Matemática: Funções Vestibulares UNICAMP

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1 Matemática: Funções Vestibulares UNICAMP 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.. (Unicamp 015) Considere a função 1x 1x f(x) 10 10, definida para todo número real x. a) Mostre que f(log 10( 3)) é um número inteiro. b) Sabendo que log10 0,3, encontre os valores de x para os quais f(x) (Unicamp 015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax 3a e g(x) 9 x, definidas para todo número real x. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) 0. b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) g(f(x)) para todo número real x. 4. (Unicamp 014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) x a x b, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a b 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 1

2 5. (Unicamp 014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) 0,5 log 3(t 1), onde o tempo t 0 é dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) h(3t ). Verifique que a diferença g(t) h(t) é uma constante, isto é, não depende de t. 6. (Unicamp 014) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 0 reais. Para um consumo superior, o preço é de 0 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água. a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30. b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um consumo mensal de 5 metros cúbicos? 7. (Unicamp 013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 3,8 cm 4 7,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x 0) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados n k forma uma progressão

3 aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n 1 = 5, em que n k = f (c k), com k natural, calcule o comprimento c5. 8. (Unicamp 013) Em 14 de outubro de 01, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. Tempo (segundos) Velocidade (km/h) b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a km/h. 9. (Unicamp 01) Considere a função f(x) x x p, definida para x real. a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor. b) Supondo, agora, que p = 3, determine os valores de x que satisfazem a equação f(x) = (Unicamp 01) O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz 3

4 positiva da equação quadrática obtida a partir de x 1 x x a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo. b) A sequência 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n- ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula 1, se n 1 ou ; F(n) F(n 1) F(n ), se n. Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10º e o 11º termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal para o número áureo. 11. (Unicamp 011) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando CO, além de outros gases e resíduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite,7 kg de CO a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b) A quantidade de CO produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO, em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 0 e 40 km/h, seja dada por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo. Velocidade (km/h) Emissão de CO (g/km) (Unicamp 011) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 x 0 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura abaixo. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por w 400 w 0 xcg w e ycg w, 80 w 80 w em que xcg é a coordenada horizontal e ycg é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem. 4

5 a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm. b) Determine uma expressão geral para w(xcg), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada xcg, e calcule ycg quando xcg = 7/ cm. 13. (Unicamp 011) Define-se como ponto fixo de uma função f o número real x tal que f(x) = x. Seja dada a função 1 fx 1 x 1. a) Calcule os pontos fixos de f(x). b) Na região quadriculada abaixo, represente o gráfico da função f(x) e o gráfico de g(x) = x, indicando explicitamente os pontos calculados no item (a). 14. (Unicamp 010) Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. 5

6 Um resumo do levantamento é apresentado na tabela a seguir. Modelo Preço (R$) Aparelhos vendidos (milhares) A B C 50 5 D a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00. b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 0,5p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n p. 15. (Unicamp 010) Suponha que f: IR IR seja uma função ímpar (isto é, f( x) = f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado a seguir. a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funções g(y) = y 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para,5 x 5. 6

7 Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. Além disso, para todo 0 t 4, o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que 1 t t A(t) t (t 4). 4 O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (,1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x 0, satisfazem a equação x y com a função k g(x), sendo x x k x 4x k 0. x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( 4) 41 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : a) Com efeito, temos x 1 f(x) x 10 Logo, sabendo que loga b a b, com a e b reais positivos e a 1, vem log 10( 3) 1 f(log 10( 3)) 1010 log 10( 3) Portanto, segue que f(log 10( 3)) 40. b) Tem-se que 7

8 x 1 f(x) x 10 x x x x log10 5 ou x log10 5. Dado que log10 0,3, vem 10 log10 5 log10 log10 10 log10 1 0,3 0,7. Portanto, os valores de x para os quais f(x) 5 são 0,7 e 0,7. Resposta da questão 3: a) Sendo a 0, temos 9 f(x)g(x) 0 a(x 3) x x. Portanto, segue que x {, 1, 0,1,, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras. b) Tem-se que f(g(x)) ag(x) 3a a(9 x) 3a ax 1a e g(f(x)) 9 f(x) 9 (ax 3a) ax 6a 9. Logo, vem f(g(x)) g(f(x)) ax 1a ax 6a 9 1 a. Resposta da questão 4: a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0,1), então b 1. Além disso, como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem Δ 0 a a. Portanto, a e b 1. b) Se a b 1 b 1 a, então tomando a 0 e a 1, obtemos f(x) x ax 1 a. Agora, sem perda de generalidade, f 1(x) x 1 e gráficos de f 1 e de f possuem um ponto em comum, tem-se consequência, o resultado pedido é (1, ). f (x) x x, respectivamente. Ora, como os x 1 x x x 1. Em 8

9 Resposta da questão 5: a) O valor de t para o qual se tem h(t) 0,5 é 0,5 0,5 log 3(t 1) t 0. Para h(t) 1,5, obtemos 1,5 0,5 log 3(t 1) t13 t. Portanto, serão necessários anos para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m. b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma g(t) h(3t ) 0,5 log 3(3t 1) 0,5 log3 3 (t 1) 0,5 log33 log 3(t 1) 1h(t). Por conseguinte, g(t) h(t) 1 h(t) h(t) 1, para todo t 0. Resposta da questão 6: a) A lei da função c é dada por 0, se 0 x 10 c(x) (x 10) 4 0, se x 10 0, se 0 x 10. 4x 0, se x 10 Logo, o gráfico de c, para 0 x 30, é b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado por c(4) 0 R$ 5,

10 Para um consumo mensal de 5 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado por c(5) R$ 3, Resposta da questão 7: a) t(x) = ax + b 7,3.a b 4 3,8.a b 35 Resolvendo o sistema, temos: a = e b = 1,6. Logo t(x) = x 1,6. Agora escrevendo x em função de t, temos: x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3. b) 5.(x 0) f(x) 3 n1 = 5, n = 5,5, n3 = 6, n4 = 6,5 e n5 = 7. 5.(c Fazendo 5 0) 7, temos: 3 5 c = 1 5 c 5 = 11 c 5 = 4, cm Resposta da questão 8: a) v = 35.t, onde t é o tempo e v a velocidade. No 30º segundo, a velocidade será dada por: v = = 1050 km/h. b) De acordo com o gráfico, temos: A velocidade máxima está entre 1300 km/h e a 350 km/h, um valor aproximado seria 1350 km/h; O tempo que Felix superou a velocidade do som é maior que 30 e menor que 45; uma aproximação seria 37,5s. Resposta da questão 9: a) Tomando como referência o ponto (1,) destacado no gráfico, temos:.1 1 p 1 p 0 p 1. b) x x 3 1 x 3 1 x x 3 1 x ou x 3 x 1Ûx 5 ou x 9. x = 9 não convém, pois 1.9 < 0. Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5. Resposta da questão 10: a) x x x x 1 0 x ou x =. x Considerando a raiz positiva, temos 1 5 x. b) f(10) = f(9) + f(8) = f(8) + f(7) + f(8) = = 55 10

11 f(11) = f(10) + f(9) = f(10) + f(8) + f(7) = = 89 Fazendo f(11)/f(10), temos 89 / 55 1,6. Resposta da questão 11: Numa viagem de 378km são consumidos litros de combustível. Logo, a 13,5 quantidade de CO emitida pelo carro foi de 8,7 75,6kg. Seja c(v) av bv c a lei da função que fornece a quantidade de CO, em g km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 0 e 40km h. Da tabela fornecida obtemos: a 0 b 0 c 400, a 30 b 30 c 50 e a 40 b 40 c 00. Assim, queremos calcular a, b e c, de modo que: 400a 0b c a 30b c a 40b c 00 Logo, 1 a c 400 0b 400a 50a b 15 b a b 10 c Portanto, c(v) v 40v Resposta da questão 1: a) A função que fornece a área da placa recortada em relação a w é dada por: A(w) w 00 5w. Assim, quando A(w) 150cm, temos que: A(w) w 150 w 10cm. Portanto, as coordenadas do centro de gravidade quando x CG(10) cm e 400 (10 0) y CG(10) cm A(w) 150cm são: b) Temos que: w xcg 80xCG wxcg w 80 w 15w wx x CG w(15 x ) x CG xCG w(x CG). 15 x CG CG CG 11

12 Logo, xcg cm w 15cm Portanto, quando x CG 7 cm, segue que: 400 (15 0) y CG(15) cm Resposta da questão 13: a) Sabendo que os pontos fixos de f são as raízes da equação f(x) x, temos: 1 1 x 1 x 1 x x 1 (x 1)(x 1) x x ( 1) 4 ( 3) x 4 3 x 1ou x. b) O gráfico de f pode ser obtido através da translação do gráfico da função 1 y ao longo x do eixo x de 1 unidade para a esquerda, e de uma translação do gráfico resultante de 1 unidade para cima: 1

13 No gráfico acima estão indicados os pontos ( 1, 1) e pontos fixos de f. 3 3,, cujas abscissas são os Resposta da questão 14: a) Total de cupons: , = 360mil cupons. 36 x3 3 Logo P = 30% b) n(p) = 115 0,5 R(p) = (115 0,5p ).p R(p) = - 0,5p + 0,115p b 115 pv = 30 a 0,5 Resposta R$ 30,00 Resposta da questão 15: a) admitindo período 10 e função ímpar o gráfico deverá ser como o da figura. A equação da reta AB é y = x e f(99) = f(-1) Considerando x = 99, temos f(99) =.(-1) = - b) equação da reta BC y = - x + 10 h(3) = g(f(3)) = g( ) = g(4) = = 0 13