Aula 16 - Erivaldo. Probabilidade

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Herman Amaral Beltrão
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1 Aula 16 - Erivaldo Probabilidade

2 Probabilidade Experimento aleatório Experimento em que não pode-se afirmar com certeza o resultado final, mas sabe-se todos os seus possíveis resultados. Exemplos: 1) Lançar um dado o observar o número que está na face voltada para cima. 2) Sortear um número, entre os 20 primeiros naturais positivos.

3 Probabilidade Espaço Amostral Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1) Experimento: Lançar um dado honesto Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2) Experimento: Lançar uma moeda honesta Espaço Amostral: E = { cara, coroa }

4 Probabilidade Evento Subconjunto do espaço amostral Exemplos: 1) Aparecer um número par no lançamento de um dado. Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Evento: A = { 2, 4, 6 }

5 Probabilidade Evento Subconjunto do espaço amostral Exemplos: 2) Obter-se um número primo no sorteio de um número, entre os 20 primeiros naturais positivos. Espaço Amostral: E = { 1, 2,...,19, 20 } Evento: A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }

6 Problema 01 Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Descreva os seguintes eventos: a) O número obtido é par: A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } b) O número obtido é primo: c) O número obtido é maior que 15: d) O número obtido é múltiplo de 2 e de 3: B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } C = { 16, 17, 18, 19, 20 } D = { 6, 12, 18 } e) O número obtido é múltiplo de 6 ou de 9: E = { 6, 9, 12, 18 }

7 Problema 02 Um dado é lançado e observa-se o número da face superior. Determine a probabilidade desse número ser par. Resolução Intuitiva: São seis resultados e metade deles é par, portanto: A probabilidade será de: 50%

8 Problema 02 Um dado é lançado e observa-se o número da face superior. Determine a probabilidade desse número ser par. Resolução : Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(e) = 6 Evento: A = { 2, 4, 6 } n(a) = 3 Probabilidade: a probabilidade é de três para seis P(A) = n(a) n(e) P(A) = 3 6 P(A) = 1 2 = 0,5 P(A) = 50%

9 Probabilidade Definição : Sendo: n(e) : número de elementos do espaço amostral. n(a) : número de elementos do evento A. A probabilidade de ocorrer o evento A é dada por: P(A) = n(a) n(e)

10 Problema 03 Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a probabilidade de ocorrer: a) um número maior que 4. b) um número menor que 5. c) um número menor que 11. d) um número maior que 15.

11 Problema 03 Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a probabilidade de ocorrer: a) um número maior que 4. Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3,..., 10 } n(e) = 10 Evento: A = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } n(a) = 6 Probabilidade: P(A) = n(a) n(e) P(A) = 6 10 P(A) = 3 5 = 0, 6 P(A) = 60%

12 Problema 03 Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a probabilidade de ocorrer: b) um número menor que 5. Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3,..., 10 } n(e) = 10 Evento: A = { 1, 2, 3, 4 } n(a) = 4 Probabilidade: P(A) = n(a) n(e) P(A) = 4 10 P(A) = 2 5 = 0, 4 P(A) = 40%

Problema 03 Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a probabilidade de ocorrer: c) um número menor que 11.

13 Problema 03 Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a probabilidade de ocorrer: c) um número menor que 11. Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3,..., 10 } n(e) = 10 Evento: A = { 1, 2, 3,..., 10 } n(a) = 10 Probabilidade: P(A) = n(a) n(e) P(A) = P(A) = 1 Evento Certo P(A) = 100%

14 Problema 03 Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a probabilidade de ocorrer: d) um número maior que 15. Espaço Amostral: E = { 1, 2, 3,..., 10 } n(e) = 10 Evento: A = { } = n(a) = 0 Probabilidade: P(A) = n(a) n(e) P(A) = 0 10 P(A) = 0 Evento Impossível P(A) = 0%

15 Probabilidade Observações: Sendo E o espaço amostral de um experimento aleatório e A um evento deste espaço, então: i) P(E) = 1 ii) P( ) = 0 iii) 0 P(A) 1 iv) P(A) + P(A) = 1

16 Problema 04 (UELONDRINA) Uma senhora tem quatro filhos: Carlos, que tem 6 filhos, André que tem 5, Norma que tem 4 e José que tem 5. Essa senhora quer dar um objeto a um de seus netos e resolveu fazê lo por sorteio. Atribuiu um número distinto a cada neto, escreveu cada número em um pedaço de papel, colocou os papéis numa urna e retirou um deles ao acaso. A probabilidade de que o neto sorteado seja filho de Carlos é: a) 30% b) 32% c) 45% d) 50% e) 60%

17 Problema 04 Uma senhora tem quatro filhos: Carlos, que tem 6 filhos, André que tem 5, Norma que tem 4 e José que tem 5. A probabilidade de que o neto sorteado seja filho de Carlos é: a) 30% b) 32% Resolução c) 45% d) 50% e) 60% São, no total, 20 netos, dos quais 6 são filhos de Carlos. Assim: Probabilidade: P(fC) = 6 20 P(A) = 30%

18 Problema 05 Em um grupo de 80 jovens, 16 praticam futebol, natação e voleibol; 24 praticam futebol e natação; 30 praticam futebol e voleibol; 22 praticam natação e voleibol; 16 praticam outros esportes. A probabilidade de escolher, ao acaso, um jovem desse grupo que pratique apenas um dos três esportes citados é de x%. O valor de x é... Futebol, Natação e Vôlei 16 Resolução: 24 Futebol e Natação Futebol e Vôlei Natação e Vôlei Outros esportes Total

Problema 05 F, N e V 16 F e N 24 F e V 30 N e V 22 F a 8 16 14 6 b N

19 Problema 05 F, N e V 16 F e N 24 F e V 30 N e V 22 F a b N Outros 16 Total c V Total = 80 a + b + c = 80

20 Problema 05 a + b + c = 80 a + b + c = 20 A probabilidade de escolher, ao acaso, um jovem desse grupo que pratique apenas um dos três esportes citados é de x%. O valor de x é... Total de jovens: 80 x = 25 Jovens que praticam apenas um esporte: 20 Probabilidade: P(A) = P(A) = 25%

21 Problema 06 Um dado verde e outro violeta serão lançados sobre uma mesa, observando-se os números contidos nas faces voltadas para cima. Determine: a) A probabilidade de que a soma dos números seja 6. b) A probabilidade do número encontrado no dado verde seja menor do que o obtido no violeta.

22 Problema 06 Um dado verde e outro violeta serão lançados sobre uma mesa, observando-se os números contidos nas faces voltadas para cima. Resolução : Espaço Amostral: 36 pares (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (4,5) (6,6)

23 Problema 06 Determine: a) A probabilidade de que a soma dos números seja 6. Resolução : Espaço Amostral: 36 pares Evento (soma 6) : {(1,5) ; (5,1) ; (2,4) ; (4,2) ; (3,3)} Probabilidade: P(A) = 5 36

24 Problema 06 Determine: b) A probabilidade do número encontrado no dado verde seja menor do que o obtido no violeta. Resolução : Espaço Amostral: 36 pares Probabilidade: P = = (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (4,5) (6,6)

25 Problema 07 (VUNESP) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha e se essa for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? a)10/36 b) 5/32 c) 5/36 d) 5/35 Resolução: Espaço Amostral : 36 pares Para A ganhar: (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2) Para B ganhar: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4)

26 Problema 07 Sabe se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? a)10/36 b) 5/32 c) 5/36 d) 5/35 Resolução: Espaço Amostral : 36 pares Para A ganhar: (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2) Para B ganhar: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4) Se A não ganhou, então o Espaço Amostral é de: 32 pares P(B / A) = 5 32

27 Problema 08 No lançamento de um dado honesto, qual aprobabilidade de sair um número ímpar, sabendo que o resultado é um número primo. Resolução:

28 Problema 09 Uma loja de equipamentos automotivos realizou pesquisa durante um mês para avaliar o perfil dos seus clientes em relação ao sexo e a faixa etária (jovem ou adulto), e obteve os seguintes resultados : - 80% do total é do sexo masculino ; - 40% do total são jovens ; - 50% do total de mulheres é adulta ; Com base nos dados acima determine a probabilidade de, num sorteio realizado entre os clientes pesquisados, obtermos: a) um cliente adulto; b) um cliente jovem e do sexo masculino ; c) um cliente jovem sabendo que é do sexo masculino.

29 Problema 09 Resolução: Dados: - 80% do total é do sexo masculino ; - 40% do total são jovens ; - 50% do total de mulheres é adulta ; Jovem Adulto Total Homem Mulher Total

30 Problema 09 Homem Mulher Total Jovem Adulto Total a) um cliente adulto. P(A) = = 60% b) um cliente jovem e do sexo masculino. P(H) = = 30% c) um cliente jovem sabendo que é do sexo masculino. P(J / H) = = 3 8

31 Problema 09 Jovem Adulto Homem Mulher Total Total P(A / M) = = 1 2 = 50% P(H / A) = = 5 6 = 83,3%

32 Problema 10 Três cavalos A,B e C disputam uma corrida. É duas vezes mais provável que A vença do que B e duas vezes mais provável que B vença do que C. Quais são as suas respectivas probabilidades de vencer? Resolução: Probabilidades: P(C) = x P(B) = 2x P(A) = 4x P(A) + P(B) + P(C) = 1 x + 2x + 4x = 1 x = 1/7 Portanto: P(C) = 1/7 P(B) = 2/7 P(A) = 4/7

33 Aula 16 - Erivaldo FIM

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