Matemática B Extensivo v. 3

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1 Etensiv v. Eercícis 0) B Períd é dad pr: P π Cm m 8, tems: P π 8 π 8 rad 0) C Dmíni: π 6 kπ kπ + π 6. k. π + π. 6 0) C 0) E I. Incrreta. Dmíni: π + kπ π 6 + k π 6 D (f) { R / π 6 + k π, k z} II. Crreta. O períd de P π π rad III. Crreta. Pis a imagem da funçã tangente é R. Dmíni: π π + kπ π + kπ + π π + kπ π. + + kπ π + k. π D (f) π R + π. k, k Z 0) B Períd: P π Cm m, tems: π π P. π π rad 06) C 07) D. k. π + π 8 D (f) π R + π. k, k Z 8 Im (, ] [, ) g() sec() Im(g) (, a b] [a + b, ) Cm a 0 e b, tems: Im (g) (, ] [, ) h() cssec() Im (h) (, a b] [a + b, ) Cm a 0 e b, tems: Im (h) (, ] [, ) Prtant: Im(f) B Im(g) C Im(h) A π + kπ π 6 + k. π D R π + k. π, k z...,,,,,,. π π π 7 π π Tems que: A π π...,,, π π π,,, π,... B {..., π, π, π,...} C π π...,,,... D..., π, π,, π π,... Lg, D' R E. Assim cnjunt D' está n cjunt E.

2 08) E π kπ kπ + π. kπ +. π. kπ + π 8 k Prtant, D π π R +, k z 8 Imagem: Im (, a b] [a + b, ) 0) B 0) A ) E Cm a e b, tems: Im (, ] [ +, ) (, ] [6, ). Dmíni g() cssec () kπ π. k D( g) π R. kk, z S() ctg () kπ π. k D( S) π R. kk, z Prtant, D (g) D (S) Períd: P π π π m m π π m Imagem: ], a b] [a + b, [ ], [ [7, [ Daí vem: a m i () a+ m 7 () ii Fazend (i) + (ii), tems: a 6 a 6 a ) C Substituind a em (ii), btems: a + m 7 m 7 a m 7 m Períd: f() sec P π m P π. π 8π rad ) B g() ctg P π m P π π rad h() cssec P π m P π 8π rad s() tg P π m P π π rad Prtant: P (f) P (h) D e P(g) P(s) C Dmíni π π + kπ π + π + kπ

3 6π + kπ π π + k k D() f π π R/ +, R Z ) D f() tg. ctg f() sen. cs cs sen Devems ter: sen 0 kπ, k z () i π cs 0 + kπ, k z () ii De (i) e (ii), tems: k π, k z Lg, dmíni é dad pr: D π R ; k, k z ) 0. Crreta. Pis a imagem da funçã f() ctg () é R, entã a funçã f() +. ctg () tem cm imagem Im R. 0. Crreta. Pis para td > f( ) > f( ). 0. Incrreta. P π m P π π π. π rad 7) C Relaçã trignmétrica n triângul retângul: sen α OB OB sen α Lg, AB OB sen α sen α sen α Tems ainda, TB ctg α Agra n ΔTAB A ab. sen α A. ( sen α ). ctg α. sen α sen α A ( sen α) ctg α N ΔOPQ, tems: sen (0 α) PQ OQ sen 0. cs sen α. cs 0 0 PQ OQ 6) D 08. Crreta. Im ], a b] [a + b, [, cm a 0 e b 7, tems: Im ] ; 7] [7; [. 6. Incrreta. Cm sec nã pssui pnt de mínim, lg g(). sec() nã pssui pnt de mínim. N triângul QOB, tems: cs α PQ OQ (i) cs (0 α) OP OQ cs 0 0. cs + sen 0. sen α OQ sen α OQ OQ sen α (ii)

4 Substituind (ii) em (i), terems: cs α PQ OQ PQ cs α. OQ PQ cs α. ctg α. sen α 0) D Prtant, k pde assumir s valres d interval [ 7, ] I. Crreta. 8) E ) E Períd: π π 6π π P rad sec k k + k k k k 0 Reslvend separadamente as desigualdades. k k 0 k (k ) 0 A epressã sen m para a º Q, tems: < m < 0 + < m < + 0 < m < < m < < m < Lg, a sluçã k k 0 é dada pr: k (, 0] [, ). k k k k + 0 Prtant, m (, ) II. Crreta. O valr máim acntece quand cs. Entã: f MAX () +. cs f MAX () +. Lg, a sluçã k k + 0 é dada pr: k (, ] [, ). Prtant, > k k > 0 é: 0 Mínim O valr mínim acntece quand cs. Entã: f MÍN () +. 0 cs f MÍN () A sma ds valres máim e mínim é: III. Incrreta., , cssec sen sen

5 ) 0 Relaçã fundamental: sen + cs + cs cs cs 6 cs cs Cm º Q, tems cs < 0. 7 Lg cs Prtant, ctg cs sen IV. Crreta. Períd: P π m P π π rad 7 7 Dmíni π + Kπ 6 Kπ π 6 K π π D π π R/ K, K Z. 0. Incrreta. sen K A imagem pde assumir valres e, entã: < K < + < π < + < K < < K < Prtant, K R/ K 0. Incrreta. Dmíni da sec é dad pr: D π R/ + kπ, K Z 0. Crreta. O valr mínim da funçã f() é atribuíd quand cs. Daí, vem: f MIN () + ( ) 08. Incrreta. P π m P π π. π rad ) 6. Crreta. Observe gráfic da funçã cssecante na página 6 da apstila. 0. Crreta. Dmíni: π 6 π + kπ π + π 6 + kπ π + kπ 6 π + kπ D π R + kπ, k R. 0. Crreta. Períd P π m P π π rad 0. Incrreta. π π 6 8 Cm períd é dad pr P π, lg a sluçã é dada pr: S π π R/ + K, K Z 8 Cm querems [0, π], entã K 0 S π 8 0 (OK)

6 ) B K S π + π π+π π (OK) K S π + π. π+ π π (OK) K S π + π. 7π 70 (nã 8 8 serve) Prtant, pssui sluções. 08. Incrreta. y f() sen. 6. Crreta. lg lg y lg lg lg y y 8 y y i y () y ii y ( ) Substituind (i) em (ii). y y y Substituind y em (i), terems:. Lg, + y + 6. I. Incrreta. cs (a + b) cs a. cs b sen a. sen b II. Crreta. sen (a b) sen a. cs b sen b. cs a f() sen ) E ) A sen sen 0 sen (60 + ) sen 60. cs + sen. cs 60 sen sen 0. + ( + ) tg 7 tg (0 + ) tg 0 + tg tg 0. tg + tg 7. + tg 7 + tg (racinalizaçã) + tg 7 ( + ) + ( + ) tg ) D 7) D sen sen 0 sen a cs a (psitiv, pis Q.) sen sen 0 cs 0 sen Relaçã fundamental: sen + cs Cm sen, entã: III. Incrreta. tg a+ tgb tg (a + b) + tg a. tgb 6

7 + cs cs cs 6 cs 6 Tems ainda: sen y + cs y sen y + sen y + 6 sen y 6 sen y 6 sen y 6 sen y I. Crreta. sen( + y) sen. cs y + sen y. cs sen( + y). +. sen( + y) 8 +. sen( + y) II. Incrreta. cs( y) III. Crreta. tg y sen y cs y tg sen cs + tg + tgy tg ( + y) tg. tgy ) E ) D 6 tg ( + t) cs π 0 + cs. cs sen. sen 0. cs ( ) sen sen Cm sen Relaçã fundamental: sen + cs + cs cs 6 cs 7 6 cs ± 7 6 0) A cs 7 ( Q.) Tems: sen sen. cs sen. 7. sen sen Resluçã f() tg tg tg tg Lg, π + kπ, k Z 7

8 ) E ) D f() cs² sen² f() (cs² sen² ) Relaçã Fundamental f() ( sen² sen² ) cs a sen b f() ( sen ) f() 8 sen f() 8. cs f() ( cs ) f() + cs f() cs ) C ) C Prtant, Im [ ; ] sen ( y). cs y + cs ( y). sen y sen (( y) + y) sen ( y + y) sen cs (60 + a) cs 60. cs a sen 60. sen a cs (60 + a) cs a sen a sen b cs a Figura A : Área da figura. A senb.cs a sen b. cs a Cm tems dis símbls idêntics tems: A + A sen b. sen a cs b sen a Cm, ) D sen (a 0 ) sen a. cs 0 sen 0. cs a sen (a 0 ) sen a. cs a sen (a 0 ) cs a sen a Lg, cs (60 + a) m (sen + sen y)² + (cs + cs y)² sen + sen. sen y + sen y + cs + cs. cs y + cs y (sen + cs ) + (sen + cs y) + sen. sen y + cs. cs y (sen + cs ) + (sen + cs y) + (cs. cs y + sen sen y) + + cs ( y) + cs (60 ) ) B A sen a. cs b Prtant, sen a cs b A + A + A sen b. cs a + sen a. cs b A + A + A (sen b. cs a + sen a. cs b) A + A + A sen (b + a) A + A + A sen π 6 A + A + A. A + A + A sen + cs + cs + cs 6 8

9 cs + 6 cs 6 cs ± 6 cs ±, π π, ist é, Q., lg cs. tg sen cs. sen. cs sen. cs sen. cs 8 8) E sen cs + cs + cs cs cs 8 (. ) 7) C Daí vem: tg tg tg. tg tg 6 6 tg.. 6. tg 0 sen cs (elevand ambs s lads a quadrad) (sen cs ) sen sen. cs + cs sen + cs sen. cs sen. cs sen. cs cs ± 8 cs ± 8 Cm ]0, π [, tems: cs 8 sen sen. cs sen. sen 8 sen ) B. 8 sen cs (elevand ambs s lads a quadrad) (sen cs ) sen sen. cs + cs sen + cs sen. cs sen. cs sen. cs

10 sen. cs ( ) sen 0) D cs sen 6 (elevand ambs s lads a quadrad) 6 (cs sen ) cs cs. sen + sen 6 sen + cs cs. sen sen. cs sen. cs sen. cs ( ) ) C sen + sen 80 (tg 0 + ctg 0 ) sen sen 80 0 cs 0 + cs 0 sen 0 sen sen cs 0 cs 0. sen 0 sen (. 0 ) cs 0. sen 0 sen 0.cs 0 sen 0.cs 0 cs 0. sen 0 ) D. cs 0. sen 0 cs 7 cs² 6 cs (. 6 ) cs² 6 cs 6 sen 6 cs 6 sen² 6 ) A tg 0 (sec + cssec )(cs sen ) tg 0. + cs sen. (cs + sen ) tg 0. sen + cs. (cs sen ) cs tg 0. cs + sen )(cs + sen cs. sen tg (. ). (cs sen ) cs. sen tg tg sen. cs cs. sen sen. cs. cs sen sen cs. sen cs ) B sen cs cs sen cs sen. cs cs. sen sen.cs sen cs. (cs sen ). cs cs. sen tg sen cs sen cs sen cs cs cs sen + sen + sen.cs cs sen sen + cs + sen.cs cs cs cs + cs +. cs.cs cs cs + cs cs cs 0

11 ) A cs α sen α + cs² α sen² α (cs α + sen α) (cs α sen α) + cs α sen α. (cs α sen α) + cs α sen α cs α sen α + cs α ( cs α) + cs α + cs α. cs α. Lembre-se: cs α + cs α e sen α cs α 08. Incrreta. A sen 0 sen 70 B sen 700 sen 0 A B sen 70 cs 6) 7 0. Crreta. a b V min. a b 0. Incrreta. f() sen. cs f(). sen. cs f() sen a 0 b m P π m P π π π rad Im [a b, a + b] [0, 0 + ] [, ] 0. Incrreta. ctg a. sec a > 0 cs a. sen a cs a > 0 sen a sen a < 0 > 0 Tems ainda, sen a. cs b < 0 (divide-se ambs s lads pr sen a) sen a.cs b > 0 sen a sen a cs b > 0 Lg, a Q. u a Q. e assim a π π,. Lg, A > B. Pdems pensar da seguinte frma: 70 Q., entã sen 70 > 0 0 Q., entã sen 0 < 0 0 Prtant, sen 0 < sen 70 B < A. 6. Crreta. (tg + ). (sen ) sen + cs ) sen + cs cs. ( cs ) cs. ( cs ) cs cs 7) V V V F F sen cs (sen² cs² ). (sen² cs² ). (sen² cs² ) sen² cs² Prtant, verdadeira. sen π + sen π. cs + sen. cs π cs + sen

12 cs π cs π cs + Prtant, verdadeira.. cs + sen π sen tg + ctg sen cs + cs sen sen + cs cs. sen cs. sen sen sen. sen 08. Crreta. 6 H 8 (Terema de Pitágras) H H 00 H H 00 H 0 O ângul α é menr, pis encntra-se em psiçã psta a lad menr. α Prtant, verdadeira. cs² + cs cs² + cs² cs² Prtant, fals. sen( + y) + sen( y) sen. cs y + sen y. cs + sen. cs y sen y. cs sen. cs y cs α Crreta. y z 8) 6 Prtant, fals. 0. Incrreta. P π m P π π 0. Crreta. cs² + (tg² )(cs² ) cs + sen.cs cs cs + sen 0. Incrreta. sen² + cs² 0 sen² cs² Nte que, cs² > 0 cs² < 0 sen² > 0 Entã, sen cs, pis lad esquerd é psitiv, prém lad direit é negativ. ) z 80 y sen z sen (80 y) sen (80 ( + y)) sen 80. cs ( + y) sen ( + y). cs cs ( + y) sen ( + y). ( ) sen ( + y) sen. cs y + sen y. cs 0. Crreta. Vams mstrar cntrapsitiva: Se nã é par, entã nã é par, u seja, se é ímpar, entã é ímpar. Cm é ímpar, entã é da frma: n + cm n Z (Elevand a quadrad ambs s lads) (n + ) n + n + Seja q n n Z q +. Prtant, é ímpar, ist é, se fr par, entã é par.

13 0. Incrreta. Nte que k nunca admite n algarism das unidades. 0. Crreta. 08. Crreta k k k cs + cs cs + + cs cs cs ( ) cs cs (sen² cs² cs² ()). cs²() ( cs ()). cs ().( cs ()). cs. ( cs ()). cs () ( + cs ()). cs () ( cs ). cs ( cs ). ( + cs ) ( cs )( + cs ) cs sen 6. Crreta. N ΔOAB, tems: tg α catet pst catet adjacente (Relaçã trignmétrica) 0) C tg α AB OA tg α AB tg α AB. Crreta. Cm < sen < e < cs <, ambs pssuem valr máim. Lg, valr máim de S é: S +. α α Nte que ΔABD ΔBCD (cas LLL) Cnsidere ΔABD H () + H + H H H Ainda n ΔABD, tems: sen α cs α h.... sen B sen (α) sen α. cs α.....

14 ) Nte que: C α y CM B α, pis CM B é um ângul etern a triângul AMC. CM, pis triângul AMC é isósceles. α α Substituind sen α em sen α + cs α, terems: + cs α A B M ) A 0. Crreta. Cm CM B α, entã cs (CM B) cs α. Daí vem: cs CM B. cs α cs α sen α Crreta. N triângul ABC: CB tg α y AB + tg α Crreta tg α Cm CM B α, entã sen CM B sen α. Daí vem: sen α sen α. cs α sen α.. Lg, sen CM B. cs α cs α 8 8 cs α cs α 8 cs α 0. Crreta. N triângul CMB: cs α cs α (cs α sen α) Crreta. Ainda n triângul CMB: sen α y y. sen α y. sen α. cs α y 8.. y 6 Seja α DB A. N triângul ADB, tems: 0, tg α N triângul ABC, tems:, tg ( α+ β) tg α+ tg β tg α. tg β

15 + tg β 0. tg β tg β 0 + tg β 80. tg β tg β tg β 0 8 tg β 80 0 ) D 8 tg β 80 tg β tg β (racinalizaçã) 8 8. ) y 60 0 OP cs a Analisand círcul trignmétric, btems: PN sen a ( OP+ OQ) + ( PN QM) (terema de Pitágras) ( OP) + ( OP).( OQ) + ( OQ) + ( PN) ( PN).( QM) + ( QM) OQ cs b QM senb cs a + cs a. cs b + cs b + sen a sen a. sen b + sen b (sen a + cs a) + (sen b + cs b) + (cs a. cs b sen a. sen b) + +. cs (a + b) Cm a + b π, entã cs (a + b) cs π EÂB AÊD (alterns interns) N triângul ABF: BF tg α AB N triângul ADE: AB tg α DE. tg α tg α. 6 Prtant, y. ( ) y. y. 6 y. y 60 ) E sen ( + y). sen ( y) (sen. cs y + sen y. cs ). (sen. cs y sen y. cs ) sen. cs y sen.cs ysen. y.cs + + sen y.cs sen. cs. y sen y. cs y sen. cs y sen y. cs ( cs ) csy ( csy ) cs cs y cs. cs y cs + cs y. cs cs y cs

16 6) C ctg () + cssec () cs ( ) + s en ( ) s en( ) cs ( ) + cs cs cs s en ( ) s en.cs s en. cs sen ctg 7) A ( ) O menr valr da sluçã da equaçã acima é a. Lg, sen y. sen (y) k ctg y sen y. cs y k cs y sen y sen y k sen y sen y k (sen y ) 8) D. k k. 6 k 8 sen + sen y (sen + sen y) sen + sen. sen y + sen y Agra, cs + cs y (cs + cs y) cs + cs. cs y + cs y (ii) Smand as igualdades (i) e (ii), tems: sen + sen. sen y + sen y + cs + + cs. cs y + cs y + (i) ) A (sen + cs ) + (sen y + cs y) + + cs (.cs y+ sen.cs y) + cs ( y) + + cs ( y) + cs ( y) cs ( y) 6 cs ( y) cs ( y). cs ( y) sec ( y) cs ( y) A a. b.cs α Área d triângul T Área d triângul T sen AT l. l. sen AT l. l. ( ) Cm AT A T, entã:. l. sen( ) l. sen sen () sen. sen. cs sen 6 cs 6 60) D sen α cs β () i () ii Substituind (i) em sen α + cs α, tems: + cs α + cs α 6

17 + cs α cs α cs α cs α cs α cs α (cs α < 0, pis α Q) Substituind (ii) em sen β + cs β, tems: sen β + sen β + sen β sen β sen β (sen β < 0, pis β Q) Daí vem: sen α tg α cs α sen β tg β β cs tg α+ tg β tg (α + β) + + tg α. tg β (. ) + tg (α + β) ( + ). ( ). + tg (α + β) tg (α + β) 7