jaime Angulo 1 a Questão [1.5] Note que x quando x ou x e x < quando < x <. Para x, vem que 4 x 0, e portanto 4 x = (4 x ) = x 4, que é uma parábola com concavidade para cima e raízes e. Entre as raízes (, ), a função é contante igual a 0 (uma reta horizontal no eixo x entre e ). Portanto, o gráfico de f(x) é: a Questão a) [1.5] f(x) = x + 3x + só está definida nos números reais. Portanto, devemos ter que x + 3x + 0 (pois raiz quadrada de número negativo não é Real). Como o coeficiente de x é 1, que é positivo, x + 3x + é uma parábola com concavidade para cima, de modo que x + 3x + < 0 entre as raízes dessa função. Por Bháskara, ou fatorando o polinômio p(x) = x + 3x + como p(x) = (x+)(x+1), obtemos as raízes são x 1 = e x = 1. Portanto, entre e 1, a expressão x +3x+ será negativa, e portanto sua raiz quadrada não está definida (nos Reais). Em e em 1, será 0 (e 0 = 0). Nos intervalos (, ] e [ 1, ), o valor de x + 3x + será positivo (pois a parábola tem concavidade para cima), e a raiz quadrada de números positivos é um número Real. Segue que o domínio de f é Dom(f) = {x R; x } {x R; x 1} = (, ] [ 1, ). 1

2 Gráfico para o polinômio dentro da raiz p(x) = x + 3x + = (x + )(x + 1). Repare o intervalo onde ela é positiva e negativa. Gráfico para a função f(x) = x + 3x +. b) [1.5] f(x) = log 10 (x + 5x) é uma função logarítmica. Note o seguinte: 10 x > 0 para qualquer x R, ou seja, 10 x nunca pode ser negativa, nem 0. Portanto, log 10 (x + 5x) só existirá se (x + 5x) > 0, e sabemos que isso é uma parábola com concavidade para cima, ou seja, é 0 nas raízes e negativa entre elas. Por Bháskara, ou usando a fatoração (x + 5x) = x(x + 5), obtemos que as raízes de x + 5x são x 1 = 5 e x = 0. Logo, para x + 5x ser positivo, x pode ser qualquer número que não seja as raízes 5 e 0, nem esteja entre elas. Segue que o domínio da f é Dom(f) = {x R; x < 5} {x R; x > 0} = (, 5) (0, ).

3 Gráfico para a função (x + 5x) = x(x + 5). Repare os intervalos onde ela é positiva e negativa. 3 a Questão Gráfico para a função f(x) = log 10 (x + 5x). a) [1.0] A equação da reta que passa pelos pontos P = (x P, y P ) = ( 1, 1) e Q = (x Q, y Q ) = (1, ) é dada por (y y P ) = m(x x P ) = (y ( 1)) = m(x ( 1)), onde m = y P y Q x P x Q = = 3 é a tangente do ângulo de inclinação da reta. Assim, temos que (y + 1) = 3 (x + 1) y + 1 = 3 x + 3. Na forma geral, obtemos 3 x + y 1 = 0, isto é, a = 3, b = 1 e c = 1 (ou qualquer múltiplo disso). b) [1.0] Note que v = P Q = (x Q x P, y Q y P ) = (1 ( 1), ( 1)) = (1+ 1, + 1) = (, 3) (ou qualquer múltiplo disso). Podemos tomar (x 0, y 0 ) = P ou (x 0, y 0 ) = Q, e portanto, a equação vetorial da reta é (x, y) = ( 1, 1) + t(, 3) (ou (x, y) = (1, ) + t(, 3)). 4 a Questão Precisamos primeiro achar a equação da reta r, a fim de obtermos seu coeficiente angular m r e compará-lo com o coeficiente angular m s da reta s de acordo com o caso de serem paralelas ou perpendiculares: a) [1.0] Sejam A = (x A, y A ) = ( 3, 5) e B = (x B, y B ) = (0, 1) os pontos pelos quais a reta r passa. O seu coeficiente angular m r é simplesmente m = 3

4 y A y B x A x B = 5 ( 1) 3 0 = 6 3 =. Portanto, para que a reta s seja paralela à reta r, seus coeficientes angulares devem ser iguais, ou seja, m s = m r =. Precisamos encontrar um outro ponto Q = (x Q, y Q ) além de P = (1, 1) pelo qual a reta s também passe. Isto é, precisamos encontrar uma solução para a equação da reta s (y y P ) = m s (x x P ). Note que, quando x = 0, obteremos (y 1) = (0 1), ou seja, y 1 =. Logo, y = 3. Isto quer dizer que a reta s passa, também pelo ponto Q = (0, 3). Agora podemos encontrar o vetor diretor de s: v = (x P x Q, y P y Q ) = (1 0, 1 3) = (1, ) (ou qualquer múltiplo disso). Portanto, a equação vetorial da reta s fica s : (x, y) = (x P, y P ) + t v = (1, 1) + t(1, ), t R. b) [1.0] Note que a reta r é a mesma do tem a). Portanto, m r =. Mas agora queremos que s seja perpendiular à r. Para isso acontecer, seu coeficiente angular m s deve respeitar a relação m s = 1 m r. Portanto, m s = 1 = 1. Análogo ao item a), precisamos achar um outro ponto Q = (x Q, y Q ) diferente de P = (1, 1) pelo qual s também passe. Para isso, precisamos resolver a equação (y y P ) = m s (x x P ). De novo, quando x = 0, temos que (y 1) = 1 (0 1), ou seja, y = 1. Portanto, a reta s passa também pelo ponto Q = (0, 1/). Agora podemos encontrar seu novo vetor diretor: v = (x P x Q, y P y Q ) = (1 0, 1 1/) = (1, 1/) (ou qualquer múltiplo disso, por exemplo v = (, 1) etc). Portanto, a equação vetorial da reta s fica s : (x, y) = (x P, y P ) + t v = (1, 1) + t(1, 1 ), t R. 5 a Questão Sejam v = (v x, v y ) e w = (w x, w y ) os dois vetores que fazem um ângulo θ com u = (8, 6), tal que cos(θ) = 3 5, como ilutra a figura. Ou seja, vale que: cos(θ) = 3 5 = u. v u v = (8, 6).(v x,v y) 8 +( 6) (1) v x +vy cos(θ) = 3 5 = u. w u w = (8, 6).(w x,w y) 8 +( 6) () w x +wy Vamos resolver a equação de cima (1): 3 5 = 8v x 6v y v x +vy 5 = 8vx 6y 3 = 8vx 6vy 10 vx +v y vx +v y 6 vx + vy = 8v x 6v y 36vx + 36vy = 64vx 96v x v y + 36vy 8vx 96v x v y = 0. Agora, supondo v x 0, podemos dividir por v x nos dois lados da equação, e obter que v x = 4 v y. Ou seja, v = ( 4, 1), ou qualquer múltiplo positivo disso, por exemplo v = (4, ). Agora observe que chegaríamos na mesma equação se resolvêssemos para w. Ou seja, o sistema para w x e w y seria o mesmo. Ou seja, 8wx 96w x w y = 0. Como não queremos que v e w sejam paralelos, resta-nos o caso em que w x = 0. Mas aí ficamos com 0 0 = 0. Neste caso, a equação não depende do valor de 4

5 w y. Mas note pela figura que qualquer w y < 0 satisfaz o enunciado. Portanto w = (0, 1), ou qualquer múltiplo disso, mantendo w y < 0. Logo, 4, 1) (ou v = λ(, 1), λ > 0, por exemplo v = (4, )) e v = ( 4 w = (0, 1) (ou w = t(0, 1), t > 0). Figura para para ilustrar a direção dos vetores v e w. O w real está no eixo y apontando para baixo. 5