Questão 13. Questão 14. Resposta

Transcrição

1 Questã Uma empresa imprime cerca de.000 páginas de relatóris pr mês, usand uma impressra jat de tinta clrida. Excluind a amrtizaçã d valr da impressra, cust de impressã depende d preç d papel e ds cartuchs de tinta. A resma de papel (00 flhas) custa R$ 0,00. Já preç e rendiment aprximad ds cartuchs de tinta da impressra sã dads na tabela abaix. Cartuch (cr/mdel) Preç (R$) Rendiment (páginas) Pret BR R$ 90,00 80 Clrid BR R$ 0, Pret AR R$ 0, Clrid AR R$ 70,00 00 a) Qual cartuch pret e qual cartuch clrid a empresa deveria usar para cust pr página ser menr pssível? b) Pr razões lgísticas, a empresa usa apenas cartuchs de alt rendiment (s mdels d tip AR) e imprime apenas em um lad d papel (u seja, nã há impressã n vers das flhas). Se 0% das páginas ds relatóris sã clridas, quant a empresa gasta mensalmente cm impressã, excluind a amrtizaçã da impressra? Supnha, para simplificar, que as páginas clridas cnsmem apenas cartuch clrid. a) Calculand s valres unitáris de impressã (página/r$) de cada mdel de cartuch, tems: 80 páginas Pret BR: 9 páginas/r$ R$ 90,00 Pret AR: 400 páginas 6 páginas/r$ R$ 0, páginas Clrid BR: páginas/r$ R$ 0,00 00 páginas Clrid AR: 4,4 páginas/r$ R$ 70,00 Lg, s cartuchs que devem ser usads sã pret AR e clrid BR. b) Cnsiderand que cust de impressã inclua papel utilizad e s cartuchs AR, tems: Cust d papel utilizad 000 páginas R$ 0,00/resma 00 páginas/resma R$ 40,00 Cust das páginas clridas impressas R$ 70,00 0, 000 páginas R$ 40,00 00 páginas Cust das páginas impressas em pret R$ 0,00 0,8 000 páginas 400 páginas R$ 600,00 Lg, cust ttal de impressã é R$ 40, R$ 40,00 + R$ 600,00 R$.80,00. Questã 4 Uma grande precupaçã atual é a pluiçã, particularmente aquela emitida pel crescente númer de veículs autmtres circuland n planeta. A funcinar, mtr de um carr queima cmbustível, gerand CO, além de utrs gases e resídus pluentes. a) Cnsidere um carr que, trafegand a uma determinada velcidade cnstante, emite,7 kg de CO a cada litr de cmbustível que cnsme. Nesse cas, quants quilgramas de CO ele emitiu em uma viagem de 78 km, sabend que fez, km pr litr de gaslina nesse percurs? b) A quantidade de CO prduzida pr quilômetrpercrriddependedavelcidadedcarr. Supnha que, para carr em questã, a funçã c(v) que frnece a quantidade de CO, em g/km, cm relaçã à velcidade v, para velcidades entre 0 e 40 km/h, seja dada pr um plinômi d segund grau. Determine esse plinômi cm base ns dads da tabela abaix. Velcidade (km/h) Emissã de CO (g/km)

2 matemática a) 78 km L (gaslina),7 kg (CO ), km L (gaslina) 7,6kg(CO ) Ou seja, carr emitiu 7,6 kg de CO na viagem. b) Seja p(v) av + bv + c plinômi em questã, em que v é a velcidade em km/h, 0 v 40, e a, b e c sã cnstantes. Entã: p(0) 400 p(0) 0 p(40) a + 0b + c a + 0b + c 0 600a + 40b + c a + 0b + c 400 b + 4 c 60 40b + c a + 0b + c 400 a b + 4 c 60 b 40 c 000 c 000 Prtant, p(v) v 40v + 000, 0 v 40. Questã O perfil lipídic é um exame médic que avalia a dsagem ds quatr tips principais de grduras (lipídis) n sangue: clesterl ttal (CT), clesterl HDL (cnhecid cm bm clesterl ), clesterl LDL ( mau clesterl ) e triglicérides (TG). Os valres desses quatr indicadres estã relacinads pela fórmula de Friedewald: CT LDL + HDL + TG/. A tabela abaix mstra s valres nrmais ds lipídis sanguínes para um adult, segund labratóri SangueBm. Indicadr CT LDL HDL TG Valres nrmais Até 00 mg/dl Até 0 mg/dl Entre 40 e 60 mg/dl Até 0 mg/dl a) O perfil lipídic de Pedr revelu que sua dsagem de clesterl ttal era igual a 98 mg/dl, e que a de triglicérides era igual a 0 mg/ml. Sabend que tds s seus indicadres estavam nrmais, qual interval pssível para seu nível de LDL? b) Acidentalmente, labratóri SangueBm deixu de etiquetar as amstras de sangue de cinc pessas. Determine de quants mds diferentes seria pssível relacinar essas amstras às pessas, sem qualquer infrmaçã adicinal. Na tentativa de evitar que tds s exames fssem refeits, labratóri analisu tip sanguíne das amstras, e detectu que três delas eram de sangue O+ e as duas restantes eram de sangue A+. Nesse cas, supnd que cada pessa indicasse seu tip sanguíne, de quantas maneiras diferentes seria pssível relacinar as amstras de sangue às pessas? a) Substituind s valres dads n enunciad, btems: HDL + LDL LDL 7 HDL Cm s indicadres estavam nrmais: 40 HDL 60 LDL Mas para LDL nrmal, tems LDL 0. Assim, interval pssível para nível de LDL é: mg/dl LDL 0 mg/dl b) Sem qualquer infrmaçã adicinal, pdems distribuir as amstras entre as cinc pessas de! 0 mds diferentes. Supnd agra que cada pessa tenha indicad seu tip sanguíne, cm tems amstras O+ e amstras A+, pdems distribuir as amstras O+ entre as três pessas de! maneiras e as duas amstras restantes de! maneiras e, prtant, tems!! maneiras. Questã 6 Um grup de pessas reslveu encmendar cachrrs-quentes para lanche. Entretant, a lanchnete enviu apenas sachês de mstardae7decatchup,quenãésuficientepara que cada membr d grup receba um sachê de cada mlh. Desta frma, pdems cnsiderar que há três subgrups: um frmad pelas pessas que ganharã apenas um sachê de mstarda, utr pr aquelas que ganharã apenas umsachêdecatchup,eterceirpelasquereceberã um sachê de cada mlh.

3 matemática a) Sabend que, para que cada pessa ganhe a mens um sachê, 4 delas devem receber apenas um ds mlhs, determine númer de pessas d grup. b) Felizmente, smente 9 pessas desse grup quiseram usar s mlhs. Assim, s sachês serã distribuíds aleatriamente entre essas pessas, de md que cada uma receba a mens um sachê. Nesse cas, determine a prbabilidade de que uma pessa receba um sachê de cada mlh. a) Seja n númer de pessas. Sabend que 4 pessas receberam apenas sachê, entã n 4 pessas receberam sachês. Cm ttal de sachês é + 7, tems 4 + (n 4) n 46 n. b) A frase "determine a prbabilidade de que uma pessa receba um sachê de cada mlh" admite pel mens duas interpretações: Uma é equivalente a "determine a prbabilidade de que exista uma pessa que receba um sachê de cada mlh". Nesse cas, cm há mais sachês que pessas, a prbabilidade é. Outra é equivalente a "determine a prbabilidade de que uma pessa determinada receba um sachê de cada mlh". Seja x númer de pessas que receberã sachês (um de catchup e um de mstarda), entã 9 x pessas receberã apenas sachê. Cm ttal de sachês é + 7, tems9 x + x x. Lg, a prbabilidade de que uma pessa receba um sachê de cada mlh é 9. b) Supnha, agra, que a receita aumentará 0% a cada mês, u seja, que a receita bedecerá a uma prgressã gemétrica (PG) de razã /0. Nesse cas, escreva a expressã d term geral dessa PG em funçã de n, númer de meses transcrrids, cnsiderand cm mês inicial crrente. Determine qual será a receita acumulada em 0 meses. Se necessári, use,, ;,, e, 6,. a) Seja (a,a,a,...) a sequência das despesas, cm a 800 mil reais. Essa sequência é uma PA de razã r 4 mil reais e tem term geral an (n )( 4) 84 4n mil reais. Tal despesa é menr que a receita para s valres de n tais que 84 4 n < 600 n 6. Lg a6 < 600 mil reais, e prtant a despesa passará a ser menr que a receita a fim de 6 meses. b) Seja (b,b,b,...) a sequência das receitas, cm b 600 mil reais. Essa sequência é uma PG de razã,, cuj term geral é 0 n bn 600, mil reais. A receita acumulada em dez meses, incluind crrente, é 600, 0 mil reais. Utilizand a aprximaçã,,6, btems 600,,6, 9,60 mil reais u 9,6 milhões de reais. Questã 7 N mês crrente, uma empresa registru uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa estuda, agra, alternativas para vltar a ter lucr. a) Primeiramente, assuma que a receita nã variará ns próxims meses, e que as despesas serã reduzidas, mensalmente, em exats R$ 4 mil. Escreva a expressã d term geral da prgressã aritmética que frnece valr da despesa em funçã de n, númer de meses transcrrids, cnsiderand cm mês inicial crrente. Calcule em quants meses a despesa será menr que a receita. Questã 8 Define-se cm pnt fix de uma funçã f númer real x tal que f(x) x. Seja dada a funçã f( x) +. x + a) Calcule s pnts fixs de f(x). b) Na regiã quadriculada a seguir, represente gráfic da funçã f(x) e gráfic de g(x) x, indicand explicitamente s pnts calculads n item (a).

4 ) matemática 4 O gráfic da funçã s(x) x + é btida transladand gráfic de h(x) de unidade para a esquerda, btend seguinte gráfic: Finalmente, gráfic de f é btid transladand gráfic de s de uma unidade para cima: 6. f(x) 4. a) x é pnt fix de f se, e smente se, f(x) x. f(x) x + x x + x x x x + x + x 0 x x u x _ 0... _ ( _ ; _ ) ) _ ; _ g(x) Lg, s pnts fixs de f sã e. _. _ 4 b) O gráfic da funçã h(x) é: x _ 4.. _ 6 _ 4 _ Questã 9 Cnsidere uma gangrra cmpsta pr uma tábua de 40 cm de cmpriment, equilibrada, em seu pnt central, sbre uma estrutura na frma de um prisma cuja base é um triângul equiláter de altura igual a 60 cm,

5 matemática cm mstra a figura. Supnha que a gangrra esteja instalada sbre um pis perfeitamente hrizntal. 60 Send MPQ equiláter, m(nmp) 0 e, prtant, α m(nme) m(nmp) Questã 0 a) Desprezand a espessura da tábua e supnd que a extremidade direita da gangrra está a 0 cm d chã, determine a altura da extremidade esquerda. b) Supnd, agra, que a extremidade direita da tábua tca chã, determine ângul α frmad entre a tábua e a lateral mais próxima d prisma, cm mstra a vista lateral da gangrra, exibida abaix. Uma placa retangular de madeira, cm dimensões 0 0 cm, deve ser recrtada cnfrme mstra a figura a seguir. Depis de efetuad recrte, as crdenadas d centr de gravidade da placa (em funçã da medida w) serã dadas pr a) 400 w x CG (w) e 80 w (w 0) y CG(w) 80 w Nte que ABCD é um trapézi cm bases AD e AD + BC BC e base média MN. Lg MN AD AD 00 cm, useja,aaltura da extremidade direita é 00 cm. b) MN N triângul retângul MNE, cs NME ME 60 m(nme) em que x CG é a crdenada hrizntal e y CG é a crdenada vertical d centr de gravidade, tmand cant inferir esquerd cm a rigem. a) Defina A(w), a funçã que frnece a área da placa recrtada em relaçã a w. Determine as crdenadas d centr de gravidade quand A(w) 0 cm. b) Determine uma expressã geral para w(x CG ), a funçã que frnece a dimensã w em relaçã à crdenada x CG, e calcule y CG quand x CG 7/ cm. a) A(w) é a área d retângul de dimensões 0 cm e 0 cm subtraída da área d retângul de dimensões0 cm e w, u seja, A(w) 0 0 w 00 w, em cm.

6 matemática 6 Tems A(w) 0 00 w 0 w 0cm. Lg xcg (0 0) ycg cm; cm. 400 w b) Tems xcg 80 w x CG(80 w) 400 w xCG w. xcg Para xcg cm, w ( 0) ycg 8, cm. 80 Questã cm e Para cert mdel de cmputadres prduzids pr uma empresa, percentual ds prcessadres que apresentam falhas apóstansdeusédadpelaseguintefunçã: P(T) 00( 0,T ) a) Em quant temp 7% ds prcessadres de um lte desse mdel de cmputadres terã apresentad falhas? b) Os nvs cmputadres dessa empresa vêm cm um prcessadr mens suscetível a falhas. Para mdel mais recente, embra percentual de prcessadres que apresentam falhas também seja dad pr uma funçã na ct frma Q(T) 00( ), percentual de prcessadres defeituss após 0 ans de us equivale a /4 d valr bservad, nesse mesm períd, para mdel antig (u seja, valr btid empregand-se a funçã P(T) acima). Determine, nesse cas, valr da cnstante c. Se necessári, utilize lg ( 7 ) 8,. 0,T a) 7 00( ) 0,T 0,T 0, T 0 ans. 0c b) Q(0) P(0) 00( ) ( 0, 0 ) 4 0c 7 0c + 0c 7 + lg 7 0c +,8 0c + c 0,09, adtand a aprximaçã dada. Questã Supnha um trech retilíne de estrada, cm umpstrdviárinquilômetrzer.supnha, também, que uma estaçã da guarda flrestal esteja lcalizada a 40 km d pst rdviári, em linha reta, e a 4 km de distância da estrada, cnfrme a figura a seguir. a) Duas antenas de rádi atendem a regiã. A área de cbertura da primeira antena, lcalizada na estaçã da guarda flrestal, crrespnde a um círcul que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada n pst rdviári, atinge, sem ultrapassar, pnt da estrada que está mais próxim da estaçã da guarda flrestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cbertas pr essas antenas, e esbce essas regiões n gráfic abaix, identificand a área cberta simultaneamente pelas duas antenas. b) Pretende-se substituir as antenas atuais pr uma única antena, mais ptente, a ser instalada em um pnt da estrada, de md que as distâncias dessa antena a pst rdviári e à estaçã da guarda flrestal sejam iguais. Determine em que quilômetr da estrada essa antena deve ser instalada.

7 matemática 7 b) a) Seja x a distância, em km, da rigem O da estrada a pnt C, nde será instalada a nva antena. Aplicand Terema de Pitágras n ΔABC, tems: x ( x) + 4 x Questã B Guarda flrestal 4 Pst rdviári Estrada O km A Um engenheir precisa interligar de frma suave dis trechs paralels de uma estrada, cm mstra a figura abaix. Para cnectar as faixas centrais da estrada, cujs eixs distam d metrs um d utr, engenheir planeja usar um segment de reta de cmpriment x e dis arcs de circunferência de rai r e ângul intern α. Aplicand Terema de Pitágras n ΔAOB, tems: (EA) EA km Assim, a área de cbertura das duas antenas definida pela intersecçã das regiões circulares crrespnde a x y +, (x ) + (y 4) 4 cnfrme destaque n desenh anterir. a) Se engenheir adtar α 4, segment central medirá x d r( ). Nesse cas, supnd que d 7m, e r 6 m, determine a distância y entre as extremidades ds trechs a serem interligads. b) Supnd, agra, que α 60, r 6 m e d 90 m, determine valr de x.

8 matemática 8 Na direçã hrizntal: Cm d c + : d r ( cs α) + x senα a) Se α4, x d r ( ). Para d 7 mer 6m: x m Cm y r sen 4 + x cs 4, tems: y m b) Para α60, r 6med 90m: d r( cs α) + x senα 90 6( cs 60 ) + x sen 60 x 4 x 6 m a senα a r senα r b csα b x csα x Cm a + b y : y r senα + x csα Na direçã vertical: Questã 4 A caixa de um prdut lnga vida é prduzida cm mstra a sequência de figuras abaix. A flha de papel da figura é emendada na vertical, resultand n cilindr da figura. Em seguida, a caixa tma frmat desejad, e sã feitas nvas emendas, uma n tp e utra n fund da caixa, cm mstra a figura. Finalmente, as abas da caixa sã dbradas, gerand prdut final, exibid na figura 4. Para simplificar, cnsiderams as emendas cm linhas, u seja, desprezams a superpsiçã d papel. r c csα c r ( cs α) r x senα x senα x a) Se a caixa final tem 0 cm de altura, 7, cm de largura e 7 cm de prfundidade, determine as dimensões x e y da menr flha que pde ser usada na sua prduçã. b) Supnd, agra, que uma caixa tenha seçã hrizntal quadrada (u seja, que sua prfundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula d vlume da caixa final em funçã das dimensões x e y da flha usada em sua prduçã.

9 matemática 9 a) Pel desenh anterir, tems que uma circunferência de perímetr x transfrma-se num retângul de dimensões 7,0 cm 7, cm, lg x 7,0 + 7, + 7,0 + 7, 8,4 cm. A altura y d cilindr é btida smand-se a altura da caixa cm duas metades da prfundidade, u seja, y 0 +, 7 cm. b) Analgamente a item a, a circunferência de perímetr x transfrma-se em um quadrad de lad x e a altura da caixa passa a ser 4 x x y y. Assim, vlume da caixa é 8 4 x x x x dad pr y y