Tema: Estudo do Comportamento de Funções usando Cálculo Diferencial. Seja definida em um intervalo e sejam e pontos deste intervalo.

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1 Tema: Estud d Cmprtament de Funções usand Cálcul Diferencial Funções Crescentes, Decrescentes e Cnstantes Seja definida em um interval e sejam e pnts deste interval Entã: é crescente n interval se para é decrescente n interval se para é cnstante n interval se para tds s pnts em Cresciment e Decresciment Seja definida em um interval e derivável neste interval Entã: Se para qualquer e, entã é crescente em Se para qualquer e, entã é decrescente em Se para qualquer e, entã é cnstante em Entã, para determinar s intervals de cresciment e decresciment da funçã, tems que estudar sinal da primeira derivad 1

2 Máxims e Mínims Relativs Seja definida em um interval e seja um pnt pertencente a este interval de tal frma que trca de sinal em Entã será abscissa u de um pnt de máxim lcal u de um pnt de mínim lcal Estes pnts também sã chamads de extrems relativs Dizer que trca de sinal em significa dizer que há um interval que cntém : a) b) OU N cas descrit n ítem (a) acima pnt será abscissa de um pnt de mínim lcal, e pnt d plan cartesian é um pnt de mínim lcal N cas descrit n ítem (b) acima pnt será abscissa de um pnt de máxim lcal, e pnt d plan cartesian é um pnt de máxim lcal Para determinar s pnts de máxim e mínim lcais de uma funçã, também tems que estudar sinal da primeira derivada desta funçã Assínttas Hrizntais Seja definida em um interval Uma assíntta hrizntal de será uma reta (paralela a eix x) da qual gráfic de se aprxima a medida em que u 2

3 Para determinar as assínttas hrizntais calculams s limites e Se, a calcularms estes limites, encntrarms valres reais, entã a funçã terá assínttas hrizntais dadas pr estes valres Mas, se a calcularms estes limites cncluirms que, e, entã a funçã nã terá assínttas hrizntais Assínttas Verticais Seja uma funçã Uma assíntta vertical de será uma reta (paralela a eix y) da qual gráfic de se aprxima a medida em que u Se existe um pnt de tal frma que e/u Entã a reta (paralela a eix y) será uma assíntta vertical de Se nã huver pnts de descntinuidade da funçã em, entã a funçã nã terá assínttas verticais Se huver pnts de descntinuidade calculams s limites e para verificar se seus valres divergem para u 3

4 Cncavidade Seja definida em um interval Dizems que é côncava para cima n interval se gráfic de está sempre acima de suas retas tangentes neste interval; e, côncava para baix se está sempre abaix de suas retas tangentes neste interval Outra frma de definir cncavidade é dizer que f é côncava para cima se suas retas tangentes a gráfic tem inclinações crescentes em, e côncava para baix se suas retas tangentes a gráfic tem inclinações decrescentes em Se f é duas vezes derivável em : Se em entã f é côncava para cima em Se em entã f é côncava para baix em Entã, para determinar a cncavidade de uma funçã, tems que estudar sinal de sua segunda derivad Pnt de Inflexã Seja definida em um interval e seja um pnt pertencente a este interval de tal frma que trca de sinal em Entã será abscissa u de um pnt de inflexã O pnt de inflexã é pnt n qual a funçã muda de cncavidade Pnt de Inflexã 4

5 Dizer que trca de sinal em significa dizer que há um interval que cntém : a) b) OU Ns dis cass acima pnt será abscissa de um pnt de inflexã, e pnt d plan cartesian é um pnt de inflexã Para determinar s pnts de inflexã de uma funçã, também tems que estudar sinal da primeira derivada desta funçã Estud das raízes de funções plinmiais Funções plinmiais sã funções d tip Se é uma funçã plinmial, entã seu dmíni é td cnjunt ds númers reais, é cntínua em td seu dmíni,, e, Se, entã as raízes d plinômi sã as abscissas ds pnts nde gráfic da crta eix Uma funçã plinmial de grau tem, n máxim, raízes reais, e extrems lcais (máxims u mínims lcais)pdems identificar e determinar um interval nde pdems encntrar a raiz de uma funçã plinmial estudand seus extrems lcais (máxims e mínims relativs) Pdems encntrar uma raiz entre dis extrems lcais cnsecutivs Se é máxim lcal e se é primeir pnt de mínim lcal que crre após, e ainda se (ist é, tem sinais psts ), entã certamente encntrarems uma raiz de n interval Da mesma frma, se é mínim lcal e se é primeir pnt de máxim lcal que crre após, e ainda se, entã certamente encntrarems uma raiz de n interval 5

6 Exercícis 1) Determine s intervals de cresciment e decresciment e esbce gráfic das funções abaix Após esbçar gráfic, diga qual é númer de raízes de cada funçã: d e 2) Mstre que a equaçã admite uma única raiz real e determine um interval de cmpriment 1 que cntenha esta raiz 3) Para as funções dadas abaix, determine s intervals nde elas sã crescentes e decrescentes d 4) Mstre, usand a derivada que a funçã é sempre decrescente, em qualquer pnt de seu dmíni 5) Encntre as assínttas verticais e hrizntais das funções dadas abaix, se existirem: 6

7 6) Determine s pnts de máxim e mínim lcais das funções abaix, se existirem: 7) Mstre que só há um pnt de mínim de uma funçã, cm, que crre quand 8) Determine s intervals de cresciment e decresciment, a cncavidade nestes intervals, s pnts de inflexã, s máxims e mínims lcais (se existirem), e as assínttas verticais e hrizntais (se existirem), das funções dadas abaix: d e 7