MATEMÁTICA APLICADA RESOLUÇÃO

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1 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 As grandezas P, T e V sã tais que P é diretamente prprcinal a T e inversamente prprcinal a V Se T aumentar 0% e V diminuir 0%, determine a variaçã percentual de P T As três grandezas estã ligadas pela relaçã: P = k V, T, T Após as mdificações em T e em V, nv valr de P é P = k = k =, 5P = ( + 0, 5 ) P 0, 8V 0, 8 V A grandeza P aumentu em 50%

2 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 A figura a lad mstra dis quadrads e um triângul equiláter entre eles Determine s ânguls interns d triângul ABC Cm ADB ˆ = 90 entã DAB ˆ = DBA ˆ = 45 Cm BDC ˆ = = + 50 entã DBC ˆ = DCB ˆ = 5 Cm ADˆC = 0 entã DAC ˆ = DCA ˆ = 30 Assim, s ânguls d triângul ABC sã, A ˆ = 75, B ˆ = 60 e C ˆ = 45

3 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 3 Seis blas brancas e seis blas pretas estã distribuídas em três caixas e nenhuma caixa cntém blas de uma só cr A primeira caixa cntém 3 blas, a segunda 4 blas e a terceira 5 blas Sabe-se que a segunda caixa é a única em que númer de blas pretas é mair d que númer de blas brancas Retirand uma bla de cada caixa, determine a prbabilidade de que sejam da mesma cr De acrd cm enunciad, a única dispsiçã pssível para as blas brancas e pretas nas caixas é: ª caixa: B B P ª caixa: B P P P 3ª caixa: B B B P P A prbabilidade de retirar uma bla branca de cada caixa é: 3 = A prbabilidade de retirar uma bla preta de cada caixa é: 3 = Lg, a prbabilidade de que as três blas sejam da mesma cr é + = 0 0 5

4 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 4 N plan cartesian sã dads s pnts A = ( 3, ) e B = (4, 5) A reta r de equaçã k x y += 0 é variável, pis sua psiçã depende d ceficiente real k A Determine para que valres de k s pnts A e B ficam de um mesm lad da reta r B Determine para que valr de k s pnts A e B ficam equidistantes da reta r Obs s itens sã independentes A A equaçã da reta r na frma reduzida é y = k x + Imaginems inicialmente que s pnts A e B fiquem acima de r Nesse cas devems ter > k ( 3 ) +, u B 3 seja k > e 5 > k 4+, u seja, k < Assim, se s pnts A e B estã acima de r tems < k < Prcedend da mesma frma imaginand que s pnts A e B fiquem abaix de r encntrarems k > e k <, que é impssível Nã existem, prtant, valres de k para s quais s pnts A e B fiquem abaix de r Assim, s pnts A e B ficam de um mesm lad de r apenas para < k < 3 4 Se s pnts A e B sã equidistantes de r entã duas situações pdem crrer: ) r é paralela à reta AB Cm ceficiente angular da reta r é k devems ter k 5 4 = = 4 ( 3 ) 7 ) r passa pel pnt médi d segment AB O pnt médi d segment AB é M= (, 3 ) e esse pnt pertence à reta r Devems entã ter 3 = k +, u seja, 4 k = Assim, s pnts A e B ficam equidistantes da reta r para k = u k = 7 Sluçã (smente item a) A A reta y = k x + passa pel pnt P = ( 0, ) independente d valr de k Observand gráfic a lad, cm P está abaix da reta AB, uma reta passa pr P e deixa A e B de um mesm lad se, e smente se, seu ceficiente angular fr mair d que da reta AP e fr menr d que da reta PB O ceficiente angular de AP é = e ceficiente angular da reta PB é 0 ( 3 ) 3 3 Assim, s pnts A e B ficam de um mesm lad de r apenas para < k < = 4 0 4

5 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 5 Jã clcu para carregar seu celular que estava cmpletamente descarregad e, em seguida, antu diversas vezes temp decrrid de carregament, em minuts, e a prcentagem crrespndente da carga ttal que estava acumulada naquele instante O temp até final d carregament duru exatamente duas hras Jã representu suas bservações cm pnts n plan cartesian, nde, n eix hrizntal, assinalu temp decrrid após iníci d carregament e, n vertical, a crrespndente carga acumulada Esses pnts sugeriram que uma ba aprximaçã para a relaçã entre essas duas grandezas era arc da parábla de eix r representad n gráfic a lad: A Determine a expressã da funçã que frnece, para cada valr x d temp de carregament (em minuts), a prcentagem y da carga ttal acumulada até aquele instante B Determine a prcentagem da carga ttal acumulada após hra de carregament A A abscissa d pnt mais alt é temp ttal de carregament: x = 0 (min) Cm a reta r é eix de simetria da parábla a funçã quadrática crrespndente tem cm zers x = 0 e x = 40 y = a x( x 40) N pnt mais alt d gráfic, x = 0 e y = 0 0 Lg, 00 = a 0 ( 0 ), u seja, 0 x 0 Assim, a expressã da funçã tem a frma: a = Assim, a expressã da funçã é y = x( x 40) para B Para x = 60 btems y = 60 (60 40) = = 75 Após hra de carregament celular estava cm 75% da carga ttal 44 44

6 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 6 Em uma experiência de Física, para cada valr da variável cntínua x, bteve-se, n labratóri, um resultad y A tabela a seguir mstra s resultads de cinc medidas realizadas para valres inteirs de x: x y,97 9,05 3 6,8 4 8,6 5 4 Os resultads sugeriram que, para s valres de x d interval [, 5], uma funçã adequada para mdelar essa experiência é expnencial, u seja, da frma para cert valr inteir de a, s valres encntrads na experiência e s valres dads pr essa funçã diferem muit puc Usand essa funçã, determine, aprximadamente, para que valr de x encntra-se y = 00 Utilize que fr necessári: lg = 0,30 lg 3 = 0,477 lg 5 = 0,699 x y = a De fat, x Para a = 3 s valres de y sã próxims de 3 cm se vê na tabela a seguir: x y 3 x,97 3 9, , , Adtand essa funçã, devems encntrar valr de x tal que 3 x = 00 Calculand s lgaritms decimais tems: x lg 3= lg00 = Assim, x = 4, 0,477

7 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 7 A figura a lad representa símbl utilizad para materiais radiativs Nesse símbl, aparecem duas circunferências de centr A, estand a externa dividida em seis arcs iguais Tds s segments que aparecem n desenh estã cntids em rais da circunferência externa e s três pequens arcs pssuem, também, centr A Na figura, s pnts A, B, C e D sã clineares e AB =, BC = e CD = 6 Cnsiderand as regiões que estã n interir da circunferência externa, calcule a razã entre as áreas das regiões smbreada e nã smbreada A circunferência externa está dividida em arcs de 60 A área da regiã R da figura a lad é igual à área d setr ADE subtraída da área d setr ACF, u seja, π 9 π 3 S ( R) = = π 6 6 A área ttal smbreada cmpreende três áreas iguais à de R mais a área d círcul central, u seja, = S = 3 π + π 40π A área da regiã nã smbreada na figura dada é S = π 40π = 4 9 π A razã entre as áreas das regiões smbreada e nã smbreada é S S = 40 4

8 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 8 Um fazendeir cmpra semanalmente um sac de farel de milh, um sac de farel de sja e um sac de farel de cevada, mas cmpra também um sac extra de um desses três prduts Quand sac extra é de milh, pes ttal ds quatr sacs é de 0kg, quand sac extra é de sja, pes ttal ds quatr sacs é de 06kg e quand sac extra é de cevada, pes ttal ds quatr sacs é de 04kg Os pess ds sacs de cada prdut sã sempre iguais Determine pes de um sac de cada prdut Os pess ds sacs de milh, sja e cevada serã representads, respectivamente, pr x, y e z x + y + z = 0 Pelas infrmações d enunciad tems: x + y + z = 06 x + y + z = 04 Smand essas equações tems 4 ( x + y + z ) = 30, u seja, x + y + z = 80 A primeira equaçã pde ser escrita cm x + x + y + z = 0 Prtant, x + 80 = 0, u seja, x = 30 A segunda equaçã pde ser escrita cm x + y + z + y = 0 6 Prtant, 80+ y = 0 6, u seja, y = 6 Substituind esses valres em qualquer uma das equações encntrams z = 4 Os pess de um sac de milh, sja e cevada sã, respectivamente, 30kg, 6kg e 4kg

9 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 9 Os númers naturais, a partir d, fram escrits em rdem e arrumads em duas clunas, A e B, cm n quadr a seguir: A B Linha Linha 3, 4 5, 6 Linha 3 7, 8, 9 0,, Linha 4 3, 4, 5, 6 7, 8, 9, 0 Linha 5,, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 30 Linha Na linha n, cnjunt ds elements da cluna A será representad pr L na, e da cluna B, pr L nb A Mstre que últim element de B Calcule a sma ds elements de L na é um quadrad perfeit L 0 B A O últim element de L na é a quantidade de númers naturais escrits desde até ele Esse númer é: a n = ( ( n ) + n ( + n )( n ) Assim, a n = + n= n( n ) + n= n n+ n= n B O últim element de L 0 A é 0 = 0 0 Assim L 0B = {0,0,, 0 } (0+ 0) 0 A sma desses elements é = 05 5

10 GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 0 As cinc faces de uma pirâmide quadrangular regular serã pintadas e cada face terá uma só cr Tintas de 5 cres diferentes estã dispníveis e duas faces vizinhas da pirâmide nã pderã ter a mesma cr De quantas maneiras diferentes a pirâmide pderá ser pintada? Obs pinturas que cincidem pr rtaçã da pirâmide sã cnsideradas iguais a) As 5 cres serã utilizadas Para esclher a cr da base há 5 pssibilidades Para pintar as faces laterais tems as permutações circulares das 4 cres restantes que ttalizam ( 4 )! = 6 pssibilidades O númer ttal de pssibilidades de pintar a pirâmide usand as 5 cres é 5 6 = 30 b) Apenas 4 cres serã utilizadas Para pintar a base há 5 pssibilidades Para esclher a cr que vai pintar duas faces laterais pstas há 4 pssibilidades Para esclher as duas cres que vã pintar as duas utras faces há 3 pssibilidades O númer ttal de pssibilidades de pintar a pirâmide usand 4 cres é 5 4 3= 6 0 c) Apenas 3 cres serã utilizadas Para pintar a base há 5 pssibilidades 4 3 Para esclher as duas cres que vã pintar faces laterais pstas há C 4 = = 6 pssibilidades O númer ttal de pssibilidades de pintar a pirâmide é = 0