Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta

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1 Questã 1 Numa cidade d interir d estad de Sã Paul, uma prévia eleitral entre.000 filiads revelu as seguintes infrmações a respeit de três candidats A, B, ec, d Partid da Esperança (PE), que cncrrem a 3 cargs diferentes: I. tds s filiads vtaram e nã huve registr de vt em branc, tampuc de vt nul; II. 80 filiads vtaram a favr de A e de B; III. 980 filiads vtaram a favr de A u de B, mas nã de C; IV. 0 filiads vtaram a favr de B, mas nã de A u de C; V. 1.0 filiads vtaram a favr de B u de C, mas nã de A; VI. 60 filiads vtaram a favr de C, mas nã de A u de B; VII. 10 filiads vtaram a favr de A edec, mas nã de B. Determine númer de filiads a PE que: a) vtaram a favr ds 3 candidats. b) vtaram a favr de apenas um ds candidats. Send x númer de filiads a PE que vtaram a favr ds 3 candidats, tems, através de um diagrama de Venn: Cm s 000 filiads vtaram e nã huve vt em branc nem vt nul, (80 + x) + (80 x) x = 000 x = 80. Lg: a) vtaram a favr ds 3 candidats x = 80 filiads. b) vtaram a favr de apenas um ds candidats (80 + x) = 1 0 filiads. Questã O Magazine Lucia e a rede Crcvad de hipermercads vendem uma determinada marca de aparelh de sm d tip Hme Cinema, pelmesmpreçàvista.navendaapraz, ambas as ljas cbram a taxa de jurs cmpsts de 10% a mês, cm plans de pagaments distints. Cmprand a praz n Magazine Lucia, um cnsumidr deve pagar R$.000,00 n at da cmpra e R$3.05,00 depis de meses, enquant que na rede Crcvad ele pde levar aparelh sem desemblsar dinheir algum, pagand uma parcela de R$1.980,00, 1 mês após a cmpra e sald em meses após a cmpra. a) Qual valr à vista d aparelh de sm? b) Se um cnsumidr cmprar aparelh de sm a praz na rede Crcvad, qual valr da parcela final, vencível meses após a cmpra? a) Seja x valr à vista. Cmprand n "Magazine Lucia", após pagar R$.000,00 n at da cmpra, sald devedr de R$ 3.05,00 deve ser pag após meses, cm jurs cmpsts de 10% a mês, u seja, (x 000) (1 + 10%) = = 3 05 x = 500 reais. b) Cm a taxa de jurs praticada, após 1 mês valr passará para 500 (1 + 10%) = = 950 reais. Cm sã pags R$ 1.980,00 referentes à 1ª parcela, valr da parcela final, vencível meses após a cmpra, será de ( ) (1 + 10%) = 3 6 reais.

2 matemática Questã 3 a) Os enxadristas Dráuzi e Jã jgam 1 partidas de xadrez, das quais 6 sã vencidas pr Dráuzi, pr Jã e terminam empatadas. Os jgadres cmbinam a disputa de um trnei cm 3 partidas. Determine a prbabilidade de das 3 partidas d trnei terminarem empatadas. b) O Cnselh Diretr de uma empresa é cmpst pr n diretres, além d Presidente. Cm s membrs d Cnselh Diretr pdem ser frmadas C cmissões de elements, tdas cntand cm a participaçã d Presidente. Se, n entant, a presença d Presidente nã fr brigatória, pdend participar u nã, C cmissões pderã ser frmadas. Determine númer de membrs d Cnselh Diretr. a) Supnd que a prbabilidade de empate seja = 1, entã a prbabilidade pedida é =. 6 b) Sã n diretres e presidente. Lg númer de cmissões de elements, cntand cm a n participaçã d presidente, é C = 3. Cas a presença d presidente nã seja brigatória, pdems frmar C = cmissões. n + 1 Assim, n n 1 n n 1 n 3 = + 3 = + 3 n + 1 = n + 1 = 8. Ou seja, cnselh diretr pssui 8 membrs. Questã a) Determine s valres de a para s quais sistema linear abaix admita sluçã nã trivial. x + y + z = 0 ( senax ) + (cs ay ) = 0 (cs ax ) + ( senaz ) = 0 a) O sistema linear admite sluçã nã trivial se, e smente se, 1 1 sen a cs a 0 = 0 cs a 0 sen a sen a cs a (cs a + sen a) = 0 π sen a = 1 a = + kπ, k Z π a = + k π, k Z 5 3 b) x + x + x + x + 3x + 3 = 0 x (x + 1) + x (x + 1) + 3(x + 1) = 0 (x + 1)(x + x + 3) = 0 x + 1 = 0 u x + x + 3 = 0 x = 1 u x =± iu x =± i 3 V = { 1; i; i; i 3 ; i 3 } Questã 5 x = 1 u x = 1u x = b) Reslva a equaçã x + x + x + x + + 3x + 3 = 0 n cnjunt ds númers cmplexs. Cnsidere as funções: f(x) = 3 x 3 e g(x) = lg 3(x + 1),sendlg a(b) lgaritm de b na base a. a) Esbce a representaçã gráfica das funções f(x)e g(x) num mesm sistema cartesian de eixs. b) Escreva a equaçã das retas r e s, assínttas das funções f(x) e g(x), respectivamente. c) Determine as crdenadas ds pnts P e R, intersecções das funções f(x) e g(x), respectivamente, cm eix Ox e as crdenadas ds pnts Q e S, intersecções das funções f(x) e g(x), respectivamente, cm eix Oy. d) Determine graficamente númer de sluções da equaçã f(x) = g(x).

3 matemática 3 x a) O gráfic de f(x) = 3 3 é btid deslcand-se gráfic de y = 3 x três unidades para baix. O gráfic de g(x) = lg 3 (x + 1) é btid deslcand-se gráfic de y = lg3 x uma unidade para a esquerda. Sejam q(x) e r(x) (r(x) 0), respectivamente, qucienteerestdadivisãdef(x) pr g(x). O que se pde afirmar a respeit ds graus ds plinômis q(x) e r(x)? a) Seja x lad d lsang. Lg MB = 0 x, MC = x, BC = 10 e, aplicand Terema de Pitágras a triângul MBC, tems x = (0 x) x = cm. Aplicand agra Terema de Pitágras a triângul NCB tems NB = = NB = cm. b) O plinômi f é tal que f = q g + r, cm 0 grau de r < grau de g, pis r nã é plinômi identicamente nul. O grau de q é n + (n 1) = 3 e0 grau de r < n 1. Questã b) A assíntta de f(x) admite equaçã y = 3 ea assíntta de g(x) admite equaçã x =. 1 0 c) Tems P = (0; f(0)) = (0; 3 3 ) = (0; ) e R = = (0; g(0)) = (0; lg 3 (0 + 1) ) = (0; 0). x Além diss, cm f(x) = = 0 x = 1, Q = (1; 0) e S = R = (0; 0). d) Cm s gráfics de f e g se interceptam em dis pnts, a equaçã f(x) = g(x) admite duas sluções. a) N triângul ABC da figura a seguir, sabe-se que: a 3 c; sen 3 = β = ; 90 < β < 180. Questã 6 a) Na figura a seguir, ABCD é um retângul e AMCN é um lsang. Determine a medida d segment NB, sabend que AB = AD = 0cm. b) Cnsidere dis plinômis, f(x) e g(x), taisquegraudef(x) é n + egraude g(x) é n 1. Determine valr d ângul α. b) Escreva a equaçã da bissetriz d mair ângul frmad pelas retas y = 3 e y = x 3. a) Cm m(a) =α, m (C) = 180 ( α + β) e a = 3 c, aplicand a Lei ds Sens n ABC, tems: a sen A = c senc 3 c senα = c sen[180 ( α + β )] 1 = 3senα sen( α + β)

4 matemática sen( α + β) = 3 senα ( ) Já que 90 < β < 180 e senβ = 3, csβ = = 1 sen 1 β =. Entã, desenvlvend ( ): (senα csβ + senβ cs α) = 3 senα 1 3 senα + csα = 3 senα senα = 3 csα tgα = 3 α = 60 b) A reta r de equaçã y = 3 é paralela a eix Ox e a reta s de equaçã y = 3 x + frma um ângul θ cm eix Ox tal que tgθ= 3. Lg θ=10, cm mstra a figura a seguir: O pnt P de intersecçã dessas duas retas é a sluçã d sistema y = 3. y = 3 x + 3 Assim, P = 3 ;3. Cm mair ângul frmad pr r e s é 10, uma equaçã da bissetriz desse mair ângul é 3 dada pr y 3 =tg 60 x 3 3 y 3 = 3 x + y = 3 x +. 3 Questã 8 Benedit, um mtrista de táxi que percrre 5.00 km pr mês, analisa a hipótese de adquirir um veícul equipad cm tecnlgia flex fuel, bicmbustível. N flhet de prpaganda a mntadra explica que veícul bicmbustível tant pde usar álcl cm gaslina, em qualquer prprçã, apresentand a seguinte tabela de cnsum, de acrd cm as prprções de cmbustíveis utilizadas: Álcl Cmbustível Gaslina Cnsum (km pr litr) 100% 18 0% 60% 16 60% 0% 15 0% 30% 1 100% 10 a) Cnsiderand que atualmente a gaslina custa R$,00 pr litr e que preç d litr de álcl é 5% d preç d litr de gaslina, que prprçã de cmbustíveis Benedit deveria utilizar n veícul equipad cm tecnlgia flex fuel, para que tivesse menr gast mensal pssível? b) Para cmprar carr bicmbustível, Benedit despenderá R$3.000,00 a mais d que gastaria se adquirisse mesm mdel cm mtr mvid a gaslina, que faz 18 km pr litr. Nas duas hipóteses, seu carr atual entrará cm parte d pagament. O nss mtrista está em dúvida, pis se cmprar carr a gaslina pderá aplicar s R$3.000,00 em um fund de investiment que garante um rendiment de 30% de jurs n períd de 3 ans. Supnd que s preçs ds cmbustíveis mantenham-se ns níveis atuais ns próxims 3 ans, qual a aquisiçã que prprcinará mair ganh a Benedit? a) O preç d litr de álcl é0,5 = R$ 0,90. Cmbustível Álcl Gaslina 100% 0% 60% 60% 0% 0% 30% 100% Cust (Reais pr Quilômetr) 1 = 0, , 0,9 + 0,6 16 0,6 0,9 + 0, 15 0, 0,9 + 0,3 1 0,9 10 = 0,09 = 0,095 0,089 0,088

5 matemática 5 Benedit deveria utilizar 0% de álcl e 30% de gaslina. b) Em 3 ans, s 3 mil reais renderiam (1 + 0,30) =R$ 3.900,00. Utilizand a prprçã btida n item a, ns próxims 3 ans, Benedit ecnmizaria a 0, 0,9 + 0,3 td = ,3 = = R$.19, Prtant a aquisiçã que prprcinará mair ganh é carr bicmbustível. Questã 9 A e B sã subcnjunts d cnjunt ds númers reais (R), definids pr: A = { x R x+ 1= x + 1 x }; B = { x R x + 1 } Determine interval real que representa A B, send A e B s cmplementares de A e B, respectivamente, em relaçã a R. N subcnjunt A, tems: x + 1 = x + 1 x x + 1 = x 1 + x se x 1 x + 1 = x x se 1 x 0 x + 1 = x + 1 x se x 0 x = 1 1 x 0 1 x 0 x = 0 Entã A = [ 1; 0] e A = ] ; 1[ ]0; + [. N subcnjunt B, tems: x x + 1 x + 1 x + 1 = 0 x 3 x 5.EntãB = ] ; 5] [3; + [ { 1} x= 1 e B = ] 5; 1[ ] 1; 3[. Lg A B = ] 5; 1[ ]0; 3[. Questã 10 Uma certa mercadria fi prmvida pr uma substancial campanha de prpaganda e, puc antes de encerrar a prmçã, a quantidade diária de vendas era unidades. Imediatamente após, as vendas diárias decresceram a uma taxa prprcinal às vendas diárias, tal que: V(t) = B e kt, send B númer de unidades vendidas em um determinad dia; V(t) a quantidade de vendas pr dia, após t dias; e =, e k um númer real. Sabe-se que 10 dias após encerrar a prmçã vlume diári de vendas era unidades. a) Qual vlume diári de vendas 30 dias após encerrament da prmçã? b) Quand se espera que a venda diária seja reduzida a 6.00 unidades? 3 Cnsidere que lg =, send lg lgaritm de na base Cm a quantidade diária de vendas n fim da prmçã era unidades, V(0) = e, send as vendas de unidades 10 dias após fim da prmçã, V(10) = Lg B = k 0 B e = k10 B e k 10 = e = t k t e, prtant, V(t) = B (e ) = a) O vlume diári de vendas 30 dias após encerrament da prmçã é V(30) = = = 5 10 unidades.

6 matemática 6 b) Seja t númer de dias passads após términ da prmçã, quand a venda diária é de 6 00 unidades. Assim: t V(t) = = t = 10 5 t 10 = t = 0 dias Cnseqüentemente a venda diária é igual a 6 00 unidades 0 dias após términ da prmçã.