MATEMÁTICA Revisão II Módulo 1. Professor Marcelo Gonzalez Badin

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1 MATEMÁTICA Revisão II Módulo 1 Professor Marcelo Gonzalez Badin

2 1.(Unicamp-009) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 00 km, ou seja, o cliente pode percorrer 00 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 00 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Para cada locadora, represente no gráfico abaixo a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.

3 a) x = nº de km rodados M S(x) = diária loc. Saturno M(x) = diária loc. Mercúrio S Temos: S(x) = ,40x 90 se 0 x 00 M(x) = 0,60x 30 se x 00 b) S(x) = M(x) Se 0 x ,40x = 90 x = 150 Se x 00, temos: ,40x = 0,60x 30 x = 300. Para 150 ou 300 km as duas são equivalentes. Para x km: Saturno tem plano mais barato se 0 < x < 150 ou x > 300 Mercurio tem plano mais barato se 150 < x < 300 Saturno tem plano mais vantajoso e maior lucro se o gráfico de S (x) = 30 + ax(a = custo por km) passar pelo ponto (00, 90) 30 + a.00 = 90 a = 0,30. O novo custo por km deve ser R$ 0,30. Rascunho Se x ,60(x 00) x S(x) x M(x)

4 . (Unicamp 010) Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado. a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00. O número total de cupons é = 360 mil Assim, a probabilidade pedida é 36.3 = 30% 360

5 . (Unicamp 010) Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado. b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 0,5p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n p. A receita anual é R = (115 0,5p).p R = 0,5p + 115p R R é máx. para p = p 115.( 0,5) = 30 O preço que maximiza a receita é R$ 30,00

6 3.(Unicamp 007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P 0 bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P 0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 9 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 9 anos, determine o valor da constante b. P(9) = P P 0 P 9b 0 0 = (P 0 0) = 9b 1 9b = 1 9b = 1 1 b = 9

7 3. (Unicamp 007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P 0 bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P 0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. b) Dada uma concentração inicial P 0, de estrôncio 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 0% de P 0. Considere log 10 3,3. t 1 Como b = 9, temos P(t) = P0 9 Devemos ter P(t) = 0%.P 0 t 9 P0 = P0 (P 0 0) 10 t 9 = 10 t 9 10 = log t = log log10 9 t = 1 3,3 9 t =,3 9 t = 67,8 1 0% = 0, = = 10 5 O tempo necessário é 67,8 anos

8 4. (Vunesp-006) O gráfico mostra, aproximadamente, a porcentagem de domicílios no Brasil que possuem certos bens de consumo. Sabe-se que o Brasil possui aproximadamente 50 milhões de domicílios, sendo 85% na zona urbana e 15% na zona rural. Admita que a distribuição percentual dos bens, dada pelo gráfico, mantenha a proporcionalidade nas zonas urbana e rural. a) Escrevendo todos os cálculos efetuados, determine o número de domicílios da zona rural e, dentre esses, quantos têm máquina de lavar roupas e quantos têm televisor, separadamente. O número de domicílios da zona rural é 15% de 50 milhões 0,15.50 milhões = 7,5 milhões Dentre esses: 30% têm máquina de lavar roupa, isto é: 0,3.7,5 milhões =,5 milhões 90% têm televisor, isto é: 0,9.7,5 milhões = 6,75 milhões

9 4. (Vunesp-006) O gráfico mostra, aproximadamente, a porcentagem de domicílios no Brasil que possuem certos bens de consumo. Sabe-se que o Brasil possui aproximadamente 50 milhões de domicílios, sendo 85% na zona urbana e 15% na zona rural. Admita que a distribuição percentual dos bens, dada pelo gráfico, mantenha a proporcionalidade nas zonas urbana e rural. b) Considere os eventos T: o domicílio tem telefone e F: o domicílio tem freezer. Supondo independência entre esses dois eventos, calcule a probabilidade de ocorrer T ou F, isto é, calcule P(T» F). Com base no resultado obtido, calcule quantos domicílios da zona urbana têm telefone ou freezer. P(T F) = P(T) + P(F) P(T F) Como T e F são independentes, P(T F) = P(T).P(F) e P(T F) = P(T) + P(F) P(T).P(F) P(T F) = 60% + 0% 60%.0% P(T F) = 68% Assim, o número de domicílios da zona urbana com telefone ou freezer é 68% de 85% de 50 milhões = 0,68.0,85%.50 milhões = 8,9 milhões

10 5. (Unicamp-008) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo. a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F 1, F e F 3 indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F n. Calcule F 10 e escreva a expressão geral de F n. b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.

11 5. (Unicamp-008) a) F 1 = 4 F = 1 F 3 = 0 Como as figuras seguem a mesma lei de formação, a sequência F 1, F, F 3,... é um progressão aritmética de primeiro termo F 1 = 4 e razão r = 8. F n = F 1 + (n 1)r F n = 4 + (n 1).8 F n = 8n 4 F 10 = F 10 = 76

12 5. (Unicamp-008) b) F 1 = 4 F n = 8n 4 O número total de fósforos é dado pela soma dos 50 primeiros termos da P.A. S 50 = (F 1 + F 50 ).50 = ( ).50 = = O número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras é igual a 10 mil

13 6. (Unicamp 007) Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5kg de comida.responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00/kg ou A receita do restaurante é (Nº de kg vendidos).(preço cobrado por kg) Receita atual: ,00 = 1500,00 para R$ 0,00/kg? Aumentando 3,00: ( ).18,00 = 1530,00 Aumentando 5,00: ( ).0,00 = 1500,00 A receita será maior se o preço subir para R$ 18,00/kg

14 6. (Unicamp 007) Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5kg de comida.responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição. c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? x = quantia, em reais, acrescida ao preço do quilo b) f(x) = (100 5x).(15 + x) f(x) c) f(x) é máx. para x = x v = f(x) = 5(0 x).(15 + x) 1500 x =,50 Para que o restaurante f(x) = 5x + 5x tenha a maior receita, o preço do quilo deve ser R$ 17, x

15 7.(UFJF-006) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão. Com base nessa informação, qual foi o número de ministros presentes ao encontro? x = número de ministros presentes Número de apertos de mão = 15 x.(x 1) = 15! x = 5 x x 30 = 0 x = 6 S = 1 P = 30 (não convém) O número de ministros presentes ao encontro foi 6

16 8. (Fuvest-006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = a.f(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) =. Considere ainda a função g(x) = f(x 1) + 1 para todo o número real x. a) Calcule g(3). f(ax) = a.f(x), para todos os números reais a e x. Fazendo x = 4, temos: f(a.4) = a.f(4) Como f(4) =, temos f(a.4) = a. Portanto f(4a) = a, para todo real a. a) g(x) = f(x 1) + 1 Mas f(4a) = a. Fazendo a = ½, temos: g(3) = f(3 1) f 4 = f() = 1 g(3) = f() + 1 g(3) = g(3) =

17 8. (Fuvest-006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) =. Considere ainda a função g(x) = f(x 1) + 1 para todo o número real x. b) Determine f(x), para todo x real. x b) f(4a) = a, para todo real a. Para determinar f(x), basta fazer a = 4 x x f 4 = 4 4 ( ) f x = x

18 8. (Fuvest-006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) =. Considere ainda a função g(x) = f(x 1) + 1 para todo o número real x. c) Resolva a equação g(x) = 8. x c) Do item anterior, temos f ( x) = g(x) = f(x 1) + 1 g(x) = 8 x 1 g(x) = + 1 x + 1 = 8 (Multiplica por ) x 1+ g(x) = x + 1 = 16 S = {15} x + 1 x = 15 g(x) =

19 14.(Unicamp-004) A cidade de Campinas tem 1 milhão de habitantes e estima-se que 4% de sua população viva em domicílios inadequados. Supondo-se que, em média, cada domicílio tem 4 moradores, pergunta-se: a) Quantos domicílios com condições adequadas tem a cidade de Campinas? b) Se a população da cidade crescer 10% nos próximos 10 anos, quantos domicílios deverão ser construídos por ano para que todos os habitantes tenham uma moradia adequada ao final desse período de 10 anos? Suponha ainda 4 moradores por domicílio, em média. a) O número de domicílios em condições adequadas é 96% de = 0, = b) Em 10 anos a população de Campinas será igual a 1, = habitantes Como cada domicílio comporta, em média, 4 pessoas, o número de domicílios necessário é = Assim, em 10 anos é preciso construir = residências, isto é 3500 domicílios por ano =

20 16.(Unicamp 010) a11 a1 a13 Considere a matriz A = a 1 a a 3, cujos coeficientes são números reais. a31 a3 a 33 a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. O número de casos possíveis é dado pelo número de possibilidades de alocar de maneira não ordenada os três elementos não nulos = 84 3! Se colocarmos os 3 elementos não nulos em uma única fila ou ainda em exatamente duas filas, sobrará uma fila nula e, assim, o determinante será nulo. Logo, os 3 elementos não nulos devem ocupar filas diferentes. Para colocarmos o primeiro elemento não nulo na primeira coluna, temos 3 possibilidades. Para colocarmos o segundo elemento não nulo na segunda coluna, temos possibilidades. E para colocarmos o terceiro elemento na terceira coluna, uma única possibilidade. Portanto o número de casos favoráveis é 3 1 = 6. Assim, a probabilidade é 6 =

21 16.(Unicamp 010) a11 a1 a13 Considere a matriz A = a 1 a a 3, cujos coeficientes são números reais. a31 a3 a 33 a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suponha, agora, que a ij = 0 para todo elemento em que j > i, e que a ij = i j + 1 para os elementos em que j i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A 1.

22 17. (Fuvest-009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx + Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y IR : y 1}. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y IR : y 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x IR : x 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y, o único valor de x 0 tal que f(x) = y.

23 17. (Fuvest-009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx +. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). Sendo x v e y v, respectivamente, a abscissa e a ordenada do vértice da parábola y = x + mx + (m IR), temos: x v = m e y v = f(x v ) m m m m m m yv = f = + m + = + = As coordenadas do vértice da parábola são m m x yv = + v = e 4

24 17. (Fuvest-009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx +. Nessas condições: b) Determine os valores de m IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y IR : y 1}. O gráfico de f(x) é uma parábola de concavidade voltada para cima. Sendo assim, o vértice é um ponto de mínimo e a imagem de f é {y IR / y y v } Para que o conjunto {y IR / y 1} esteja contido na imagem de f, devemos ter y m v fi m m ou m

25 17. (Fuvest-009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx +. Nessas condições: c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y IR : y 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x IR : x 0}. Para que a imagem de f seja {y IR / y 1} basta que tenhamos y v = 1 m y v = 1 + = 1 fi m = 4 fi m = ou m = 4 Vejamos os dois casos: m = fi f(x) = x + x + m = fi f(x) = x x + Como f é crescente para {x IR: x 0}, temos: m =

26 17. (Fuvest-009) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx +. Nessas condições: d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y, o único valor de x 0 tal que f(x) = y. f(x) = x + x y f(x) = y x + x + = y x + x + 1 = y 1 (x + 1) = y 1 x + 1 = ± y 1 Como x 0, temos x + 1 > 0. Assim: x + 1 = y 1 x = 1+ y 1

27 18. (Unicamp-009) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. x = número de peixes da espécie A y = número de peixes da espécie B Temos: x + y = 600 1,5x + y = 800 0,5x = 00 x = y = 600 y = 00 O conjunto de tanques-rede contém 400 peixes da espécie A e 00 da B

28 18. (Unicamp-009) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 700 peixes adultos da espécie considerada? O volume mínimo (em m 3 ) que o tanque deve ter para comportar 700 peixes é 700 = Sendo x, x e as medidas, em metros, das dimensões mínimas, devemos ter: x.x. = 18 x = 9 x > 0 x = 3 As dimensões mínimas do tanque são: 3m, 3m e m x x

29 19.(Fuvest-005) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos. Temos as seguintes possibilidades: 1º: qq. nº º: nº do 1º 3º: nº dos 1 os 4º: nº dos 1 os Assim, a probabilidade pedida é: = OU 1º: qq. nº º: nº = ao 1º 3º: nº do 1º 4º: nº do 1º = 105 = = = 5 16

30 0. (Unicamp) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? Justifique sua resposta. 1 a Pares 15 Impares Para que a soma de 3 números seja par, há duas possibilidades: Os 3 são pares ou 1 é par e os outros são ímpares Assim, o número de maneiras de fazer a escolha dos 3 números é: 3P ou I 1P ! ! = 030 São duas escolhas feitas em conjuntos diferentes! Há 030 maneiras de fazer a escolha

31 1. (Vunesp-00) Numa comunidade formada de 1000 pessoas, foi feito um teste para detectar a presença de uma doença. Como o teste não é totalmente eficaz, existem pessoas doentes cujo resultado do teste foi negativo e existem pessoas saudáveis com resultado do teste positivo. Sabe-se que 00 pessoas da comunidade são portadoras dessa doença. Esta informação e alguns dos dados obtidos com o teste foram colocados na tabela seguinte. Resultado do exame Situação Positivo(P) Negativo(N) Total Saudável (S) Doente (D) Total 1000 a) Copie a tabela em seu caderno de respostas e complete- a com os dados que estão faltando. b) Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso e verifica-se que o resultado do teste foi positivo. Determine a probabilidade de essa pessoa ser saudável. Muda o espaço amostral! b) Se o resultado do teste foi positivo, o espaço amostral fica reduzido e a probabilidade da pessoa ser saudável é = 1 4 = 5% O teste é um lixo!!!

32 .(Fuvest-008) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de a) Pedro vencer na primeira rodada. Número de casos possíveis = 6.6 = 36 Número de casos favoráveis: Vamos representar os resultados de Pedro e José, respectivamente, por um par ordenado. Para Pedro vencer na primeira rodada, temos as seguintes possibilidades: (3, 1); (4, 1); (4, ); (5, 1); (5, ); (5, 3); (6, 1); (6, ); (6, 3) ou (6, 4) Assim, a probabilidade é 10 =

33 .(Fuvest-008) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. O jogo apresenta iguais possibilidades de vitória para os dois jogadores. A chance de José ganhar em uma determinada rodada é a mesma de Pedro. Assim, a probabilidade de que haja um vencedor é = 9 5 Portanto a probabilidade de que nenhum dos dois vença é = 9 4

34 c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. Para que um dos participantes vença até a quarta rodada, temos as seguintes possibilidades: alguém vence na primeira rodada: 5/9 ninguém vence na primeira e alguém vence na segunda rodada: (4/9).(5/9) ninguém vence nem na primeira nem na segunda, e alguém vence na terceira rodada: (4/9).(4/9).(5/9) ninguém vence na primeira, nem na segunda, nem na terceira, e alguém vence na quarta rodada: (4/9).(4/9).(4/9).(5/9) Como esses eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade pedida é: = = 9 79 =