ANEXOS Anexo A: Esboço de Curvas Anexo B: Exemplos Extras Anexo C: Aplicação do Software SLD

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1 ANEXOS Anexo A: Esboço de Curvas Anexo B: Exemplos Extras Anexo C: Aplicação do Software SLD

2 ANEXO A Critérios para determinar o comportamento de uma função através do estudo da derivada. Vamos relembrar critérios que permitem determinar o comportamento de uma função nas proximidades de um ponto através do conhecimento da derivada da função nesse ponto. Função Crescente: x x f x ) f ( x ), x, x a, b x a, b, f 2 1 ( ( x) 0 f ( x) é crescente em a, b Função Decrescente: x 2 x1 f ( x2) f ( x1 ), x2, x1 a, b 2.1 x a, b, f ( x) 0 f ( x) é decrescente em a, b. Agora suponhamos que f seja derivável num intervalo aberto contendo o ponto reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa é paralela ao eixo x. Observe: 1) f cresce antes de e decresce depois de m e que f ( ) 0. A f ( ) 0 tem coeficiente angular ; portanto. Neste caso, é ponto de máximo local. f 0 f cresce + f ( ) 0 f 0 f decresce 2)f decresce antes de e cresce depois de Obs: sinal muda de + para.. Neste caso, (, f( )) é ponto de mínimo local. f 0 f ( ) 0 f 0 f decresce f cresce + Obs: sinal muda de para +. de inflexão. ) f cresce antes e depois de. Neste caso, diz-se que é um ponto f 0 f ( ) 0 f 0 f cresce + x 0 f cresce + Obs: sinal não muda + para +.

3 4) Analogamente, f decresce antes e depois de. Neste caso, diz-se que é um ponto de inflexão. f 0 f ( ) 0 f 0 f decresce f decresce Obs: sinal não muda para. Concluímos que quando temos uma função f derivável, podemos descobrir os intervalos em que f cresce, decresce e ainda determinar se possível, os pontos de máximo, mínimo ou de inflexão. Esses pontos são chamados de Pontos Críticos de f. Exercício: Determinar os pontos críticos de f ( x) x x, x R. OS SINAIS DA DERIVADA DA 2ª. f 1. Seja uma função que admite derivada até 2ª ordem no intervalo aberto I. 1.1 Se f (x) > 0 em I, então f terá concavidade para cima em I. Concavidade para cima: Os pontos do gráfico ficam acima das retas tangentes. 1.2 Se f (x) < 0 em I, então f terá concavidade para baixo em I. Concavidade para baixo: Os pontos do gráfico ficam abaixo das retas tangentes.

4 2. Os pontos em que f muda de concavidade são chamados pontos de inflexão. f " 0 f côncava para baixo f "( x0 ) 0 ponto de inflexão f " 0 f côncava para cima Análogo: f " 0 f côncava para cima f "( x0 ) 0 ponto de inflexão f " 0 f côncava para baixo TESTE DA DERIVADA 2ª Seja f ( x1 ) 0 ; então x= 1 f ( x1) f "( x1 ) Caráter do ponto crítico 0 Pto de máximo 0 + Pto de mínimo 0 0 desconhecido x a função tem um máximo se f "( x1 ) 0 e um mínimo se "( x1 ) 0 f.

5 ESBOÇO DE CURVAS Roteiro D(f); Intersecções com os eixos coordenados; Pontos Críticos; Regiões de Crescimento de f(x); Regiões de Decrescimento de f(x); Máximos e Mínimos (inclusive os locais); Concavidade e Ponto(s) de Inflexão de f(x); Calcular os limites para x, x e quando for o caso os limites laterais; Encontrar as assíntotas horizontais e verticais se existirem; Esboço do Gráfico. Exemplo 1: Seja x f ( x), x. Pede-se: Determine os pontos críticos de f; Determine os intervalos de Crescimento e Decrescimento; Determine, se existir, os pontos de máximo, mínimo e de inflexão; Estude a concavidade da função; Esboçar o gráfico. Exemplo 2: Determinar os pontos críticos e estudar a variação da função Exercícios de Revisão f ( x) x x. Esboce o gráfico das funções a seguir: 2 x 4 2 f ( x) x x x ; b) f ( x) ; c) ( x) x 8x 6x 2 x 1 f ( x) x 9x ; e) f(x) = ; f) f(x)=. x 4 2 a) 1 d) 1 x f ; Determine o máximo e mínimo da função y x x no intervalo gráfico.. Faça o esboço do, 2 Estude as funções para máximos e mínimos e esboçar o gráfico. y x 9x 2 15x a) ; x y x 2 b) x Obs.: Para fazer as atividades, reveja os conteúdos vistos no cálculo 1, em seguida, Pesquisar no site softwares gráficos, escolha um dentre os existentes e esboçar o gráfico das funções nos exemplos e nos exercícios. Software: Geogebra, Winplot, Wingraph, winplot e/ou outros.

6 ANEXO B: GRÁFICOS DOS EXEMPLOS E EXERCÍCIOS SOFTWARE APLICATIVO WINPLOT

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9 ANEXO C: Aplicação do Software SLD, resolução de Sistemas de Equações Lineares Determinados Figura1: Método de Gauss sem estratégia de pivoteamento parcial. Figura 2: Gauss com pivoteamento parcial.

10 Figura: Método de Eliminação de Gauss Figura 4: Método de Gauss-Jordan.

11 Figura 5: Fatoração LU Figura 6: Fatoração LU.

12 Figura 7 : Fatores L e U. Figura8: Solução