CAPÍTULO 10 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS

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1 CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam O e O s eis primitivs, d Sistema Cartesian de Eis Crdenads cm rigem O(0,0). Sejam O e O s nvs eis crdenads cm rigem O (h,k), depis que sistema primitiv fi transladad. Seja P(,) um pnt qualquer d sistema primitiv. Prtant, mesm pnt P terá crdenadas P(, ), em relaçã a nv sistema. Pela figura abai tems que: h, k chamadas de equações de translaçã n R. O O P(,) (, ) k O O O h O Observe que, fazer uma translaçã n R, é transladar sistema antig (primitiv), paralelamente as eis O e O, para uma nva rigem O (h,k). Eempl (): Determine as crdenadas d pnt P(5,-), em relaçã a nv sistema, depis de realizad uma translaçã para a nva rigem O (-,). Sluçã: Usand as equações de translaçã, terems: O 5 ( ) 8 O P(,) (8, 5) 5 O (-,) k h- O 8 5 h k O O -5 - P(5,-) (8,-5) Eempl (): Determine a equaçã reduzida da elipse , depis que a rigem fi transladada para pnt O (,-).

2 Sluçã: Fazend: h k na equaçã da elipse, terems: ( ) ( ) 8( ) 6( ) Nte que, a equaçã reduzida da elipse, antes da ( ) ( ) translaçã era, cuj centr é pnt C(,-), u seja, fi 9 6 feita uma translaçã para centr da elipse. O O C O O OS: Para eliminarms s terms de primeir grau ( e ) da equaçã de uma cônica, devems fazer uma translaçã de eis para centr dela, u seja, fazer a nva rigem O (h,k) cincidir cm centr C(m,n) da cônica. Veja eempl (). Eempl (): Determine a translaçã de eis que transfrme a equaçã da hipérble , na sua frma mais simples (sem s terms de primeir grau). Sluçã (): Pela bservaçã acima, devems fazer uma translaçã para centr da hipérble. Passand para frma reduzida, terems: ( ) 4( ) 0 ( ) 4 ( ) 5. Lg, centr é C(-,) que será a nva rigem O (h,k). Fazend na equaçã geral, segue que: ( ) 4( ) 6( ) 4( ) Sluçã (): Cas nã subéssems da bservaçã acima, utra frma de descbrir qual a translaçã para eliminar s terms de primeir grau, seria aplicar as equações de translaçã na equaçã dada e impr as cndições para que s ceficientes ds terms de primeir grau sejam nuls.

3 Sabems que: h. Substituind na equaçã , k terems: ( h) 4( k) 6( h) 4( k) 5 0. Desenvlvend 4 (6h 6) (8k 4) (h 4k 6h 4k 5) 0. Impnd as cndições para que s ceficientes ds terms de primeir grau sejam nuls: 6h 6 0 h. Prtant, a translaçã dever ser feita para a nva rigem 8k 4 0 k (h,k) O (,). ROTAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam O e O s eis primitivs, d Sistema Cartesian de Eis Crdenads cm rigem O(0,0). Sejam O e O s nvs eis crdenads depis que sistema primitiv fi rtacinad de um ângul θ em trn da rigem O(0,0). Lg, θ é ângul frmad entre s eis O e O. Seja P(,) um pnt qualquer d sistema primitiv. Prtant, mesm pnt P terá crdenadas P(, ), em relaçã a nv sistema. O P(,) ( O, ) Q θ R O S O θ N M O OM NM Pela figura acima tems:. NQ QP N triângul OMR: OM NQ OM e MR NQ e sen θ NM NQ senθ. N triângul PQR: QR NM e senθ NM senθ e QP QP. Prtant, OM NM NQ QP senθ senθ, chamadas de equações de rtaçã n R. Pdems escrever as equações de

4 rtaçã na frma matricial: senθ senθ senθ, nde [ M] θ senθ é chamada de matriz de rtaçã de um ângul θ. Eempl (5): Determine as crdenadas d pnt P(-,6), após s eis crdenads sfrerem uma rtaçã de 60. Sluçã: Usand as equações de rtaçã: cs60 sen60 6 sen60 cs Reslvend sistema linear, terems:. Prtant, pnt P terá nvas crdenadas P (, ). Eempl (6): Determine ângul, segund qual, s eis devem ser rtacinads para eliminar term na equaçã Sluçã: Substituind as equações de rtaçã na equaçã dada, terems: 7( cs sen ) 6 ( cs sen )( sen cs ) ( sen cs ) θ θ θ θ θ θ θ θ 6 ( 7cs θ 6 senθ sen θ) [ senθ 6 (cs θ sen θ)] (7sen θ 6 senθ cs θ) 6 (*) Fazend ceficiente d term igual a zer, terems: 6( senθ) 6 (cs θ sen θ) 0 6senθ 6 0 tgθ θ 60 θ 0. Substituind θ na equaçã (*), a equaçã se reduz a. Esta é a equaçã reduzida de uma elipse de centr na rigem e semi- 4 eis a e b. EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA N capítul 8 estudams as cônicas, cujs eis eram de psiçã hrizntal (paralel a ei crdenad O) u vertical (paralel a ei crdenad O) e, cnseqüentemente, suas equações eram características dessas situações. N entant, a epressã geral de uma cônica, cujs eis pdem estar em qualquer psiçã em relaçã as eis crdenads é dada pr: A C D E F 0

5 Cm a equaçã geral das cônicas apresenta uma epressã semelhante para tdas, uma frma de identificar a cônica através da sua equaçã geral é utilizar a seguinte classificaçã: se se se 4AC < 0 elipse 4AC 0 parábla 4AC > 0 hipérble Pde-se demnstrar (veja eempl 6) que ângul θ, de que é necessári girar s eis para eliminar term (term retângul), é calculad pr intermédi da fórmula: tgθ A C Eempl (7): Pr mei de uma translaçã e rtaçã ds eis crdenads, reduzir a equaçã da cônica a sua frma mais simples. Fazer um esbç da cônica, representand s três sistemas de eis. Sluçã: Para reduzir a equaçã da cônica a sua frma mais simples, devems eliminar s terms de primeir grau e, pr mei de uma translaçã para centr da cônica e, para eliminar term retângul, deve-se fazer uma rtaçã de um ângul θ, usand a relaçã tgθ. Cm A 5, 6 e C 5 A C 4AC 64 < 0, u seja, a cônica em questã é uma elipse. Vams primeir fazer a translaçã, substituind h k na equaçã dada: 5( h) 6( h)( k) 5( k) 4( h) 4( k) 4 0 (*) (0h 6k 4) (6h 0k 4) (5h 6hk 5k 4h 4k 4) 0 Para eliminar s terms de primeir grau e, façams seus ceficientes iguais a 0h 6k 4 0 h zer:. Reslvend sistema terems:. Entã, a nva 6h 0k 4 0 k rigem será O (, ) que é centr da cônica. Substituind h e k- em (*), vams bter: (**), a equaçã transladada. De 6 6 tg θ? Iss mstra que A C θ 90 θ 45, u seja, este é ângul de rtaçã para eliminar term. Fazend θ 45 nas equações de

6 rtaçã senθ senθ. Substituind em (**), vams bter 4 4 0, que é a frma mais simples da equaçã da elipse de equaçã reduzida, que, em relaçã a sistema transladad e 4 rtacinad, tem centr na rigem e ei mair vertical. O O O O O - O Eercícis Prpsts ) Qual a translaçã que devems fazer para reduzir a equaçã da hipérble na sua frma mais simples? Escrever a equaçã reduzida da hipérble depis da translaçã. Resp: translaçã para C(-,); 0 8 ) Determinar a equaçã da cônica 4 0, após uma rtaçã de 45 ns eis crdenads. Quem é a cônica? Resp: 0; Parábla ) Reduzir a epressã da cônica a sua frma mais simples. Quem é a cônica? Resp: ; parábla (use: e senθ ) ) Reduzir a epressã da cônica 4 0 a sua 5 frma mais simples. Quem é a cônica? Resp: ; elipse (sugestã: faça primeir a translaçã e depis a rtaçã) 0