CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA

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1 3 IUITOS DE OENTE TEND 3. INTODUÇÃO O estud de circuits de crrente alternada (..) é sbremd imprtante dad que a grande mairia das instalações elétricas utiliza este tip de circuits. Inicia-se desenvlviment d estud ds circuits em.. pela definiçã de grandezas periódicas senidais, que sã as bases para tais estuds. Define-se, a seguir, a representaçã fasrial de grandezas senidais, que facilita sbremd sua manipulaçã. Mstra-se, através de um esquema ilustrativ de um geradr., que a geraçã de uma f.e.m. senidal é relativamente simples. erifica-se que cnceit de ptência elétrica em.. exige que sejam definidas utras grandezas auxiliares e mstra-se a relaçã existente entre ptência em circuits.. e... presentam-se entã s circuits elementares cm excitaçã senidal, ist é, um geradr.. alimentand uma resistência, uma indutância e uma capacitância, bem cm a assciaçã série destes elements. nalisam-se entã s prcediments para a resluçã de circuits.. a partir da analgia cm s métds de resluçã de circuits.., vists anterirmente. Dá-se destaque para cálcul da queda de tensã e da ptência para s circuits mnfásics, em circuits crrentemente utilizads em instalações elétricas.. 3. GNDEZS TENDS SENOIDIS 3.. Definições Uma funçã senidal, Figura. 3., é dada pr: y YM sen( ωt + α) (3.) u π y YM sen ( πft + α ) YM sen t + α (3.) T

2 34 3. IUITOS DE OENTE TEND nde: Y M valr máxim da grandeza senidal, medid numa unidade qualquer; y T valr da grandeza senidal n instante t, medid na mesma unidade de que Y M ; períd da grandeza senidal, medid em segunds (s); f /T freqüência da grandeza senidal medida em Hertz (Hz); t α instante genéric em que se quer determinar a grandeza senidal expressa em segunds (s); fase inicial, u simplesmente, fase da grandeza senidal expressa em radians (rad) Figura 3. Funçã senidal O term πf, que representa númer de radians descrits na unidade de temp, é designad pr pulsaçã angular (rad/s) send, usualmente, representad pel símbl ω, ist é: π ω πf T

3 EETOTÉNI GE 35 funçã senidal é periódica e alternada n temp, pis em intervals de temp iguais crrespndem valres iguais da funçã e seu valr médi num períd, Y m, é nul, u seja: Dada uma segunda grandeza senidal: Y T ydt 0 T (3.3) 0 m y' Y' M sen ( ωt + β ) diz-se que entre as grandezas y e y há uma diferença de fase de independente d instante inicial cnsiderad. ψ α β rad, que é Fixa-se sentid anti-hrári cm psitiv na medida ds ânguls de fase. Deste md, quand ψ > 0, diz-se que a grandeza y está adiantada de ângul ψ sbre a y ; e vice-versa, quand ψ < 0, diz-se que a grandeza y está atrasada de ângul ψ em relaçã a y. Finalmente, quand ψ 0, diz-se que as duas grandezas estã em fase. 3.. epresentaçã Fasrial execuçã de perações algébricas cm as grandezas senidais é muit labrisa. embrand a definiçã de grandezas senidais, ver-se-á que é pssível representá-las pr mei de um vetr girante trnand as perações sbremd simplificadas. Ist é, uma grandeza senidal está perfeitamente definida pr um vetr O que tem módul igual a valr máxim da funçã, e que gira em trn de seu extrem O cm velcidade angular ω n sentid anti-hrári e sua psiçã n instante t 0 é tal a frmar, cm a reta que define a rigem ds temps, um ângul igual à fase inicial da grandeza cnsiderada, Figura. 3.. É clar que a prjeçã d extrem d vetr sbre uma reta perpendicular à rigem ds temps, descreverá a funçã senidal: y YM sen ( ωt + α ) Observa-se que vetr O está representand uma grandeza escalar; prtant, a fim de se evitar cnfusã designams pr vetr girante.

4 36 3. IUITOS DE OENTE TEND tt ω 0 ωt α t0 0 t T/ t α/ω Figura 3. - epresentaçã de uma grandeza senidal seguir será analisada a representaçã pr vetres girantes de duas grandezas senidais, y e y de mesma freqüência, f, ânguls iniciais, α e β, e móduls Y M e Y M. Essas duas grandezas serã representadas pr dis vetres girantes de móduls Y M e Y M, defasads de ângul ψ α - β. Observa-se que ambs giram cm mesma velcidade angular; prtant, sua psiçã relativa permanece imutável e a sma ds dis vetres girantes, que também é representada pr um vetr girante, é equivalente à sma de Y e Y. representaçã das grandezas senidais pr vetres girantes simplifica enrmemente prcediment de cálcul, prém, apresenta incnveniente de se incrrer em err quand se realizam tdas as perações graficamente, devid à imprecisã gráfica. ssim, através da representaçã simbólica u fasrial aplica-se as vetres girantes um prcediment de cálcul sbremd interessante que permite efetuar as perações analiticamente eliminand-se a necessidade de se recrrer smente a cnstruções gráficas. Da teria ds númers cmplexs, sabe-se que e Entã uma grandeza senidal y YM sen ( ωt + α ) j ω t sen ωt + jcs ωt. jωt pde ser btida pr y e[ Y M e ]. O vetr girante, da Figura. 3., pde ser representad pr: r jωt I Y (cs α + jsen α) ( t) M e (3.4) O term (cs α + jsen α ) representa vetr girante n instante t 0, e term Y M j t e ω exprime a rtaçã d vetr de um ângul ω t.

5 EETOTÉNI GE 37 Define-se fasr que representa a grandeza senidal y pr: Y & a + jb Y cs α + jy sen α Y α (3.5) em que Y Y representa valr eficaz da grandeza senidal. M Exempl 3. Dada a grandeza senidal i () t 00 sen (377 t + 0,536) e fasr que a representa., pede-se determinar vetr girante Inicialmente determina-se vetr que representa a grandeza n instante t 0, ist é, um vetr cuj módul vale 00 é cuj ângul inicial vale 0,536 rad 30. Suas cmpnentes valem: Entã vetr girante é dad pr: 00 cs 30 86,60 00 sen 30 50,00 r I + 377t ( t) (86,60 j50,00 ) e e fasr que representa esta grandeza é: I& cs30 + j sen Númers mplexs seguir serã lembradas algumas prpriedades ds númers cmplexs que serã úteis nas perações cm métd simbólic. Sejam dis númers cmplexs e, que pdem ser expresss na frma retangular pr: + a + jb e a jb u,ainda, pdem ser expresss na frma plar pr:

6 38 3. IUITOS DE OENTE TEND M F e M F embra-se que para passar da frma retangular para a plar empregam-se as relações: b M a + b e F tan u a M cs F e b M sen F b s perações básicas entre esses númers sã: - Sma u Subtraçã: na frma retangular, basta respectivamente smar u subtrair entre si as partes reais e as imaginárias, ist é: ( a + a ) + j( b + b ) a 3 + jb 3 ( a a ) + j( b b ) a 4 + jb 4 (3.6) - Multiplicaçã u Divisã: na frma plar, basta respectivamente multiplicar u dividir s móduls e smar u subtrair s arguments, ist é: É imprtante ressaltar que 3 4. M M M.M F + F M F F 3 M 4 F 3 F * M F é cmplex cnjugad de M F 4 (3.7) Exempl 3. Dads s númers cmplexs: 0 30 e 0 45 pede-se sua sma e sua diferença. Tem-se: (cs 30 + jsen 30) 8,660 + j5, ( cs 45 + jsen 45 ) 4,4 j4, 4 +,80 j9,4 4,566,85 5,48 + j9,4 9,9 05, 98 Exempl 3.3 Dads s númers cmplexs 3 + j 4 e -7 + j, pede-se seu prdut e seu quciente.

7 EETOTÉNI GE 39 Tem-se: 3 + 4j 7 + j 3,89 0,6. ' / 5 53,3 69,45 73,39 0,36 67,3 E na frma retangular, tem-se: ist é ' r i i r cs α 69,45 cs73,39 68,988 sen α 69,45 sen73,39 7,994 ' cs α' 0,36 cs 67,3 0,40 ' sen α' 0,36 cs 67,3 0,33 68,988 + j7,994 ' 0,40 j0, POTÊNI EM IUITOS OM EXITÇÃO SENOID Seja cas de ter-se um geradr.., cuja tensã em seus terminais varia cm lei senidal, alimentand carga que absrve crrente variável senidalmente e que esteja atrasada de ângul ϕ em relaçã à tensã. Ist é, sejam: v i I M M sen ( ωt + θ sen ( ωt + θ a tensã e a crrente ns terminais d geradr. ) ϕ) É clar que, em cada instante, a ptência frnecida pel geradr à carga, p, é dada pel prdut ds valres instantânes da tensã e da crrente, ist é: embrand que: p M M vi I sen ( ωt + θ ) sen ( ωt + θ ϕ ) (3.8) sen α sen β [ cs ( α β ) cs ( α + β )]

8 40 3. IUITOS DE OENTE TEND resulta u ainda, send [ cs ϕ cs ( ωt ϕ + θ )] MI M p (3.9) e I I, resulta: M M π I cs ϕ + I sen ( ωt ϕ + θ ) (3.0) p Da Equaçã. (3.0) verifica-se que a ptência instantânea é cmpsta pr duas parcelas: uma cnstante I cs ϕ que representa a ptência frnecida à carga e utra variável senidalmente cm freqüência dupla da tensã aplicada, que representa à energia que ra é frnecida pel geradr à carga e ra é devlvida da carga a geradr. Esta última parcela recebe a designaçã de ptência flutuante. O valr médi da ptência num cicl é dad pr: T P m pdt I cs ϕ (3.) T 0 e recebe nme de ptência ativa u mais simplesmente ptência. c-sen d ângul de rtaçã de fase, cs ϕ, dá-se nme de fatr de ptência. Observa-se que para fatr de ptência unitári ( ϕ 0 ), a ptência ativa será expressa pel prdut ds valres eficazes da tensã e crrente. Para fatr de ptência nul ( ϕ ± π ) a ptência ativa será nula. Definem-se ainda as grandezas ptência aparente, ptência reativa e ptência cmplexa, que sã apresentadas abaix. ptência aparente, S, é dada pel prdut ds valres eficazes da tensã e da crrente, ist é: send medida em lt mpère (). S. I (3.) ptência reativa, Q, é dada pel prdut ds valres eficazes da tensã e crrente pel sen d ângul de rtaçã de fase entre ambas, ist é: send medida em lt mpère reativ (r). Q.I. sen ϕ (3.3)

9 EETOTÉNI GE 4 nvencinu-se adtar cm psitiva a ptência reativa frnecida a uma carga na qual a crrente está atrasada em relaçã à tensã. Decrre que uma carga na qual a crrente está adiantada em relaçã à tensã ( ϕ negativ) a ptência reativa será negativa. Das expressões anterires, resulta: S P + Q ptência cmplexa, S, é expressa pr um númer cmplex cuja parte real é a ptência ativa e cuja parte imaginária é a ptência reativa, ist é: S P + jq I cs ϕ + ji sen ϕ I ϕ S ϕ (3.4) Observand-se que a tensã e a crrente cnsideradas sã expressas pels fasres: θ e I I θ bserva-se que a ptência cmplexa é dada pel prdut: em que * & & I I& é cmplex cnjugad da crrente, ist é: ϕ & &* I θ I θ + ϕ I ϕ (3.5) S 3.4 IUITOS EEMENTES OM EXITÇÃO SENOID 3.4. esistência Pura plicand-se a uma resistência cnstante,, uma tensã alternada senidal dada pr: v(t) M sen( ωt + α) pela lei de Ohm em cada instante ter-se-á: u seja: ( t) i( t) v

10 4 3. IUITOS DE OENTE TEND v(t) M i(t) sen( ωt + α) nclui-se que: a crrente que percrre a resistência está em fase cm a tensã de alimentaçã e seu valr máxim é dad pela relaçã entre valr máxim da tensã e da resistência. Na ntaçã simbólica tem-se, empregand valres eficazes, e supnd a tensã cm fase nula: & 0 resulta: & I & 0 Na Figura. 3.3 apresenta-se um circuit resistiv e crrespndente diagrama de fasres. I 0 ptência instantânea absrvida pela resistência é dada pr: p (t) i (t) ptência ativa u real é dada pr: I P I I v (t) i (t) v(t) / I a) ircuit b) Diagrama de fasres Figura ircuit resistiv e seu diagrama fasrial O fatr de ptência, cs ϕ, é unitári, a ptência reativa, Q é nula e a ptência aparente cincide cm a ativa. erifica-se, pis, que tdas as relações entre valres eficazes cincidem cm s valres que seriam btids alimentand-se a resistência cm tensã cntínua de valr. expressã da lei de Jule permite, prtant, que se interprete valr eficaz de uma crrente cm send:

11 EETOTÉNI GE 43 O valr eficaz de uma crrente alternada é igual a valr de uma crrente cntínua que atravessand a mesma resistência prduz igual quantidade de calr n mesm interval de temp. Salienta-se que esta cnclusã btida para grandezas senidais é válida para grandezas alternativas quaisquer. Exempl 3.4 plica-se a uma resistência de 0Ω tensã senidal de valr eficaz 00 e freqüência de 60 Hz. Pede-se: a) O valr eficaz da intensidade de crrente na resistência. b) ptência dissipada na resistência. c) O valr instantâne da crrente e da tensã. dtand-se tensã cm fase inicial nula resulta: dnde: 0 ptência dissipada na resistência vale + 0j 00 O valr instantâne da crrente é dad pr: 0 & & 00 I 5 + 0j 50 I & I 5 P I W j em que: lg: I I i I M sen ωt ω π f π M M 00 4,4 5 7,07 rad / seg i 7,07 sen 377t e v 4,4 sen 377t

12 44 3. IUITOS DE OENTE TEND 3.4. Indutância Pura plicand-se uma tensã senidal de freqüência f e de valr eficaz a uma bbina de indutância e resistência ôhmica nula ter-se-á a circulaçã, pela indutância, de uma crrente de valr instantâne i (t) que irá criar uma f.e.m. dada pr: di(t) e (t) dt I 90 I / ω a) ircuit b) Diagrama de fasres Figura ircuit indutiv cm excitaçã senidal Pr utr lad, deverá ser: ist é: Send: resulta, imediatamente: v (t ) + e(t) 0 di(t) v (t) e(t). dt v(t) M sen ωt, M i(t) sen ( ωt π / ) (3.6) ω Esta equaçã mstra que a crrente numa indutância está atrasada de π/ radians (u 90 ) em relaçã à tensã aplicada e seu valr máxim é btid dividind-se valr máxim da tensã pr ω que é designad pr reatância indutiva, send representada pr X e tem a dimensã de uma resistência. N métd simbólic, leva-se em cnta a rtaçã de fase da crrente representand-se a indutância pr uma impedância que é dada pr um númer cmplex n qual a parte imaginária é a reatância da bbina. Ist é: send: & I & jx & j X

13 EETOTÉNI GE 45 resulta: & 0 & I π / X (3.7) ssim, numa indutância, a tensã e a crrente estã em quadratura e fatr de ptência crrespndente é dad pr: cs ϕ cs π / 0 ptência ativa é nula e a reativa que cincide cm a aparente, é psitiva e vale: Q I X I S X Nta-se que a indutância, quand ligada a uma fnte de crrente alternada, é percrrida pr uma crrente sem que haja uma dissipaçã de energia. Exempl 3.5 Uma indutância de 0,08 H é alimentada cm tensã senidal de valr eficaz 40 e 60 Hz. Pede-se: a) intensidade de crrente na indutância. b) ptência ativa, aparente e reativa frnecidas à indutância. c) O valr instantâne da crrente e tensã. Sluçã: a) Determinaçã da crrente Tem-se: & 40 + j0 e X π f 30, 6 Ω lg: & I I & jx j j30,6 & I 7,96 j π / b) Determinaçã da ptência Tem-se:

14 46 3. IUITOS DE OENTE TEND P I cs ϕ 40 7, W S I 40 7,96 90,4 Q I sen ϕ 40 7,96 90,4 r c) alres instantânes Tem-se: I M M I ,4 7,96,6 lg: v 339,4 sen 337t π i,6 sen 337t apacitância Pura Um capacitr, de capacidade, alimentad pr uma tensã senidal, de valr eficaz e freqüência f, terá, em regime, carga q, dada pr: q(t) v(t) M sen ωt Prtant, será percrrid pr crrente (pr induçã eletrstática) dada pr: dq(t) dv(t) i(t) ω M sen ( ωt + π / ) (3.8) dt dt i(t) I ω ϕ 90 v(t) a) ircuit b) Diagrama de fasres Figura ircuit capacitiv cm excitaçã senidal erifica-se que a crrente num capacitr está adiantada de π/ radians em relaçã à tensã e seu valr eficaz é btid multiplicand-se valr crrespndente da tensã pr ω. nalgamente, a quant feit cm uma indutância, term:

15 EETOTÉNI GE 47 X ω é chamad de reatância d capacitr u de reatância capacitiva. unidade da reatância capacitiva também é Ohm. Na ntaçã simbólica, a impedância de um capacitr será representada pr um númer cmplex n qual a parte real será nula e a parte imaginária será j X. Ist é: send: resulta: & & I jx & I j & X & 0 X π / ssim, fatr de ptência de um capacitr é dad pr: π cs ϕ cs 0 ptência ativa absrvida é nula enquant que a aparente e a reativa cincidem em módul e valem: S I π Q I sen I I ω ω Exempl 3.6 Determinar a intensidade de crrente num circuit frmad pr um capacitr de 0µF ligad a uma fnte de 0 e 60 Hz. X 65,6 Ω πf 6 π & 0 0 I & j j0,45 Z jx 65,6

16 48 3. IUITOS DE OENTE TEND ircuit cm Elements em Série Dad circuit da Figura. 3.6, cnstituíd pela assciaçã em série de uma indutância, uma capacidade e uma resistência, alimentad pr uma tensã senidal de valr eficaz e freqüência f deseja-se calcular a crrente e as quedas de tensã ns três elements. i v v v v I j ϖ c jωi ϕ I Figura ssciaçã série I Estand s três elements em série, a crrente que circula, evidentemente, será a mesma para s três, prtant, pde-se adtar: & I I 0 I (+ 0j) queda de tensã em cada um ds elements será dada pr: & & & & I & I jx & I ( jx I 0 IX ) IX π / π / É clar que, em cada instante, a tensã aplicada deverá igualar a sma das quedas de tensã. Prtant, essa relaçã também deve valer para s fasres crrespndentes:

17 EETOTÉNI GE 49 & & + & + & & I [ + j(x X ) ] Define-se peradr impedância a númer cmplex que, multiplicad pel fasr da crrente n ram d circuit, frnece fasr da tensã aplicada a mesm. impedância d circuit, Z, ra analisad, é: & Z + j(x & I X ) (3.9) Em particular, para s elements individuais, ist é, uma resistência, uma indutância e uma capacidade, a impedância é dada pr: Z Z Z + 0j 0 + jx 0 jx 0 X X π / π / Passand-se a impedância Z para a frma trignmétrica (módul Z e fase θ), ter-se-á: & 0 Z Z(cs θ + jsen θ) Z θ I ϕ & I I ϕ (3.0) Observa-se que ângul de defasagem entre a tensã e a crrente, ϕ, cincide cm argument da impedância, e fatr de ptência pde ser avaliad pr: cs ϕ cs θ (3.) + (X X ) Z Para a cnstruçã d diagrama de fasres, Figura.3.6, supõe-se cnhecida a intensidade de crrente; prtant, a queda de tensã na resistência será representada pr um fasr em fase cm a crrente e de módul igual a I. Na indutância, será pr um fasr em quadratura e adiantad sbre a crrente e de módul IX πfi. Finalmente, n capacitr, a queda de tensã será dada pr um fasr em quadratura e atrasad sbre a crrente e de módul IX I (πf ). tensã aplicada será btida smand-se vetrialmente s três fasres. m & e & estã em psiçã de fase, sua sma equivalerá à sma algébrica de seus móduls, ist é: & & & I ( X X ) j

18 50 3. IUITOS DE OENTE TEND Para a determinaçã gráfica de tdas as incógnitas, bserva-se que s fasres &, & e (& - & ) frmam um triângul retângul, cuja hiptenusa é representada pel fasr &. Quant à ptência ativa, tem-se: P I cs ϕ ( IZ) I I Z ji( X X ) I I Figura Diagrama de fasres para circuit -- série Exempl 3.7 eslver circuit da Figura. 3.8, send dads: 0 (eficaz), f 60 Hz, 4 Ω, 8 Ω, 3,6 mh e 94,7 µ F B D E X X, f Figura ircuit para exempl 3.7 a) álcul da impedância Send Z Z + Z + Z + Z, resulta: B B D DE

19 EETOTÉNI GE 5 Z B Z B Z DE 4 + 0j Ω π 60 0,036 5 j Ω j π 94,7 0 Z j4 Ω 9 j Ω Z D 8 + 0j Ω b) álcul da crrente dtand-se & 0 + 0j, resulta: & 0 0 I & Z j4,65 8,43 7,39 8,43 6,5 + j5,5 c) álcul das tensões & Z & & & B B D DE Z Z Z B B D DE & I 4 (6,5 + j5,5 ) 66 + j & I 5j(6,5 + j5,5 ) 7,5 + 8,5j & I 8 (6,5 + j5,5 ) 3 + j44 69,57 8,43 86,96 08,43 39,4 8,43 & I 9j.(6,5 + j5,5) 49,5 48,5 j 56,53 7,56 erificaçã: & E & B + & B + & D + & DE 0 + j0

20 5 3. IUITOS DE OENTE TEND