Material de apoio - Números complexos

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1 Material de api - Númers cmplexs Intrduçã Dad a equaçã, qual valr de X?. x 8 = 0. x = 8 8 x = x = 4 x = ± 4 Prém, nã existem raízes reais para númers negativs, daí a necessidade de criar um nv númer, infelizmente chamad de imaginári. j = 1 O que ns dá um nv resultad: x = ± 4.( 1) x = ± 4. 1 x = ±. 1 x = ± j Onde j é a unidade d númer imaginári. Em algumas situações, usa-se i, prém, em engenharia iss pde acarretar cnfusã cm a intensidade da crrente elétrica. Representações d númer cmplex Frma retangular Pr definiçã, númer cmplex é representad em sua frma retangular, u seja: Frma trignmétrica O númer cmplex, também pde ser representad n plan de Argand Gauss, vejams: Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007. 1

2 Frma expnencial Utilizand terema de Euller, e = csθ j.senθ, terems númer cmplex representad na frma expnencial. Frma plar A última representaçã é a frma plar e esta, pde ser facilmente btida utilizand as frmas anterires. Praticand: 1) Exprimir s númers =0 50º e =110-85º nas frmas, expnencial, trignmétrica e retangular. Sluçã: = 0 50 = 0. e j50 = 0.cs 50 = 1,86 j0.sen 50 j15,3 = = 0. e j85 = 110.cs( 85 ) = 9,59 j109,58 j110.sen( 85 ) ) Representar s númers z3 = (0 j3) e z4 = (-0 nas frmas, expnencial, trignmétrica e plar. 3) Representar s númers z5 = 0.e j0º e z6 = 1.e j(-3)º nas frmas, trignmétrica, retangular e plar. 4) Exprimir s númers z7=4-50º e z8=11-5º nas frmas, expnencial, trignmétrica e retangular. Operações básicas cm cmplexs na frma retangular Sma: ( a ( a d) jb) j.( b d) Subtraçã: ( a jb) ( a d) j.( b d) Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007.

3 Multiplicaçã: ( a jb).( c a. c j. da jbc j. j. b. d ( a. c bd) ( da bd). j lembrand que: j² = -1 Divisã: ( a ( a jb) jb). ( a. c bd) ( bc da). j c d Nta: O cnjugad é invers d númer imaginári, em nss material, pr facilidade de escrita, utilizarems um asterisc para indicar cnjugad. Exempl: nde: z* se lê cnjugad de z a z* = a jb jb Praticand Sabend-se que, = (0 j3) e = (-0. a) qual a sma (); b) a subtraçã ( ); c) prdut (. ) e; d) quciente ( ). a) Sluçã: (0 j3) ( 0 (0 0) ( j3 0 j10 b) Sluçã: (0 j3) ( 0 (0 0) ( j3 40 j16 c) Sluçã: (0 j3).( 0 (0. 0) (0. ( j3. 0) ( j j60 j30 j60 39 d) Sluçã: (0 j3) ( 0. ( 0 ( 0 (0. 0) (0. ( j3. 0) ( j ( ) ( j60 j60) j ,77 j0,35 Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007. 3

4 6- Sabend-se que, z3 = (1 j30) e z4 = (4 j33). e) qual a sma (z3z4); f) a subtraçã (z3 z4); g) prdut (z3. z4) e; h) quciente (z3 z4). 7- Sabend-se que, z5 = (0 j30) e z6 = (33 0j). i) qual a sma (z5z6); j) a subtraçã (z5 z6); k) prdut (z5. z6) e; l) quciente (z5 z6). Operações utilizand a frma plar Sma: a θ1º b θº (Nã reslve, deve cnverter para retangular). Subtraçã: a θ1º - b θº (Nã reslve, deve cnverter para retangular). Multiplicaçã: a θ1º. b θº (a.b) (θ1 θ)º Divisã: (a θ1º) (b θº) (a b) (θ1- θ)º Praticand Qual resultad express em plar, sabend-se que = (00 30º) e = 0 0º. a) qual a sma (); b) a subtraçã ( ); c) prdut (. ) e; d) quciente ( ). a) Sluçã: = 00.cs 30º 00.sen 30º = 173,1 = 0.cs 0º 0.sen 0º = 18,79 ( 173,1 j100) 19 j100 j6,84 j106,84 (18,79 j6,84) Exprimind em plar 19 19,7 106, ,84 θ = tag 19 θ = 9,09º 19,7 9,09º Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007. 4

5 b) Sluçã: = 00.cs 30º 00.sen 30º = 173,1 = 0.cs 0º 0.sen 0º = 18,79 ( 173,1 j100) 154,4 c) Sluçã: j100 j6,84 j93, º.0 0º 4000 (30 0)º º Praticand... (18,79 j6,84) Exprimind em plar 154,4 180,34 180,34 31,1º 93, ,16 θ = tag 154,4 θ = 31,1º d) Sluçã: 00 30º 0 0º 10 (30 0)º 10 10º 9- Qual resultad express em plar, sabend-se que z3 = (4-35º) e z4 = -4 1º. a) qual a sma (z3z4); b) a subtraçã (z3 z4); c) prdut (z3. z4) e; d) quciente (z3 z4). 10- Qual resultad express em plar, sabend-se que z5 = (-4-50º) e z6 = -4-1º. a) qual a sma (z5z6); b) a subtraçã (z5 z6); c) prdut (z5. z6) e; d) quciente (z5 z6). Operações utilizand a frma expnencial Sma: a.e Jθ1º b.e Jθº (Nã reslve, deve cnverter para retangular). Subtraçã: a.e Jθ1º - b.e Jθº (Nã reslve, deve cnverter para retangular). Multiplicaçã: a.e Jθ1º - b.e Jθº a.b.e J(θ1θ)º Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007. 5

6 Divisã: a.e Jθ1º b.e Jθº (a b).e J(θ1-θ)º Praticand Qual resultad express em expnencial, sabend-se que =10.e J1º e =14.e Jº a) qual a sma (); b) a subtraçã ( ); c) prdut (. ) e; d) quciente ( ). a) Sluçã: = 10.cs 1º 10.sen 1º = 9,34 = 14.cs º 14.sen º = 1,98 ( 9,34 j3,58),3 = 9,34 = 1,98 j3,58 j5,4 j8,8 ( 9,34 j3,58) 3,64 j3,58 j5,4 j1,66 (1,98 b) Sluçã: = 10.cs 1º 10.sen 1º = 14.cs º 14.sen º c) Sluçã: 10e j 1 (10.14) e 140e.14e j 43 j j(1 ) (1,98 j5,4) j5,4) Exprimind em expnencial 3,99 1 θ = tag θ = 1,56º,3 3,99e 8,8 8,8,3 j1,56 Exprimind em expnencial 4 1 1,66 θ = tag 3,64 θ = 155,5º 4e ( 3,64) j155,5 d) Sluçã: 10. e 14. e 0,71. e 0,71. e j1 j j1 ( 1,66) j(1 ) Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007. 6

7 1- Qual resultad express em expnencial, sabend-se que =1.e J10º e =41.e J5º a) qual a sma (); b) a subtraçã ( ); c) prdut (. ) e; d) quciente ( ). 13- Qual resultad express em expnencial, sabend-se que =5.e J8º e =4.e J3º a) qual a sma (); b) a subtraçã ( ); c) prdut (. ) e; d) quciente ( ). "Quem lha para fra, snha; quem lha para dentr, desperta." (Carl Yung) Númers cmplexs Autr: Cldald Silva - Versã: 19Out007. 7