O resultado dessa derivada é então f (2) = lim = lim

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1 Tets de Cálcul Prf. Adelm R. de Jesus I. A NOÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Dada uma funçã yf() e um pnt pdems definir duas variações: a variaçã de, chamada, e a variaçã de y, chamada y. Tems que - e yy- y. A taa de variaçã média de f() n pnt é entã definida pr: y f() Pr eempl, se f() e tems - e y y 4-4. Lg, Outr eempl: se f() e tems - e y y 8-8. Lg, f() A derivada de uma funçã em é limite dessas taas médias quand, u seja, quand 0. Pr essa razã, a derivada é chamada de taa de variaçã instantânea em. Resumind: y f () 0 f() f(). Observe que: i) O limite acima (derivada) é um númer real, que pde ser psitiv, negativ, u mesm igual a zer. ii) A derivada representa também ceficiente angular da reta tangente a gráfic de yf(), n pnt (, f( )). II. OUTRAS NOTAÇÕES PARA DERIVADA a) Muits prfessres e tets de Matemática preferem chamar pnt fi de, pis assim ficams cm a letra para a variável. Veja cm fica: f() f() f (). A vantagem é que nã aparece utra letra t. N eempl que vims, f() + e tems: f() f() ( + ) 7 f () 4 ( )( + ) O resultad dessa derivada é entã f () 4 Cm vims, resultad é mesm!! b) Os livrs de Cálcul mais tradicinais chamam pnt de, e denminam a variável de + (leia delta ). Ou seja, cm + tems -. Resumind, a definiçã de derivada fica: f () 0 f( + ) f() N eempl acima, f() + e tems:

2 f( + ) f() [( + ) + ] 7 [ ] 7 f () ( + 4) O resultad dessa derivada é entã lim ( + 4) Cm se vê, resultad é nvamente mesm!! c) Já alguns livrs mais mderns chamam pnt de, mas chamam a variável de +h (u seja, trcam a variável pr h). Cm +h tems - h f( h) f( ) Resumind, a definiçã de derivada fica: f ( ) lim + h 0 h dy NOTAÇÕES UTILIZADAS PARA DERIVADA: f ( ), y (), () d III. EXEMPLOS DE DERIVADA. A derivada de uma funçã cnstante é igual a zer. c c Demnstraçã: Se para td tems f()c entã f ( ) 0. A derivada de f()a+b é f ()a (a + b) (a Demnstraçã: Cm f()a+b entã f ( ) a a a( ) Canceland b, tems f ( ) lim lim a Eempls prátics: a) Se f()+ entã f () b) Se f()-+ entã f ()- c) Se f()-5 entã f () + b). A derivada de f()a +b+c é f ()a+b Vams fazer primeir alguns cass particulares, k? Eempl : a) f() f() f() ( + ) e. Daí, f () 6 b) f() f() f(4) ( + ) e 4. Daí, f (4) c) f() + e qualquer. Daí, f() f( ) ( + ) ( + ) ( )( + ) f () Cnclusã : Se f() + entã f ()

3 Eempl : c) f() + e qualquer. ( + ) ( + ) ( )( + ) Daí, f () 6 Cnclusã : Se f() + entã f ()6 Eempl : c) f()a +c e qualquer. (a + c) (a + c) a a a( )( + ) Daí, f () a a Cnclusã : Se f() a +c entã f ()a Finalmente, vams demnstrar cas geral: f()a +b+c e qualquer. (a + b + c) (a + + b c) [a a ] + [b b] Daí, f () a( )( + ) b( )) Lg, lim + lim a ( ) + b a + b Cnclusã 4: Se f() a +b+c entã f ()a+b Eempls prátics: a) Se f() entã f ()0- b) Se f() entã f ()-6+5 IV. REVISÃO DO CONCEITO DE DERIVADA Já vims s cnceits de taa de variaçã média entre s pnts e, que dentams pr y, e de taa de variaçã instantânea n pnt, u derivada da funçã f n pnt. f() f( Ela é definida pel limite ) f (), desde que esse limite eista. f( + ) f() Outra frma de escrever a derivada é f (). Neste cas, fizems +. 0 Uma das aplicações da derivada é sua interpretaçã gemétrica, cm ceficiente angular (u declividade) da reta tangente n pnt. Veja eempl a seguir: Eempl 4: Determinar a equaçã da reta tangente à curva f() + n pnt, cm na figura a lad. y 5 Sluçã: Para tems y +. Lg, pnt de tangência é (,). 4 Cm a equaçã da reta é y-y k(- ) só falta determinar valr d ceficiente angular k. Cm sabems, este valr k é igual a f ( ). Cm f() + tems. Finalmente, tems y-(-). f (). Lg, kf () Efetuand s cálculs, ficams cm a equaçã y+.

4 V. CÁLCULO DE MAIS ALGUMAS DERIVADAS 4 Cm já fi vist, se f()a +b+c entã f ()a+b. Essa é uma das regras de derivaçã, que neste cas permite encntrar a derivada de qualquer plinômi de grau. Vams calcular mais algumas derivadas, para fazerms nss frmulári, k? Eempl 5: Determine a fórmula para a derivada da funçã f() Sluçã: f() f() f ( ) ( )( + + ) Canceland term -, tems f ( ) lim ( ) Cnclusã: Se f() entã f () Eempl 6: Determine a fórmula para a derivada da funçã f() 4 Sluçã: 4 4 f() f() f ( ) ( )( ) Canceland term -, tems f ( ) lim ( ) Cnclusã: Se f() 4 entã f ()4 Eempl 7: Mstre que a derivada da funçã é f () é O limite f () f () Canceland term -, tems f () é indeterminad. Lg, devems multiplicar e dividir pel cnjugad. ( )( + ) ( ) ( )( + ) ( )( + ( ) f () ( )( + ) ( + ) +. ) Cnclusã: Se f () entã f () Cass particulares: Se f () entã f (), Nte também que f (0) nã eiste!! 0 f (4), etc. 4 4 Eempl 8: Mstre que a derivada da funçã é f () é Sluçã: Neste cas tems f ( ). f ()

5 Efetuand s cálculs d numeradr (subtraçã de frações), tems: 5 f ( ) ( ) Canceland term -, tems ( ) f () Cnclusã: Se f () entã f () VI. REGRAS DE DERIVAÇÃO Vcê já imaginu calcular a derivada de uma funçã cm f () utilizand a definiçã de + derivada? O trabalh que se tem é muit grande, envlve muits cálculs! Para simplificar esse trabalh d cálcul de derivadas, s matemátics bservaram que, se duas funções sã deriváveis em um pnt, entã a sma f+g, prdut pr uma cnstante kf, prdut f.g e quciente f/g sã também deriváveis nesse pnt. Além diss, que é a grande vantagem desta descberta, eistem fórmulas para estas derivadas. Estas sã chamadas de regras de derivaçã. Prpsiçã: Se f, g sã deriváveis em X, entã f +g, kf, fg e f/g (*) sã também deriváveis neste pnt, e além diss: ) (f +g) () f () + g () (a derivada da sma é a sma das derivadas) ) (kf) () kf () (a derivada de uma cnstante vezes uma funçã é prdut da cnstante pela derivada da funçã) ) (f g) ( ) f ()g() + f()g () (u seja, (fg) f g+fg ) 4) f f ()g() f()g () ( ) () (u seja, g g() f f g fg ( ) ) g g As "regras de derivaçã" sã instruments muit úteis para bterms rapidamente a derivada de uma funçã. Veja eempl abai: Eempl 9: Calcule a derivada das seguintes funções: a) h() 4 b) h() 5 c) h() d) h() Sluçã: a) Já vims que se h() 4 entã h ()4, mas vams fazer nvamente, k? Cm 4., pela regra d prdut tems ( 4 ) b) Cm 5. 4, pela regra d prdut tems ( 5 ) c) A funçã h() pde ser escrita cm uma sma: h() + ( +5+)

6 Cm já sabems derivar cada parcela, tems h () + (6 +5), u seja, h () d) Observe inicialmente que pdems escrever e. Lg, pdems reescrever a funçã h() cm h() Resumind, h() é uma sma de funções que já sabems derivar. Daí, h () ( ) + () + ( ) Resum: h() h () VII. TABELA DE DERIVADAS Cm já vims, as regras de derivaçã sã muit úteis para facilitar nss trabalh de calcular derivadas, sem necessidade de usar a sua definiçã cm um limite. Vims também na seçã anterir alguns eempls de derivadas. Para facilitar ainda mais nss trabalh futur, apresentams abai uma tabela de derivadas de funções mais elementares. Essa tabela pde ser acrescida de muitas utras funções. TIPO DE FUNÇÃO FUNÇÃO DERIVADA cnstante f()c f ()0 afim f()a+b f ()a quadrática f() f () cúbica f() f () ptência f() n f ()n n- raiz quadrada f() f () recíprca f() f () sen f()sen() f ()cs() cssen f()cs() f ()-sen() tangente f()tg() f ()sec () secante f()sec() f ()sec()tg() Epnencial f() f () ln() Epnencial f()a f ()a ln(a) Epnencial f()e f ()e ln(e) e Lgaritm Lgaritm Lgaritm f()lg () f()lg a () f()lg e ()ln() f () ln() f () ln(a) f () ln(e)

7 7 Eempl 0: Sabend que (sen)cs e (cs) -sen determine a derivada de ytg() Sluçã: Cm se vê na tabela acima, nss bjetiv é mstrar que (tg) sec () Para iss, lembrems inicialmente que sec. cs sen Cm tg tems um quciente para derivar. cs sen cs cs sen( sen) cs + sen Lg, (tg ) ( ) cs cs cs cs Finalmente, tems (tg ) ( ) sec, cm queríams demnstrar! cs cs Eempl : Calcule a derivada das seguintes funções: a) y sen b) ysen c) y tg d) y4 ln + e) y tg Sluçã: a) y sen y ( sen) sen + cs b) ysen y (sen.sen) cs sen + sen cs sen cs. Lg, y sen cs c) y tg y ( tg) tg + sec d) y4 ln y 8 ln + 4 y 8 ln e) Na funçã y tg + + tems parcelas para derivar. Nte que é cnstante, lg sua + derivada é igual a zer. + ( ) ( ) y [ tg + + ] y sec ( + ) (6 + ) ( + 9) + 9 y sec + sec + ( + ) ( + ) Cnsiderações Finais: Nã devems esquecer nssas regras de derivaçã, elas sã muit imprtantes para nsss cálculs, nã smente agra, cm nas aplicações futuras. Veja! TIPO DE OPERAÇÃO DERIVADA Sma de funções (f+g) f + g Prdut de cnstante pr uma funçã Sma de cnstante cm uma funçã Prdut de funções (c f) c f (c+f) f (fg) f g+fg f f g f g Quciente de funções ( ) g g

8 Resumims acima as 5 primeiras regras de derivaçã. Além dessas regras eiste uma utra, muitíssim imprtante, chamada cmumente de Regra da Cadeia, que dá a fórmula da derivada de uma cmpsiçã de funções. Pr eempl, vcê verá que: Se ysen( +) entã y cs ( +). Se ytg( +) entã y sec ( +).( +) 8 Esta Regra da Cadeia será vista em seguida, veja!! VIII. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES Dadas duas funções f: A B e g: B C pdems definir uma nva funçã hgf: A C definida pr h()gf()g(f()). Ou seja, primeir calculams a imagem f() e depis calculams g(f()). f() g(f()) Pr eempl: Se f() e g()sen tems gf() g(f())sen() Se f() + e g()cs tems gf() g(f())cs( +) Se f()+ e g () entã gf () + Nss bjetiv é bter uma fórmula para a derivada da funçã cmpsta gf. Esta fórmula é cnhecida cm Regra da Cadeia, u Derivada da Funçã Cmpsta. A títul de mtivaçã, vams ver antes um eempl, k? Eempl : Seja f()+ e g(). Lg, h() gf()(+). Qual a derivada dessa funçã h? Sluçã A: Neste cas nã precisams da Regra da Cadeia para encntrar a derivada de h()(+), pis pdems epandir quadrad e calcular eplicitamente quem é a funçã cmpsta. Depis diss, é só derivar! De fat, cm h()(+) tems h ()8+6 Sluçã B: Cm h()(+) é semelhante à funçã quadrática y, que tem derivada y, pderíams pensar que a derivada de h é calculada da mesma frma, u seja, h () (+). Mas veja: h ()(+)6+ NÃO COINCIDIU btid anterirmente!! Lg, esta maneira de derivar NÃO ESTÁ CORRETA!! Entã, nde está err na ª sluçã? Veja seguinte: A sluçã crreta é h ()8+6 e a sluçã incrreta fi h ()6+ O que há entã? Nte que que falta para melhrar a sluçã incrreta é um fatr, que é a derivada da funçã f()+.

9 9 De fat, se multiplicarms 6+ pr f () btems (6+) 8+6, que é a sluçã crreta! Resumind, nssa ª sluçã fica assim: Sluçã B: Cm h()(+) tems h () (+) 8+6 IX. A REGRA DA CADEIA O Eempl vist acima é bastante instrutiv, e ns mstra que para bter a derivada da funçã cmpsta gf devems multiplicar as derivadas da funções g e f. Eplicitarems a seguir a regra em uma frma mais precisa. Terema (Regra da Cadeia): Se f: A B é uma funçã derivável n pnt e g: B C é derivável n pnt f( ) entã a funçã gf: A C é também derivável n pnt. Além diss, vale a regra (gf) ( ) g (f( )) f ( ) f() g(f()) Eempl : Derivadas Básicas, Apenas cm a Regra da Cadeia a) Se h()(4+) entã h ()(4+) 4 +8 b) Se h()(-) entã h ()(-) 6(-)8- c) Se h()(+) entã h ()(+) 6(+) d) Se ysen() entã y cs() cs() e) Se ysen( +) entã y cs ( +). f) Se ytg(4+) entã y sec (4+).4 4sec (4+) g) Se h () + entã h () + + h) Se h() 4 entã h () i) Se y sen entã y cs cs sen sen j) Se ysen () entã y sen () cs k) Se ysen ( ) entã y cs ( ) l) Se ye entã y e e m) Se ye sen entã y e sen cs Eempl 4: Regra da Cadeia cm utras perações (sma, prdut, quciente) Nestes cass devems bservar as duas (u três ) regras cnjuntamente, e ter mais atençã! a) Se ysen()+4cs() entã y cs() 4sen() cs() - 8sen() b) Se y sen() entã y sen() + cs() c) Se h() (+) tg() entã h () tg() + (+) sec ()

10 d) Se h()e cs() entã h ()e cs() + e [-sen() ] e cs() - e sen() 0 e) sen( ) y entã + y cs( ) sen( ) ( + ) cs( ) sen( ) ( + ) e) + y entã cs() ( + ) cs() ( + ) [ sen() ] y cs () Lg, ( + ) cs() + ( + )sen() y cs () Eempl 5: (Este é para vcê praticar) Calcule as derivadas das seguintes funções a) Se ysen( )+ 4sen( ) - 5sen () b) Se y ( +) sen() + ( +4) tg() c) Se h() (5 +) cs (+) d) Se h()e cs() + e cs(5) Estams finalizand mais uma parte de nss estud sbre derivada. Cm vcê viu, assunt nã é difícil, mas é precis de muit trein e repetiçã. Pr iss é muit imprtante que vcês façam mais e mais eercícis, para adquirir rapidez e certeza d sucess. Salvadr, abril de 0 Adelm R. de Jesus