Questão 13. Questão 14. Resposta. Resposta

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1 Questã 1 O velcímetr é um instrument que indica a velcidade de um veícul. A figura abai mstra velcímetr de um carr que pde atingir 40 km/h. Observe que pnteir n centr d velcímetr gira n sentid hrári à medida que a velcidade aumenta. 0 E 0 0 E Assim v() E v(). 10 Questã 14 A planta de um cômd que tem,7 m de altura é mstrada a seguir. a) Supnha que ângul de gir d pnteir seja diretamente prprcinal à velcidade. Nesse cas, qual é ângul entre a psiçã atual d pnteir (0 km/h) e sua psiçã quand velcímetr marca 104 km/h? b) Determinad velcímetr frnece crretamente a velcidade d veícul quand ele trafega a 0 km/h, mas indica que veícul está a 70 km/h quand a velcidade real é de 65 km/h. Supnd que err de aferiçã d velcímetr varie linearmente cm a velcidade pr ele indicada, determine a funçã v() que representa a velcidade real d veícul quand velcímetr marca uma velcidade de km/h. a) Cm ângul de gir d pnteir é diretamente prprcinal à velcidade e na velcidade de 40 km/h ângul de gir d pnteir é de 10, assim, na velcidade de 104 km/h, ângul km/ h de gir é dad pr km/ h b) A velcidade real v() é calculada pela diferença entre a velcidade marcada e um err de aferiçã E, u seja: v() E (E 0). Cm err de aferiçã (E) varia linearmente cm a velcidade indicada, tems pr interplaçã aritmética que: a) Pr nrma, em cômds residenciais cm área superir a 6 m, deve-se instalar uma tmada para cada 5 m u fraçã (de 5 m) de perímetr de parede, incluind a largura da prta. Determine númer mínim de tmadas d cômd representad anterirmente e espaçament entre as tmadas, supnd que elas serã distribuídas unifrmemente pel perímetr d cômd. b) Um eletricista deseja instalar um fi para cnectar uma lâmpada, lcalizada n centr d tet d cômd, a interruptr, situad a 1,0 m d chã, e a 1,0 m d cant d cômd, cm está indicad na figura. Supnd que fi subirá verticalmente pela parede, e desprezand a espessura da parede e d tet, determine cmpriment mínim de fi necessári para cnectar interruptr à lâmpada. a) Send perímetr d cômd,0 + +,4 10, ,8, sã necessárias tmadas, espaçadas a cada 10,8,6 m.

2 matemática b) Cm fi subirá verticalmente pela parede, elechegaráatetemumpntdiretamenteacima de S. O cmpriment da parte d fi n tet é igual à hiptenusa d triângul retângul de catets,4 1, m e,0 1,0 0,5 m, que é 1, + 0,5 1, m. Assim, cmpriment mínim de fi necessári para cnectar interruptr à lâmpada é 1, + (,7 1,0),0 m. Questã 15 O númer áure é uma cnstante real irracinal, definida cm a raiz psitiva da equaçã quadrática btida a partir de + 1. a) Reescreva a equaçã acima cm uma equaçã quadrática e determine númer áure. b) A sequência 1, 1,,, 5, 8, 1, 1,... é cnhecida cm sequência de Fibnacci, cuj n-ésim term é definid recursivamente pela fórmula 1, se n 1 u ; F(n) F(n 1) + F(n ), se n >. Pdems aprimar númer áure, dividind um term da sequência de Fibnacci pel term anterir. Calcule 10 e11 terms dessa sequência e use-s para bter uma aprimaçã cm uma casa decimal para númer áure. a) Para tal equaçã, Δ ( 1) 4 1 ( 1) 5 e, prtant, u. Cm númer áure é a raiz psitiva da equaçã, ele é igual a b) Pelas cndições dadas F(7) 1, F(8) 1, F(9) F(8) + F(7) 4, F(10) F(9) + F(8) e F(11) F(10) + F(9) Assim, númer áure é, aprimadamente, F(11) 89 1,618, u seja, uma aprimaçã F(10) 55 cm uma casa decimal para númer áure é 1,6. Questã 16 Uma curva em frmat espiral, cmpsta pr arcs de circunferência, pde ser cnstruída a partir de dis pnts A e B, que se alternam cm centrs ds arcs. Esses arcs, pr sua vez, sã semicircunferências que cncrdam sequencialmente ns pnts de transiçã, cm ilustra a figura a seguir, na qual supms que a distância entre A e B mede 1 cm. a) Determine a área da regiã destacada na figura. b) Determine cmpriment da curva cmpsta pels primeirs 0 arcs de circunferência.

3 matemática a) A regiã destacada é a uniã de dis semicírculs, um cm rai R cm e utr cm rai R4 4 cm. Send A a área desejada, entã: π A π + π 4 b) Os rais das semicircunferências determinam uma prgressã aritmética cm primeir term igual a 1 e razã igual a 1. O vigésim term dessa PA é calculad pr e cmpriment da curva cmpsta pels 0 primeirs arcs é 1 ( 1 0) π + π + + π π(1 + 0) 0 π( ) 10π. Questã 17 Dica: vlume de um trnc de cne pde ser btid empregand-se a fórmula π V h(r + Rr+ r ), em que R e r sã s rais das bases e h é a altura d trnc. a) Send 00 mg 0, g, vlume de um brilhante cm 0,7 quilate é: 0,7 0, 0,04 cm,5 b) Utilizand as aprimações sugeridas, vlume d brilhante é a sma d vlume de um trnc de cne de rais das bases 1 mm e mm e altura 0,6 mm cm vlume de um cne de rai da base mm e altura 1,8 mm, u seja: 0,6 1 V π ( ) + π 1,8,8 π mm Um brilhante é um diamante cm uma lapidaçã particular, que trna essa gema a mais apreciada dentre tdas as pedras precisas. a) Em gemlgia, um quilate é uma medida de massa, que crrespnde a 00 mg. Cnsiderand que a massa específica d diamante é de aprimadamente,5 g/cm, determine vlume de um brilhante cm 0,7 quilate. b) A figura a seguir apresenta a seçã transversal de um brilhante. Cm é muit difícil calcular vlume eat da pedra lapidada, pdems aprimá-l pela sma d vlume de um trnc de cne (parte superir) cm de um cne (parte inferir). Determine, nesse cas, vlume aprimad d brilhante. Questã 18 O mstradr de determinad relógi digital indica hras e minuts, cm ilustra a figura a seguir, na qual dígit da unidade ds minuts está destacad. O dígit em destaque pde representar qualquer um ds dez algarisms, bastand para iss que se ative u desative as sete partes que cmpõem, cm se mstra a seguir. a) Atribuind as letras a, b, c, d, e, f, g as trechs d dígit destacad d relógi, cm se indica a seguir, pinte n gráfic de barras a prcentagem de temp em que cada um ds trechs fica aces. Observe que as prcentagens referentes as trechs f e g já estã pintadas.

4 matemática 4 b) Para algarism ser representad crretamente, s dis trechs defeituss devem ser b ed. Lg, cm eistem pares de trechs, a prbabilidade pedida é 1 1. Questã 19 Um supermercad vende dis tips de cebla, cnfrme se descreve na tabela abai: b) Supnd, agra, que dígit em destaque pssua dis trechs defeituss, que nã acendem, calcule a prbabilidade d algarism ser representad crretamente. a) Cnsiderand que dígit destacad d relógi é das unidades, cada um ds dez algarisms fica aces a mesma quantidade de temp (1 segund a cada períd de 10 segunds). Cnsequentemente, a prcentagem de temp em que cada um ds trechs fica aces crrespnde a númer de algarisms em que trech aparece ativad vezes 10%. a) Uma cnsumidra selecinu ceblas pequenas e grandes, smand 40 unidades, que pesaram 1700 g. Frmule um sistema linear que permita encntrar a quantidade de ceblas de cada tip esclhidas pela cnsumidra e reslva- para determinar esses valres. b) Geralmente, as ceblas sã cnsumidas sem casca. Determine a área de casca crrespndente a 600 g de ceblas pequenas, supnd que elas sejam esféricas. Sabend que 600 g de ceblas grandes pssuem 19π cm de área de casca, indique que tip de cebla frnece menr desperdíci cm cascas. a) Sejam e y as quantidades de ceblas pequenas e grandes, respectivamente. Cm sã 40 unidades n ttal, + y 40. A massa das ceblas pequenas é 5 e a massa das ceblas grandes é 00y. Assim, send a massa ttal igual a g, tems também y Dessa frma, um sistema linear que permite encntrar as quantidades de ceblas de cada tip é: + y y Reslvend sistema, btems: 40 y 40 y 6 + 8y y + 8y 68 y 4 Lg fram cmpradas 6 ceblas pequenas e 4 ceblas grandes. b) Seiscents gramas de ceblas pequenas crrespndem a ceblas, que geram uma 5 área de 4 4π 84π cm de casca. Cm 84π > 19 π, a cebla grande frnece menr desperdíci cm cascas.

5 matemática 5 Questã 0 Questã 1 Cnsidere a funçã f() + + p, definida para real. a) A figura a seguir mstra gráfic de f() para um valr específic de p. Determine esse valr. Uma bateria perde permanentemente sua capacidade a lng ds ans. Essa perda varia de acrd cm a temperatura de peraçã e armazenament da bateria. A funçã que frnece percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acrd cm a temperatura de armazenament, T (em C), tem a frma P(T) a 10 bt, em que a e b sã cnstantes reais psitivas. A tabela abai frnece, para duas temperaturas específicas, percentual de perda de uma determinada bateria de íns de Líti. Cm base na epressã de P(T) e ns dads da tabela, a) esbce, abai, a curva que representa a funçã P(T), eibind percentual eat para T 0 e T 55; b) Supnd, agra, que p, determine s valres de que satisfazem a equaçã f() 1. a) D gráfic, f(1) p 1 + p 0 p 1. b) Para p, f() p u u b) determine as cnstantes a e b para a bateria em questã. Se necessári, use lg 10( ) 00,, lg 10( ) 048, e lg 10 ( 5) 070,.

6 matemática 6 a) Cm a, b > 0 e 10 > 1, gráfic de P(T) a 10 bt,p:r R, assemelha-se a gráfic de uma funçã epnencial crescente. Cnsiderand ainda que P(0) 1,6% e P(55) 0%, tems gráfic: e supnd que, na matriz A,, calcule B AC. a) det(a) (4 5) Prtant det(a) > 0 4(4 5) > 0 5 ( 5)( + 5) > 0 < < 0 u 5 >. b) Tems b 0 P(0) 1,6% a 10 1,6% P(55) 0,0% b 55 a 10 0,0% a 1,6% 55b 0,0 10 1,6 a 1,6% b lg 55 8 a 1,6% 1 b ( lg ) 55 Utilizand a aprimaçã dada lg 0,0, btems a 1,6% e b ( 0,0) 0, b) Para, 0 B ( ) ( 1) + ( ) ( 1) ( ) ( 1) 56 Questã Um círcul de rai fi apiad sbre as retas y e y /, cnfrme mstra a figura abai. Questã Seja dada a matriz 0 A 6, em que é um númer real. a) Determine para quais valres de determinante de A é psitiv. b) Tmand C 4, 1 a) Determine as crdenadas d pnt de tangênciaentrecírculearetay /. b) Determine a equaçã da reta que passa pela rigem e pel pnt C, centr d círcul.

7 matemática 7 Um tpógraf deseja calcular a distância entre pnts situads à margem de um riach, cm mstra a figura anterir. O tpógraf determinu as distâncias mstradas na figura, bem cm s ânguls especificads na tabela abai, btids cm a ajuda de um tedlit. a) Send T( a; a), a > 0, pnt de tangência entre círcul e a reta y, tems m(tôc) 90 45, e, prtant,ot CT. N triângul ATO, retângul em A( a; 0), tems 5 a + (a) a, lg T ;. 5 5 b) Send α a medida d ângul agud que a reta y frma cm ei das abscissas, ceficiente angular da reta que passa pela rigem e tgα + tg 45 pel pnt C é tg( α + 45 ) 1 tgα tg Assim, a equaçã da reta prcurada é y. a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D. a) A figura a seguir representa a situaçã d prblema. Questã 4 Sabend que s ânguls ACB e ABC medem 0 cada, entã ângul BAC mede 10 e s lads AB e AC sã iguais. Se AB AC, aplicand a lei ds cssens n triângul ABC, tems: 15 + cs m b) Aplicand a lei ds cssens n triângul BCD, tems: BD cs 60 1 BD BD 5 7 m