CAPÍTULO VIII. Análise de Circuitos RL e RC

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1 CAPÍTUO VIII Análise de Circuits e 8.1 Intrduçã Neste capítul serã estudads alguns circuits simples que utilizam elements armazenadres. Primeiramente, serã analisads s circuits (que pssuem apenas um resistr e um indutr) sem fnte e em seguida s que pssuem fnte independente. Um prcediment será mstrad para essa última análise. D mesm md, s circuits s serã analisads d mais simples, u seja, sem fnte, até a cnfiguraçã que utiliza fnte. As análises aqui realizadas sã para circuits cm apenas um resistr e um element armazenadr de energia. Cntud, s prcediments empregads e as equações deduzidas pdem ser aplicads em circuits cm mais elements, pis alguns circuits pdem ser simplificads através da aplicaçã de métds e teremas já abrdads. 8. Análise de Circuit sem Fnte Um circuit sem fnte é resultad de uma descnexã repentina de uma fnte cc em um circuit, quand, entã, a energia armazenada anterirmente n capacitr é liberada para resistr. Cnsidere circuit da figura 8.1, nde se supõe que capacitr está inicialmente carregad. Cm a tensã n capacitr nã pde variar abruptamente, entã: v ( 0 ) v (0 ) v (0) V (8.1) C C C 0 Figura 8.1: Circuit sem fnte. N instante t 0 interruptr é abert e capacitr cmeça a descarregar. Aplicand a CK, a nó superir d circuit, tem-se: i i C 0 (8.) Cm i c Cdv/ e i v/, entã: v dv C 0 (8.3) Dividind a expressã pr C: dv v 0 (8.4) 76

2 Esta equaçã é chamada de equaçã diferencial de 1 rdem, pis existe a 1 derivada em relaçã a temp t. Para reslvê-la dispõe-se s terms da expressã da seguinte frma: dv 1 (8.5) v Integrand ds dis lads: t ln [ vc( t) ] ln[ vc(0) ] (8.6) Onde ln[v(0)], é a cnstante de integraçã. Aplicand prpriedade lgarítmica: vc t ln (8.7) vc (0) Ou: t vc V 0 e (8.8) A partir d instante em que interruptr é fechad, a tensã n circuit decresce de frma expnencial cnfrme mstra a Figura 8.. Figura 8.: Gráfic d fatr de decaiment de tensã n circuit sem fnte em funçã d temp. A velcidade cm que a tensã diminui cm passar d temp é expressa através de um term chamad cnstante de temp dentada pela letra grega (tau). Na expressã 8.8: τ [s] (8.9) A tensã n circuit será V e -1 [V], quand para t e, prtant, a cnstante de temp de um circuit é temp necessári para que a respsta caia pr um fatr de 1/e, u seja, 36,8% d seu valr inicial. Outra maneira de se entender a cnstante de temp é através d traçad da reta tangente da curva n pnt t 0, cm mstra a figura 8.. Para tant se segue a seguinte deduçã: d v d t c e tgα e V (8.10) t 77

3 vc 1 e tgα tgβ (8.11) V τ τ Em cnjunt as equações 8.10 e 8.11 resultam na equaçã 8.9. Observe que, cm a curva de descarga é expnencial, capacitr levará um temp infinit para estar cmpletamente descarregad. Na prática cnsidera-se que após transcrrid um temp igual a 5 capacitr estará cm carga desprezível. Utilizand cnceit de, a equaçã 8.8 fica da seguinte maneira: t v 0 t τ V e (8.1) A Tabela 8.1, mstra que, de fat, em t 5 capacitr terá mens que 1% da carga inicial. Geralmente se cnsidera que circuit atingiu regime permanente após transcrrid um temp igual a 5. Tabela 8.1: Tabela cm dads de fatr de decresciment Temp t V(t)/ V 0 0, , , , ,00674 Exempl 1: Um capacitr de 1mF tem uma tensã inicial de 50V. Determine temp 5 cas seja descarregad: a) Através de um resistr de 100K; b) Através de um resistr de 1M. 8.3 espsta Cmpleta para Circuit Em muits ds circuits prátics, há mais d que uma resistência e uma capacitância. Neste cas, deve-se reduzir circuit riginal a um circuit equivalente cm apenas uma resistência e uma capacitância e definir a cnstante de temp τ eq C eq. Quand ist nã fr pssível, circuit nã é de primeira rdem, send, prtant, abrdad psterirmente. Cnsidere circuit da Figura 8.3. Figura 8.3: Circuit cm fnte de crrente. 78

4 Entã, uma equaçã que englba as características (tensã e crrente) deste circuit, é: I i i (8.13) c dvc 1 C vc I Ou, dividind tds as variáveis pr C: dvc 1 vc I C (8.14) (8.15) Observa-se que a equaçã 8.15 é uma equaçã diferencial de 1 rdem e pde ser reslvida utilizand métd matemátic descrit a seguir. Métd Matemátic clássic para sluçã de equações diferenciais: Cnsidere a equaçã A respsta cmpleta para esta equaçã será a sma de duas utras respstas, uma chamada respsta hmgênea v ch (t) e utra chamada respsta particular v cp (t). A sma dessas duas repstas resulta na tensã (t) v c, u seja: v v v (8.16) c ch Os itens de a a c que se seguem, mstram cm encntrar a respsta hmgênea e a respsta particular para a equaçã a) Sluçã hmgênea: É a sluçã para equaçã hmgênea, u seja, a sluçã para a equaçã: cp dvc 1 vc 0 (8.17) Na análise de circuits elétrics, encntra-se freqüentemente, cm sluçã de uma equaçã diferencial de 1º rdem, uma funçã expnencial u a sma de expnenciais d tip: 1t v e (8.18) ch Entã, para resluçã da equaçã diferencial 8.17, supõe-se que 8.18 é sluçã e determina-se valr da cnstante e 1, cm se segue. d 1t ( e ) 1 1t e 0 (8.19) 1 1 1t t 1 e e 0 (8.0) 79

5 1 1 (8.1) E a equaçã para a sluçã hmgênea fica da seguinte maneira: v ch t e (8.) A utra cnstante é determinada psterirmente, cnsiderand a sluçã cmpleta e a cndiçã inicial dada. b) Sluçã da equaçã particular. A sluçã particular v cp (t) é determinada a partir da funçã característica da fnte que excita circuit e é uma cmbinaçã linear desta funçã e de suas derivadas, cm cada term multiplicad pr uma cnstante a ser determinada. Para exempl, tem-se uma fnte de excitaçã de crrente cntínua e, prtant, a sluçã particular é: v ( t (8.3) seja: cp ) Onde pde ser determinada substituind ( t ) na equaçã riginal (8.15), u d 1 v cp I C (8.4) 1 I 0 (8.5) C I (8.6) c) Sluçã cmpleta. t c v e I (8.7) 8.4 Circuit sem Fnte Supõe-se que indutr da figura 8.4 está send percrrid pr uma crrente elétrica inicial. Cm a crrente n indutr nã pde variar abruptamente, entã: i ( 0) i(0 ) i(0 ) (8.8) I Figura 8.4: Circuit sem fnte. Aplicand TK a circuit da figura 8.4, tem-se: 80

6 Cm v di/ e v i, entã: Arranjand s terms: Integrand ds dis lads: Ou: v v 0 (8.9) di i 0 (8.30) di i (8.31) i t ln (8.3) I i I0e (8.33) Da mesma frma que crre para capacitr, há um decaiment expnencial da crrente n indutr cm é mstrad na Figura 8.5. t Figura 8.5: Gráfic d fatr de decaiment da crrente em funçã d temp n circuit sem fnte. A tensã n indutr é: di ( t t ) v I e (8.34) O valr de seguind a definiçã feita na seçã 8.1 é: 8.5 espsta Cmpleta para Circuit τ [s] (8.35) Nã é difícil estender s resultads btids para circuit simples a um circuit cntend várias indutâncias e resistências. Basta que se btenha circuit equivalente cm uma única indutância e uma única resistência. Quand ist nã fr pssível, circuit nã é de primeira rdem, send que circuits de segunda rdem serã estudads em utr capítul. Cnsidere circuit da Figura

7 Figura 8.6: Circuit cm fnte de crrente. Aplicand CK: I i i (8.36) di i I (8.37) A respsta cmpleta para esta equaçã será a sma de duas utras respstas, uma chamada respsta hmgênea i ch (t) e utra chamada respsta particular (t), u seja: i i i (8.38) ch Para slucinar a equaçã 8.38 seguem-se passs semelhantes as efetuads para circuit, cnfrme descrits ns itens de a a c que se seguem. cp i cp a) Sluçã hmgênea: É a sluçã para equaçã hmgênea, u seja, a sluçã para a equaçã: di i 0 (8.39) Na análise de circuits elétrics, encntra-se freqüentemente, cm sluçã de uma equaçã diferencial de primeira rdem, uma funçã expnencial u a sma de expnenciais d tip: ( ) (8.40) 1t ih t e assim: Entã, para resluçã da equaçã diferencial 8.39, supõe-se que 8.40 é sluçã, d 1t ( e ) e 1t 0 (8.41) 1t 1t 1 e e 0 (8.4) 8

8 1 (8.43) E a equaçã para a sluçã hmgênea fica da seguinte maneira: i h t e (8.44) A utra cnstante é determinada psterirmente, cnsiderand a sluçã cmpleta e a cndiçã inicial dada. b) Sluçã da equaçã particular. A sluçã particular i p (t) é determinada a partir da funçã característica da fnte que excita circuit e é uma cmbinaçã linear desta funçã e de suas derivadas, cm cada term multiplicad pr uma cnstante a ser determinada. Para exempl, tem-se uma fnte de excitaçã de crrente cntínua e, prtant, a sluçã particular é: i ( t (8.45) p ) seja: Onde pde ser determinada substituind ( t ) na equaçã riginal (8.37), u d I v cp (8.46) I 0 (8.47) I (8.48) c) Sluçã cmpleta. t i e I (8.49) Exercícis E8.1 Determine a tensã v c (t) e a crrente i c (t) n circuit da figura E8.1, cnsiderand que v C ( 0) V0 e I 0. Figura E8.1: Circuit para exercíci. 83

9 E8. Determine a tensã v c (t) para circuit da figura E8.. Cnsidere que capacitr pssui uma tensã v C ( 0) V0. Figura E8.: Circuit para exercíci. E8.3 A chave da figura E8.3 esteve na psiçã a pr um lng temp, até que em t 4s ela é mvida para a psiçã b, permanecend lá. Determine v(t) para t 10s, send V 0 4V, 1 80Ω, 0Ω e C 1 0,1F. Figura E8.3: Circuit para exercíci. E8.4 Cnsidere circuit da figura E8.4. Determine v (t) se i(0) A e v(t) 0. Cnsidere 1 1Ω, 3Ω e 1 0,5H. Figura E8.4: Circuit para exercíci. 84

10 E8.5 Se a entrada em puls da figura E8.5a fr aplicada a circuit da figura E8.5b, determine a respsta i(t). Cnsidere 1 5Ω, 0Ω e 1 H. Figura E8.5: Circuit para exercíci. E8.6 Cnsidere circuit da figura E8.6. Calcule i(t) para t < 0 e t > 0. Cnsidere V 0 80V, 1 40Ω, 30Ω, 3 50Ω e C 1 3F e que a chave S 1 abre cntat em t 0. Figura E8.6: Circuit para exercíci. E8.7 Para circuit mstrad na figura E8.7, determine v(t) para t > 0. Cnsidere V s 0V, I s A, 1 1Ω, 0Ω, 3 6Ω, 4 5Ω, 1 0,5H e que a chave S 1 abre cntat em t 0. Figura E8.7: Circuit para exercíci. 85

11 E8.8 Determine i x (t) e v x (t) n circuit da Figura E8.8. Cnsidere que capacitr esta inicialmente carregad cm uma tensã de 15V. Figura E8.8: Circuit para exercíci. E8.9 Determine v(t) para circuit da figura E8.9. Figura E8.9: Circuit para exercíci. E8.10 Determine i l (t) n circuit da figura E8.10. Figura E8.10: Circuit para exercíci. E8.11 Determine i(t) e i x (t) n circuit da Figura E8.11. Figura E8.11: Circuit para exercíci. 86

12 E8.1 Determine v(t) n circuit da figura E8.1. Figura E8.1: Circuit para exercíci. E8.13 O interruptr S 1 d circuit da figura E8.13 é fechad quand t 0s. Apões 4ms abre-se S. Determinar a crrente n indutr ns intervals 0 < t < 4ms. Figura E8.13: Circuit para exercíci. E8.14 Encntre v(t) para t > 0 para circuit da Figura E8.14. Assuma que para t < 0 circuit estava em regime permanente. Figura E8.14: Circuit para exercíci. E8.15 N circuit da figura E8.15, fecha-se interruptr na psiçã 1, n instante t 0s, aplicand-se a fnte de 100V a ram. Quand t 500ms, interruptr é levad para a psiçã. Obter as equações da tensã ns intervals e discutir transitóri (fazer gráfic v x t). Figura E8.15: Circuit para exercíci. 87

13 E8.16 Sabend que a tensã n capacitr C1 e a tensã n capacitr C d circuit E8.16, sã respectivamente V e 0 quand t 0, determine v c ( ) e v c ( ). 1 t t Figura E8.16: Circuit para exercíci. E8.17 Determine v (t) n circuit da Figura E8.17. Figura E8.17: Circuit para exercíci. E8.18 A chave d circuit da figura E8.18, cmuta de A para B e de B para A a cada segund a partir de t 0. Determinar a máxima e mínima crrente n indutr em regime permanente. Figura E8.18: Circuit para exercíci. 88