ISCTE. SOCIOLOGIA E SOCIOLOGIA E PLANEAMENTO Ano Lectivo 2003/2004 (2º Semestre) ESTATÍSTICA II. (Interpretação de Outputs de SPSS)

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1 ISCTE SOCIOLOGIA E SOCIOLOGIA E PLANEAMENTO An Lectiv 2003/2004 (2º Semestre) ESTATÍSTICA II (Interpretaçã de Outputs de SPSS) Interval de Cnfiança para a Média Ppulacinal Ensai de Hipóteses para a Média Ppulacinal 1

2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO VIA SPSS Para bter um interval de cnfiança para a média da ppulaçã cm desvi-padrã descnhecid existem duas pções n SPSS: Opçã A: Analyze Descriptive Statistics Explre Esta pçã pde usar-se nas seguintes situações: 1. Dispõe-se de uma pequena amstra (n 30) e a variável em estud segue uma distribuiçã nrmal; 2. Dispõe-se de uma grande amstra (n>30) e a variável em estud segue uma distribuiçã nrmal u qualquer. Prblema em análise: De uma amstra de 152 aluns inscrits na cadeira de Estatística II ds curss de d ISCTE em 2003/04, bteve-se a média e desvi-padrã da nta esperada n final d semestre, respectivamente, iguais, a 11,69 valres e 2,232 valres: Descriptive Statistics Que nta espera vir a ter em Estatística II? N Std. Deviatin ,69 2,232 Sabend que n ISCTE, as ntas esperadas nas cadeiras seguem uma distribuiçã nrmal, pretende-se saber qual interval de cnfiança a 95% para verdadeir valr da média da nta esperada na cadeira, da ppulaçã (a ttalidade de aluns inscrits na cadeira) 1 1 In Carls Lurenç (2004), Estimaçã, Interval de Cnfiança para a Média, Texts de api das aulas, p.9. 2

3 Analyze Descriptive Statistics Explre Variável a analisar Para efeit basta slicitar as estatísticas clicar em se se pretender alterar nível de cnfiança, que pr defeit é de 95% Faz-se e E btém-se seguinte utput: 3

4 Case Prcessing Summary Que nta espera vir a ter em Estatística II? Cases Valid Missing Ttal N Percent N Percent N Percent ,7% 12 7,3% ,0% Descriptives Que nta espera vir a ter em Estatística II? 95% Cnfidence Interval fr 5% Trimmed Median Variance Std. Deviatin Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtsis Lwer Bund Upper Bund Statistic Std. Errr 11,69,181 11,34 12,05 11,56 11,50 4,981 2, ,00,382,197 3,612,391 Sã s limites d interval de cnfiança a 95% Interpretaçã: 4

5 Opçã B: Analyze Cmpare s One-Sample T Test Esta segunda pçã para bter via SPSS um interval de cnfiança para a média da ppulaçã está assciada a menu que permite realizar um ensai de hipóteses para a média da ppulaçã. Assim vai exemplificar-se, em simultâne: - interval de cnfiança para a média da ppulaçã - e teste para a média da ppulaçã. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µ E ENSAIO DE HIPÓTESES PARA µ Apesar d prblema em análise utilizar uma grande amstra (uma amstra de 152 aluns d 2º an ds curss de Scilgia e de Scilgia e Planeament) e uma variável (nta a bter em Estatística II) que segue distribuiçã nrmal, menu Cmpare s One-Sample T Test Pde ser usad, e à semelhança d que fi dit anterirmente, quand: 1. se dispõe de uma pequena amstra (n 30) e a variável em estud segue uma distribuiçã nrmal; 2. se dispõe de uma grande amstra (n>30) e a variável em estud segue uma distribuiçã nrmal u qualquer. Prblema em análise: Em certa aula de Estatística II, s aluns reslvem fazer previsões sbre a média das ntas dessa disciplina. Os aluns nã estã prpriamente de acrd, apesar de estarem tds ptimistas. Um grup de aluns recrda a média btida em Estatística I: 8,85 valres Descriptive Statistics Que nta bteve em Estatística I? N Std. Deviatin 114 8,85 3,806 e afirma (cm muita cnvicçã) que a média de Estatística II vai ser psitiva e de 13 valres. 5

6 Admita-se entã que se vai ensaiar a hipótese da nta média na cadeira de Estatística II ser de 13 valres, em alternativa vai cnsiderar-se que nã existe nenhuma nta privilegiada. Assim ter-se-á: H : µ = 13 H a : µ 13 que implica um teste bilateral. Para efectuar teste à média da ppulaçã e interval de cnfiança para a média da ppulaçã, n SPSS, prcede-se da seguinte frma: Analyze Cmpare s One-Sample T Test Variável cuja média vai ser testada Valr a ser testad (hipótese nula) clicar em se se pretender alterar nível de cnfiança, que pr defeit é de 95% Faz-se e e btém-se seguinte utput: 6

7 T-Test One-Sample Statistics Que nta espera vir a ter em Estatística II? N Std. Deviatin Std. Errr ,69 2,232,181 Média da amstra Desvi-padrã (crrigid) da amstra Err padrã da média crrespnde a desvi-padrã dividid pela n (n=nº de cass) 2,232 = 0, One-Sample Test Valr de µ em teste Que nta espera vir a ter em Estatística II? t df Sig. (2-tailed) Test Value = 13 95% Cnfidence Interval f the Difference Difference Lwer Upper -7, ,000-1,31-1,66 -,95 n-1 graus de liberdade df = n Diferença entre a média amstral e a média teórica em teste Valr da estatística de teste: t = 11, , = 1,31 = 7,218 0,181 Significância (u prbabilidade) assciada a valr da estatística de teste. Valr a partir d qual se tma a decisã sbre rejeitar u nã rejeitar H 0, em funçã d α pré-definid Interpretaçã: 7

8 Veja-se agra s resultads relativs a interval de cnfiança One-Sample Test Que nta espera vir a ter em Estatística II? t df Sig. (2-tailed) Test Value = 13 95% Cnfidence Interval f the Difference Difference Lwer Upper -7, ,000-1,31-1,66 -,95 O SPSS calcula interval de cnfiança para a diferença entre a descnhecida média ppulacinal e valr apresentad para teste. Assim ter-se-á um interval de cnfiança para a diferença: µ µ Os limites desse interval btém-se da seguinte frma: 2,323 2,323 [ ] = ( 11,69 13) t ; ( 11,69 13) + t I 0,95 µ µ 0,025 0, [ I ] = ] 1,31 1,96 0,181 ; 1,31+ 1,96 0,181[ 0,95 µ µ [ I 0,95] µ µ = ] 1,31 0,35 ; 1,31+ 0,35 [ e finalmente [ I 0,95] µ µ = ] 1,66; 0,95 [ 152 Cm bter entã interval de cnfiança para a média das ntas de Estatística II da ppulaçã (s aluns d 2º an ds curss de Scilgia e de Scilgia e Planeament), a partir ds dads dispnibilizads pel SPSS neste interval de cnfiança para a diferença? Cm SPSS calcula interval de cnfiança para a diferença µ µ 0, subtraind à média da amstra (11,69) valr de µ, neste cas µ = 13 2,323 2,323 [ ] = ( 11,69 13) t ; ( 11,69 13) + t I 025 0,95 µ µ 0,025 0, entã basta vltar a smar (as limites d interval calculad pel SPSS) valr subtraíd ( µ =13 ) e terse-á entã: 2 Apesar de estar em estud uma grande amstra s valres crítics estã designads pr t 0,025 e pr t 0,025 prque SPSS usa sempre a distribuiçã t de Student, a qual, cm é sabid, é aprximadamente igual à nrmal em grandes amstras. 8

9 [ I ] µ = ] 1, ; 0,95 13 [ btend-se [ I ] µ ] 11,34; 12,05 [ 0,95 + 0,95 = Cm pde verificar-se, btém-se exactamente s mesms limites que estã n utput da pág.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µ E ENSAIO DE HIPÓTESES PARA µ PEQUENA AMOSTRA E ASSUMINDO QUE A VARIÁVEL SEGUE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Prblema em análise 3 : Pretende-se saber qual interval de cnfiança a 95% para verdadeir valr da média da nta esperada na cadeira, da ppulaçã (a ttalidade de aluns inscrits na turma SA1...). Um grup de aluns da turma SA1 manifesta uma enrme cnvicçã em melhrar a nta média na cadeira d 2º semestre. Defendem que a sua turma vai bter uma nta média de 12 valres. Nã bstante, as piniões dividem-se, pis há quem afirme mesm que vai ser mair que 12 valres. Vai entã fazer-se um ensai de hipóteses cm as seguintes hipóteses: H : µ = 12 H a : µ > 12 Execuçã n SPSS: Cm neste cas vai ser analisada smente a amstra de aluns da turma SA1, pde ptar-se pr seleccinar apenas essa turma. Para efeit seguem-se estas etapas: 3 À semelhança da aplicaçã anterir vai retmar-se exempl desenvlvid ns texts de api às aulas, p. cit., págs

10 Data Select cases 1ºpass 2º pass 1: códig da turma SA1 Faz-se e e ficam apenas seleccinads s aluns que integram a amstra (n=25) da turma SA1. Para efectuar teste à média da ppulaçã e interval de cnfiança para a média da ppulaçã prcede-se tal cm n exempl anterir: 10

11 Analyze Cmpare s One-Sample T Test H : µ = 12 One-Sample Statistics Que nta espera vir a ter em Estatística II? N Std. Deviatin Std. Errr 25 12,24 2,350,470 Interpretaçã: 11

12 Valr em teste One-Sample Test Que nta espera vir a ter em Estatística II? t df Sig. (2-tailed) Test Value = 12 95% Cnfidence Interval f the Difference Difference Lwer Upper,511 24,614,24 -,73 1,21 12, ,24 t = = = 0,511 2,350 0,47 25 X µ = 12,24 12 Interpretaçã: Quant a interval de cnfiança para µ vai ter de se calcular s seus limites fazend a mesma peraçã exemplificada na aplicaçã anterir. A partir deste interval para a diferença [ I ] = ] 0,73 ; 1,21 [ 0,95 µ µ (valr em teste) as limites btids, cm se exemplifica [ I ] = ] 0, ; 1,21 12 [ 0,95 µ + 4 basta smar valr 12 4 Estes limites fram assim btids [ I 0,95 ] µ µ = ]( 12,24 12) t0,025 ;( 24) 0,47 ; ( 12,24 12) + t0,025 ;( 24) 0,47 [ [ I ] = ] 0,24 2,060 0,47 ; 0,24 + 2,060 0,47 [ 0,95 µ µ [ I ] = ] 0,73 ; 1,21 [ 0,95 µ µ Este desenvlviment pde ser acmpanhad cm s cálculs apresentads ns texts de api às aulas, p. cit., pág

13 e btém-se entã s limites para interval de cnfiança a 95% para a média das ntas da turma SA1: [ I ] ] 11,27 ; 13,21 [ 0,95 µ = Cm pde recrdar-se, sã exactamente s limites que se bteriam se se fizesse interval de cnfiança através d cmand Explre 5 Descriptives Que nta espera vir a ter em Estatística II? 95% Cnfidence Interval fr 5% Trimmed Median Variance Std. Deviatin Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtsis Lwer Bund Upper Bund Std. Statistic Errr 12,24,470 11,27 13,21 12,04 12,00 5,523 2, ,50 1,110,464 1,004,902 5 Analyze Descriptive Statistics Explre 13