Sistemas de coordenadas tridimensionais. Translação e rotação de sistemas. Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal. Translação e rotação de sistemas

Transcrição

1 Sistemas de crdenadas tridimensinais Prf. Dr. Carls Auréli Nadal

2 X Translaçã de um sistema de crdenadas Y

3 X Translaçã de um sistema de crdenadas X Y Y

4 X Translaçã de um sistema de crdenadas X Y Y

5 X Translaçã de um sistema de crdenadas X Y ΔX ΔY Y

6 Rtaçã de um sistema de crdenadas X Y

7 Rtaçã de um sistema de crdenadas

8 Rtaçã de um sistema de crdenadas X θ Y

9 Reflexã de um sistema de crdenadas X Y

10 Reflexã de um sistema de crdenadas X Y

11 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS ESCALAÇÃO, OU TRANSFORMAÇÃO DE ESCALA: é btida pela multiplicaçã de tdas as crdenadas que definem a entidade, pr fatres de escala nã nuls. - fatr de escala hrizntal: E x - fatr de escala vertical: E y Escalaçã de um pnt P 1 ( x, y ), para P 1 ( x', y' ), E x x' = E x * x E y y' = E y * y E > 1 Um fatr de escala E mair que 1 prvca uma ampliaçã da entidade na direçã d eix afetad pel fatr. 0 < E < 1 Um fatr de escala E entre zer e 1 prvca uma reduçã da entidade. E < 0 Um fatr de escala E menr que zer, u negativ, prvca um espelhament da entidade em relaçã a eix nã afetad pel fatr.

12 y 10 Transfrmaçã de escala E x = 2 E y = x

13 TRANSLAÇÃO: Em terms visuais, a translaçã de uma entidade prduz um efeit de mudança de psiçã de uma entidade gráfica, em relaçã a seu sistema de crdenadas. Em terms matemátics a translaçã de uma entidade gráfica é a peraçã de adiçã de cnstantes de translaçã (psitivas e/u negativas) às crdenadas ds elements frmadres da entidade. Translaçã de um pnt P 1 ( x, y ), para P 1 ( x', y' ), cm cnstantes de translaçã T x e T y : x' = x + T x y' = y + T y

14 y 11 Translaçã T x = 6 T y = x

15 ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO (CENTRO DE ROTAÇÃO): Em terms visuais, a rtaçã de uma entidade prduz um efeit de mudança de psiçã desta entidade gráfica, de md que tds s pnts mantenham a mesma distância d centr de rtaçã. O únic parâmetr de transfrmaçã para a rtaçã é ângul a (cnvençã psitiva: sentid anti-hrári). Rtaçã de um pnt P 1 ( x, y ), para P 1 ( x', y' ), de um ângul a em trn da rigem, tems: x' = x * cs a - y * sen a y' = y * cs a + x * sen a

16 y Rtaçã a= c=centr de rtaçã 3 a c 6 16 x

17 TRANSFORMAÇÃO LINEAR A equaçã matricial Y = A X A = MATRIZ TRANSFORMAÇÃO X e Y vetres Interpretações da equaçã: 1)X e Y = diferentes vetres referids a mesm sistema de crdenadas; transfrmaçã descreve crdenadas de Y em terms das crdenadas de X. Operaçã: transfrmar X em Y.

18 A equaçã matricial Y = A X 2) X e Y sã mesm vetr, cm seus elements referids a diferentes sistemas de crdenadas; A matriz A descreve a relaçã entre s sistemas de crdenadas. Operaçã: transfrmar sistema de crdenadas a que X se refere sistema que se refere a Y

19 TRANSFORMAÇÃO LINEAR PROJETIVA Matriz A = quadrada e nã singular A 0 Existe a transfrmaçã inversa: X = A -1 Y

20 TRANSFORMAÇÃO ORTOGONAL -Nã há variaçã n cmpriment d vetr durante a transfrmaçã. Quadrad d cmpriment d vetr: X = x 1 x 2 X T X = x 1 x 2 x 1 = x 1² + x ² 2 x 2

21 Cm cmpriment d vetr é invariável: X T X = Y T Y e Y = A X entã, Y T Y =(A X) T A X = X T (A T A) X = X T X TRANSFORMAÇÃO ORTOGONAL REFLEXÃO: matriz rtgnal própria A = +1 ROTAÇÃO: matriz rtgnal imprópria A = -1

22 REFLEXÃO NO PLANO (DUAS DIMENSÕES) A = )SISTEMA DE COORDENADAS É O MESMO y 1 = x 1 y 2 = -x 2 v x 1 r a x 2 r y 2 u y 1 b

23 2) Muda sistema de crdenadas e vetr permanece inalterad v x 1 a y 1 a r x 2 r y 2 u u Sistema de crdenadas riginal v Sistema de crdenadas transfrmad

24 v ROTAÇÃO NO PLANO (DUAS DIMENSÕES) Primeira interpretaçã y 1 r x 1 a y 2 b x 1 = r cs x 2 = r sen y 1 = r cs ( + ) y 2 = r sen ( + ) r x 2 u

25 u, y 1 = r cs cs - r sen sen y 2 = r cs sen + r sen cs u, y 1 cs -sen x 1 = y 2 sen cs x 2 Y = R X R é rtgnal R R T = I R -1 = R T R -1 ( )= R T ( )= R(- )

26 ROTAÇÃO NO PLANO (DUAS DIMENSÕES) Primeira interpretaçã v v y 1 x 1 x 2 y 2 u Sistema de crdenadas riginal u Sistema btid após a Rtaçã

27 Rtaçã entre sistemas - girar um sistema em relaçã a utr através d ângul de rtaçã de a. y y a x p P a y p x x p = x p. cs a + y p. sen a y p = - x p. sen a + y p. cs a Rtaçã psitiva n sentid anti-hrári

28 Rtaçã e translaçã entre s sistemas y x p y a x p p y p x x y a y p x Transfrmaçã afim n plan x p = x p. cs a + y p. sen a + x y p = - x p. sen a + y p. cs a + y

29 Exercíci: As crdenadas de um vértice de plignal tpgráfica fram btidas utilizand um azimute magnétic para lad que cntem vértice, btend-se: x p = 10,003m e y p = 2,005m. A se calcular a declinaçã magnética d lcal bteve-se =-17 W. Calcular as crdenadas deste vértice usand-se azimute verdadeir da direçã cnsiderada. Sluçã: A declinaçã magnética cmprta-se cm se fra uma rtaçã d sistema de crdenadas tpgráficas assciada a nrte magnétic para se chegar a um sistema assciad a nrte verdadeir cm mstrad abaix: Nrte magnétic y y Nrte verdadeir x p P x p = x p. cs + y p. sen y p = - x p. sen + y p. cs y p x x p = 10,003 cs (-17 )+2,005 sen (-17 ) x p =8,980m y p = -10,003 sen (-17 )+2,005 cs (-17 ) y p = 4,842m

30 Z Translaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Y X

31 Z Translaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z Y Y X X

32 Z Translaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z Y Y X X

33 Z Translaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z ΔZ Y ΔX ΔY Y X X

34 Rtaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z Y X

35 Rtaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas

36 Rtaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z Y X

37 Rtaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas em trn d eix X Z Y X

38 Rtaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas em trn d eix X Z X Y

39 Rtaçã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas em trn d eix X Z Z Y X Y

40 Reflexã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z Y X

41 Reflexã de um sistema cartesian tridimensinal de crdenadas Z=Z Y Y X=X

42 Translaçã entre sistemas de crdenadas cartesianas rtgnais tridimensinais As crdenadas da rigem n sistema xyz sã: x, y, z. z z P y z x y p z p x p z p x p y y x x y p x p = x p + x y p = y p + y z p = z p + z

43 Exercíci: As crdenadas cartesianas rtgnais tridimensinais de um pnt btidas d rastrei cm sistema GPS, n sistema gedésic WGS84 resultu em: X = ,238m Y = ,894m Z = ,809m As nrmas técnicas d IBGE (PR-22) frnece s parâmetrs de translaçã d sistema WGS-84 para Sistema Gedésic Brasileir (SAD-69): x = +66,87m y = - 4,37m z = 38,52m Calcular as crdenadas cartesianas rtgnais tridimensinais gedésicas d pnt n sistema SAD-69. Sluçã: X = X + x X = , ,87 Y = Y + y Y = ,894 4,37 Z = Z + z Z = , ,52 X = ,108 Y = ,264 Z = ,289

44 Parâmetrs de translaçã x = +66,87m y = - 4,37m z = 38,52m z z WGS-84 SAD-69 y z x y y x x Distância = 77,295m

45 . MATRIZES DE ROTAÇÃO E REFLEXÃO Tmand-se dis sistemas tridimensinais de crdenadas cartesiana rtgnais cm mesma rigem prém nã cincidentes. Sejam x p, y p, z p crdenadas cartesianas d pnt P n sistema XYZ e x p, y p, z p n sistema X Y Z. O prblema cnsiste em: dadas as crdenadas de um pnt n primeir sistema, deseja-se as crdenadas deste mesm pnt n segund sistema de crdenadas. Da Gemetria Analítica tem-se que [Hatschbach, 1975]: x p = x p l 11 + y p l 12 + z p l 13 y p = x p l 21 + y p l 22 + z p l 23 z p = x p l 31 + y p l 32 + z p l 33 Z Z P X nde, l ji é c-sen diretr d ângul frmad entre eix respectiv d sistema X Y Z cm eix d sistema XYZ, pr exempl que eix x i frma cm eix x i. x p x p z p y p z p y p X Y Y

46 Sb a frma matricial tem-se que: x p l 11 l 12 l 13 x p y p = l 21 l 22 l 23 y p z p l 31 l 32 l 33 z p u, de frma simplificada: Y = L X Pde ser prvad que ds nve c-sens diretres smente três sã linearmente independentes, prtant, cnhecids s três ânguls frmads entre s respectivs pares de eixs ds dis sistemas, s quais sã denminads de ânguls de Euler, é pssível a transfrmaçã de crdenadas de um sistema para utr.

47 Seja, na figura, dis terns cincidentes na rigem e seus eixs X e X cincidentes e s utrs eixs frmand ângul entre si: Neste cas a matriz L assumirá a seguinte frma: Z Z L = 0 cs sen = R 1 ( ) 0 -sen cs Y Y X = X

48 Similarmente, bter-se-ia a matriz L para uma rtaçã em trn d eix y: cs 0 -sen L = = R 2 ( ) sen 0 cs e, em trn d eix z: cs sen 0 L = -sen cs 0 = R 3 ( ) As matrizes R 1 ( ), R 2 ( ) e R 3 ( ) sã cnhecidas cm matrizes de rtaçã. A cnvençã adtada neste trabalh para valr psitiv d ângul de rtaçã, é a de que s sistemas devam ser dextrógirs e ângul crrespndente à rtaçã deve ser medid n sentid anti-hrári.

49 Tme-se agra, dis sistemas cincidentes na rigem, cm s eixs y e z cincidentes, e cm s eixs X e X cm sentids psts Z=Z Neste cas a matriz ds c-sens diretres assumirá a seguinte frma, denminada de reflexã d eix ds x. X Y =Y L = = R Para eix ds y cm rientaçã cntrária tem-se: X As matrizes R1, R2 e R3 sã cnhecidas cm matrizes de reflexã e permitem a transfrmaçã de sistemas dextrógirs em levógirs e vice-versa L = = R e, para eix ds z da mesma frma que s anterires tem-se: L = = R

50 z Prf. DR. Carls Auréli Nadal - Sistemas de Referência e Temp em Gedésia Aula 05 Exercíci prátic z P X =X+ X x p Translaçã de eixs z p X = y p z p y x p x p z y p x z p y p y x p X = y p zp x x y x X = y z

51 As crdenadas gedésicas de um pnt situad n Salt Santa Rsa em Santa Catarina sã frnecidas e iguais a: = ,1818 S = ,5537 W h = 855,439m, send datum utilizad SAD-69. Inicialmente calculam-se as crdenadas cartesianas rtgnais tridimensinais n sistema SAD-69 btend-se: X = (N + h) cs cs X = ,533 m Y = (N + h) cs sen Y= ,065m Z = [N (1 e 2 ) + h) sen Z = ,220 m N a 1 e 2 sen 2 1/ 2 f a a b e 2 2 f f 2

52 O IBGE frnece s parametrs de translaçã para sistema SIRGAS-2000(WGS-84) SAD 69 para SIRGAS2000 SIRGAS2000 para SAD 69 a1 = m a1 = m f1 = 1/298,25 f1 = 1/298, a2 = m a2 = m f2 = 1/298, f2 = 1/298,25. X = - 67,35 m.x = + 67,35 m. Y = + 3,88 m. Y = - 3,88 m. Z = - 38,22 m. Z = + 38,22 m

53 X =X+ X N sftware FreeMat v 3.5, digitam-se as matrizes e efetuam-se s cálculs: hp/main_page frmat lng (apresentar tdas as casas decimais) x=[ ; ; ] d =[-67.35;3.88;-38.22] y=x+d y= usar pnt separar ;

54 frmat shrt frmat lng clc apaga a tela clear limpa as variaveis

55 Guardand dads em um arquiv text para execuçã n Sftware FreeMat v3.5 Salvar cm; salvar cm tip: td s arquivs; nme d arquiv - transl.m esclher a área a salvar disc lcal c:\ N FreeMat v3.5 digitar cd c:\ dir transl

56 Os dads estã carregads, digitads num editr de text x=[ ; ; ] d=[-67.35;3.88;-38.22] y=x+d

57 Translaçã e Rtaçã de eixs z z P x z z p x p x y p y y y

58 As crdenadas de um pnt n sistema OXYZ sã cnhecidas: X = m ; Y = m; Z = m O sistema de crdenadas é dextrógira e deve ser rtacinad de = n sentid hrári em trn d eix Z. Determinar as nvas crdenadas X =

59 Matriz rtaçã d tip 3 (eix ds z) cs sen 0 R 3 ( ) = -sen cs A cnvençã adtada neste trabalh para valr psitiv d ângul de rtaçã, é a de que s sistemas devam ser dextrógirs e ângul crrespndente à rtaçã deve ser medid n sentid anti-hrári. =

60 N blc de ntas: Arquiv rta.m x=[ ; ; ] te= -(17+55/ /3600)*pi/180 cv =cs(te) sv =sin(te) r3=[ cv sv 0;-sv cv 0;0 0 1] y=r3*x radians Se quiser clcar em qualquer área d disc rígid, utilizar A funçã para setar prgrama cd d:\sistemas

61 N FreeMat v 3.5: X = 746,961m Y =1772,748m Z = 855,326m

62 Exercíci Utilizand-se uma estaçã ttal, na qual imagina-se um sistema de crdenadas cartesianas rtgnais tridimensinal cm rigem cincidente cm seu centr óptic, cm eix y situad n plan hrizntal cm sentid psitiv para pnt cardeal nrte verdadeir, cm eix x cm sentid psitiv para pnt cardeal leste e eix z na vertical cm sentid psitiv para zênite. Visu-se três alvs tpgráfics situads em uma parede Vertical btend-se as seguintes medidas: Pnt visad (alvs) Azimute (A) Distância zenital (z) Distância inclinada (di) A ,114m A ,706m A ,337m Calcular as crdenadas ds alvs neste sistema?

63 Sluçã: Cm sistema é dextrógir, as crdenadas ds alvs serã calculadas pelas expressões: Resulta em: x = di sen z sen A y = di sen z cs A z = di cs z Pnt visad x (m) y (m) z (m) A1 1, , , A2 3, , , A3 6, , ,31175

64 Um prgrama n sftware FreeMat v 3.5 Pde usar na saída d prgrama [ vetr das crdenadas ] x Prf. DR. Carls Auréli Nadal - Sistemas de Referência e Temp em Gedésia Aula 05 clear;clc % calcul de crdenadas de estações ttais % entrada de dads iniciais % nu=numer ttal de pnts a serem calculads nu=3; % matriz ds azimutes ds alvs a=[ ; ; ]; fr i=1:nu b(i)=(a(i,1)+a(i,2)/60+a(i,3)/3600)*pi/180; end % matriz distancia zenital ds alvs v=[ ; ; ]; fr i=1:nu c(i)=(v(i,1)+v(i,2)/60+v(i,3)/3600)*pi/180; end % vetr distâncias inclinadas d=[7.114;9.706;10.337]; % cálcul de crdenadas fr i=1:nu x(1,i)=d(i)*sin(c(i))*sin(b(i)); x(2,i)=d(i)*sin(c(i))*cs(b(i)); x(3,i)=d(i)*cs(c(i)); end x

65 N sftware excel, u utra planilha tem-se:

66 Supr agra um sistema de crdenadas cartesianas rtgnais vinculad à parede vertical btid pela rtaçã n sentid anti-hrári d sistema anterir de 90 em trn d eix x, clcand-se a rigem d nv sistema n alv A1, prtant,.efetuand-se também uma translaçã da rigem, d centr óptic da estaçã ttal para este alv. Calcular as crdenadas ds alvs A1, A2 e A3 neste nv sistema? Sluçã: Cm sistema é dextrógir e a rtaçã n sentid anti-hrári em trn d eix x, acrescend-se a translaçã, pde-se escrever matricialmente s mviments pela expressã: u, u, X = R1 (90 ) X + X x x x y = 0 cs(90 ) sen (90 ) y + y z 0 -sen (90 ) cs (90 ) z z x x x y = y + y z z z

67 Efetuand-se s prduts matriciais, chega-se a: x = x + x y = z + y z = -y + z Obs.: para quem nã lembra de prdut matricial, multiplica-se a primeira linha da matriz 3X3 pel vetr 3x1, depis a segunda linha pel vetr e após a terceira linha pel vetr. As crdenadas ds alvs n nv sistema send: x= 1, y= 7, z= 0, (crdenadas d alv A1 n antig sistema) resultarã em:

68 Alv A1 (será a rigem d nv sistema): Alv A2 Alv A3 x = 0,000m y=0,000m z=0,000m x = 3, , x = 4,541m y = 5, , y = 12,861m z = - 7, , z = -6,773m x = 6, , x = 7,512m y = 4, , y = 11,312m z = - 6, , z = -6,773m