PROBABILIDADE CONTEÚDOS

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1 PROBABILIDADE CONTEÚDOS Experimentos aleatórios Eventos Probabilidade Probabilidade de união de dois eventos Probabilidade de eventos independentes Probabilidade condicional AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Experimentos aleatórios Jogue para o alto um dado de seis faces, que são enumeradas de a 6 Antes dele cair no chão, você seria capaz de dizer qual é o número apresentado na face voltada para cima? Suponha que nessa primeira jogada, a face voltada para cima apresenta o número, neste caso, você saberia dizer se, realizando o lançamento do dado mais uma vez, a face que cairá voltada para cima será novamente a face que apresenta o número? Figura - Dados Africa Studio /shutterstockcom Pode parecer estranho, mas para responder essas perguntas vamos começar pela segunda A situação colada é identificada como experimento aleatório, isto é, mesmo que o dado seja jogado n vezes, tendo as mesmas condições, o resultado é imprevisível Portanto, ao jogar o dado uma vez e obter o número, não significa que no próximo lançamento, o valor obtido também será o número

2 Agora vamos a pergunta, nela também temos a ocorrência de um evento aleatório, e apesar de não conhecer qual será o resultado em um experimento, é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer Esse conjunto é identificado como espaço amostral No lançamento de um dado, por exemplo, os resultados possíveis são:, 2, 3, 4, 5, 6 Esse é o conjunto que identificamos como espaço amostral Denominaremos esse conjunto como S, temos: S = {, 2, 3, 4, 5, 6} Agora que já conhecemos os resultados possíveis, vamos supor que ao lançar um dado, desejamos obter um número par De acordo com o espaço amostral, temos 3 possibilidades de obter o número par, essa ocorrência é chamada de evento O evento é um subconjunto do espaço amostral Identificaremos esse subconjunto pela letra E Vejamos mais alguns eventos que podem ser considerados no lançamento de um dado: º - Obter um número primo E = { 2, 3, 5} 2º - Obter um número ímpar E = {, 3, 5} 3º - Obter um número múltiplo de 2 E = { 2, 4, 6} Alguns eventos particulares recebem as seguintes identificações: evento certo, evento impossível, evento simples, evento complementar, eventos mutuamente exclusivos, evento união e evento intersecção Evento certo - O evento certo é aquele em que os elementos do espaço amostral são iguais aos elementos do evento Por exemplo, lançar um dado e obter um número natural Considerando que todos os números do dado são naturais, temos um evento com o número de elementos igual ao número de elementos do espaço amostral Evento impossível O evento impossível é aquele que possui um conjunto vazio Por exemplo, lançar um dado e obter o número 7 Tendo em vista que o dado tem suas faces numeradas de a 6, não há como lançar o dado e obter o número 7 Portanto esse evento é impossível

3 Evento simples Evento simples é aquele que possui um único elemento Por exemplo, lançar o dado e obter um múltiplo de 5 Sendo as faces de um dado enumeradas de a 6, temos apenas elemento múltiplo de 5 Portanto, esse evento é simples Evento intersecção O evento intersecção refere-se a ocorrência de dois eventos simultaneamente Veja como ocorre essa intersecção: Considere que um dado é lançado e vamos observar a face voltada para cima Neste caso, temos S = {, 2, 3, 4, 5, 6} O evento identificado como A será: A: ocorrência de um número ímpar A = {, 3, 5} O evento identificado como B será: B: ocorrência de um número maior ou igual a 3 B = {3, 4, 5, 6} A B = ocorrência de um número ímpar e maior que 3 A B = {3,5} Evento união Dados dois eventos A e B, o evento A B ocorrer somente quando há a ocorrência de A ou B (ou ambos) Podemos dizer que A B é a união entre o evento A e o evento B Vejamos um exemplo: Considerado que um dado é lançado e vamos observar a face voltada para cima Novamente temos como espaço amostral S = {, 2, 3, 4, 5, 6}

4 O evento A será: A: ocorrência de um número par A = {2,4, 6} O evento B será: B: ocorrência de um múltiplo de 3 B = { 3,6} Assim, temos: A B = ocorrência de um número par ou ocorrência de um múltiplo de 3 A B = { 2,3,4,6} Evento complementar Dado um evento A, de um espaço amostral S, identifica-se como evento complementar aquele formado por todos os elementos que não fazem parte de A Por exemplo: Seja o evento A a obtenção de um número primo no lançamento de um dado O complementar de A será a não obtenção de um número que não seja primo Para diferenciá-los, pode-se identificar esses eventos por meio da seguinte notação: A (identificação do evento A) A - (identificação do complementar de A) No exemplo dado, temos: S = {, 2, 3, 4, 5, 6} A = { 2, 3, 5} A = {, 6} Podemos ainda dizer que: A = S - A

5 Eventos mutuamente exclusivos Dados um evento A e B, dizemos que eles são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro Por exemplo: Evento A: No lançamento de um dado, obter a face voltada para cima um múltiplo de 2 A = {2, 4, 6} Evento B: No lançamento de um dado, obter a face voltada para cima ser um múltiplo de 5 B = {5} Esses eventos são identificados como mutuamente exclusivos porque não há intersecção entre eles Saiba mais: A B Lê-se: A união B A B Lê-se: A intersecção B O símbolo palavra ou representa a soma, ele pode ser representado pelo sinal de + ou pela O símbolo representa a multiplicação, ele pode ser representado pela palavra e ou pelo sinal de multiplicação A B = ocorre somente quando há a ocorrência de A, ou ocorrência de B, ou ambos A B = ocorre somente se A e B ocorrem A = ocorre somente se A não ocorrer

6 Probabilidade Lembra-se da primeira pergunta feita no início desse capítulo? Jogue para o alto um dado de seis faces, que são enumeradas de a 6 Antes dele cair no chão, você seria capaz de dizer qual é o número apresentado na face voltada para cima? Agora encontraremos uma resposta mais adequada para ela Pois afinal, não podemos dizer qual o número será apresentado na face voltada para cima, porém podemos calcular qual é a probabilidade de esta apresentar o número, por exemplo Para tanto, vamos compreender o que significa probabilidade Suponha um espaço amostral S e um evento E que está contido nesse espaço amostral S Identificamos como a probabilidade o número real P (E) obtido a partir da seguinte relação: P (E) = númerode casosfavoráveis númerode casospossíveis Número de casos favoráveis é o número de elementos do evento E Número de casos possíveis é o número de elementos de S Portanto, a probabilidade de obter o número no lançamento de um dado é: P(E) = 6 ou 6,67% Em uma probabilidade de espaços amostrais finitos, são válidas as seguintes condições: A probabilidade de ocorrência de um evento certo é igual a Se A e B são eventos, sendo A B, temos P (A) P (B) Se A é um evento, temos: 0 P(A) Se A e B são eventos, temos: P (A B) = P(A) + P (B), se A e B foram eventos mutuamente excludentes ( A B é vazio) A B Lê-se: A contido em B

7 Probabilidade da ocorrência de união de dois eventos Sendo A e B eventos contidos em um espaço S, o número de elementos da união dos eventos A e B será a soma dos elementos de A com os elementos de B, subtraído o número de elementos da intersecção dos dois eventos (A e B) Temos: P (A B) = P (A) + P (B) P ( A B) Por exemplo: Considere que um dado é lançado e vamos observar a probabilidade da face voltada para cima, ser um número par ou maior que 4 Assim temos: S = {, 2, 3, 4, 5, 6} A: conjunto dos números pares A = { 2, 4, 6} B: conjunto dos números maiores que 4 B = { 5, 6} A B: conjunto dos números pares e maiores que 4 A B = {6} P(A) = 6 3 P(B) = 6 2 P (A B) = 6 P (A B) = P (A B) = P (A B) = 6 4 ou 66,67%

8 Saiba mais Quando calculamos P(A) + P(B), as probabilidades dos eventos contidos em A B são contabilizados 2 vezes Para o conjunto A e para o conjunto B Portanto: P (A B) = P (A) + P (B) P ( A B) Para eventos mutuamente exclusivos, ( A B) = ( conjunto vazio) Portanto: P (A B) = P (A) + P (B) Probabilidade de eventos independentes Dois eventos, de um mesmo espaço amostral, são chamados de independentes quando a ocorrência de um, não interfere na ocorrência do outro Para os eventos independentes a probabilidade de que eles ocorram simultaneamente é igual o produto de suas probabilidades Assim temos: P (A B) = P(A)P(B) Vejamos um exemplo: Em uma caixa há 5 bolas azuis e 0 vermelhas Qual é a probabilidade de retirarmos duas bolas dessa caixa e a primeira ser azul e a segunda ser vermelha? Se na caixa há 5 bolas azuis e 0 vermelhas, há um total de 5 bolas A probabilidade de ocorrer o evento independente A: a bola retirada ser azul é: P(A) = Como a segunda bola será retirada sem reposição, restam na caixa apenas 4 bolas (4 azuis e 0 vermelhas), isso porque já foi retirado uma bola azul A probabilidade de ocorrer o evento independente B: a 2ª bola retirada é vermelha é:

9 P(B) = A probabilidade da ª bola ser azul e a 2ª ser vermelha, é dada pelo produto: P(A)(PB) = Probabilidade condicional Sendo A e B eventos de um espaço amostral S, denomina-se probabilidade condicional, a qual identifica-se pela expressão P (A/B), a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B tenha ocorrido Isto é, a ocorrência do evento A está condicionada a ocorrência do evento B Vejamos um exemplo: Vamos considerar que os 60 alunos do 7º ano de uma escola foram classificados pelo sexo e pela idade, conforme visualizamos na tabela Idade Sexo 2 anos 3 anos Masculino 4 6 Feminino 20 0 Vamos considerar que um aluno é sorteado ao acaso, e temos os seguintes eventos: A: O aluno deverá ter mais que 2 anos B: O sorteado deverá ser do sexo feminino Para calcular a P(A/B), devemos lembrar que A só ocorrerá se B ocorrer Veja que o evento B está relacionado a um aluno que seja do sexo feminino, assim temos um espaço amostral de 30 alunos Porém, teremos esse espaço reduzido porque temos apenas 0 pessoas do sexo feminino maiores que 2 anos

10 Assim: P(A/B) = A B Portanto, temos: P(A/B) = P(B) A probabilidade da ocorrência de P(A/B) é diferente da probabilidade de P(B/A) Considerando os mesmos eventos, vamos calcular a probabilidade de P (B/A) A: O aluno deverá ter mais que 2 anos B: O sorteado deverá ser do sexo feminino Para calcular P(B/A) devemos lembrar que B só ocorre se A ocorrer Veja que o evento A está relacionado a um aluno que apresente a idade maior que 2 anos Assim, temos um espaço amostral de 26 alunos Porém, esse espaço é reduzido porque temos apenas 0 pessoas do sexo feminino Assim, P(B/A) = Multiplicação de probabilidades Para compreender a multiplicação das probabilidades, vamos partir de uma situação-problema Para uma competição, os estudantes de uma classe foram divididos em 3 grupos No grupo havia 5 meninas e 7 meninos No grupo 2 havia 8 meninas e 4 meninos e no grupo 3 havia 6 meninos e 6 meninas Um grupo é escolhido ao acaso e desse grupo é sorteado um aluno que ganhará um prêmio Qual é a probabilidade do sorteado ser um aluno do grupo e menino? Para responder essa pergunta, vamos pensar em uma árvore de possibilidades Observe:

11 Como será escolhido ao acaso um grupo, a probabilidade é de 3 para cada grupo Observe que a árvore de possibilidades traz as seguintes informações: Escolhido o grupo, vamos calcular as probabilidades condicionais de ser sorteado de certo grupo, uma criança de determinado sexo Assim, temos: G : sortear o grupo M: sortear um menino Desejamos que ocorra o evento G M De acordo com a árvore de possibilidades, temos:

12 v P (G M )= P (G M )= 36 Veja que: P (G M )= P (G ) P (M/G ) Acompanhe: P (G )= 3 P (M/G ) = P( M G ) P( G ) P (M/G ) = P (M/G ) =

13 Logo, P (G ) P (M/G ) = P (G) P (M/G ) = Portanto, podemos dizer que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos (P (A B)) é igual ao produto da probabilidade de um deles, pela probabilidade do outro em relação ao primeiro ATIVIDADES Na competição, estão presentes dois grandes campeões Dentre os oito participantes, é garantido que esses campeões cheguem em º e 2º lugar Assim, ficará para os demais disputarem apenas o 3º lugar Marcos é um dos competidores que disputará essa classificação, e portanto, qual é a probabilidade dele receber a medalha de bronze (medalha oferecida aos atletas que chegam em terceiro lugar)? 2 Em um festival de música sertaneja, em uma mesma noite, houve a apresentação de 4 duplas sertanejas Durante o show, foi realizada uma pesquisa com 000 pessoas, a intenção era saber como estava dividido o público em relação a preferência por determinada dupla Em relação à pesquisa, foram obtidas as seguintes respostas: Quantidade de pessoas que tem preferência pela dupla Dupla A 50 Qual é a sua dupla preferida? Dupla B 350 Dupla C 300 Dupla D 200

14 Se para os participantes dessa pesquisa, for sorteado um ingresso para o próximo festival sertanejo, qual é a probabilidade do ganhador ser uma pessoa que tem preferência pela dupla D? 3 (UERJ - 2º exame de qualificação 203/42) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a: a) 0,48 b) 0,40 c) 0,36 d) 0,25 4 (UERJ 2 Exame de qualificação) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 0 cores diferentes, sendo 0 bolas de cada cor Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso Observe a ilustração: Inserindo-se 3 moedas, uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina libere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é aproximadamente de: a) 0,008 b) 0,025 c) 0,040 d) 0,072

15 5(ENEM - 202) Em um jogo há duas urnas com 0 bolas de mesmo tamanho em cada urna A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna Uma jogada consiste em: º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha

16 6 (ENEM -203) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março 202 Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro entre os compradores do produto B Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 202? a) 20 3 b) c) 22 6 d) 25 e) 5 7 INDICAÇÕES Para você explorar um pouco mais a probabilidade, consulte os links indicados a seguir Podcast Probabilidade Disponível em: DispFormaspx?ID=3&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Eb r%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza%2fpodcasts%2fpaginas%2fpodcastem%2 Easpx O link traz um podcast que aborda a probabilidade No endereço indicado, além do podcast, você encontrará uma atividade com uma série de exercícios relacionados ao conteúdo

17 OBMEP Probabilidade Disponível em: O link traz uma série de vídeos que abordam o tema probabilidade Podcast - A História da Probabilidade Disponível: No link você encontrará um podcast que conta a história da probabilidade Probabilidade - Eventos independentes Disponível em: No link você encontrará um artigo que aborda a Teoria das Probabilidades considerando eventos independentes REFERÊNCIAS AFRICA STUDIOIn: SHUTTERSTOCK Red dices isolated on white Disponível em:< Acesso em: 9 out 206 0h INEP ENEM 202 Prova Amarela Disponível em:< m_amarelopdf> Acesso em: 6 maio 206 2h INEP ENEM 203 Prova Amarela Disponível em: m_amarelopdf> Acesso em: 20 out 206 6h INEP ENEM 204 Prova Amarela Disponível em:< 2_05_AMARELOpdf> Acesso em: 3 set 206 h SILVA, Claudio Xavier Filho, Benigno Barreto Matemática: Aula por Aula 2ª série 2ª ed São Paulo: FTD, 2005 p UERJ 2º exame de qualificação 20 Disponível em:< Acesso em: 9 out 206 5h40min UERJ 2º exame de qualificação 203 Disponível em: < Acesso em: 9 out 206 5h

18 GABARITO Se o º e 2º lugar já estão garantidos por dois competidores, restam, para disputar o 3º lugar, apenas 6 atletas, sendo Marcos um deles Assim, temos: Evento: Marcos ganhar em 3º lugar P(E) = Número de casos favoráveis Número de casos possívies P(E) = 6 2 Neste caso, temos: Evento: O ganhador do ingresso ser um fã da dupla D P(E) = Número de casos favoráveis Número de casos possívies 200 P(E) = 0, 2 0,200 = 20% 000 Portanto, a probabilidade do ganhador do ingresso ser um fã da dupla D, é de 20% 3 A alternativa correta é a letra A Sabemos que 20% marcaram a opção certa, e devemos considerar que somente dos dois alunos que terão suas respostas verificadas, apresentará a resposta correta Assim, temos: Primeiro, vamos fazer as seguintes identificações: Vamos chamar de grupo, os alunos que pertencem aos 20% que marcaram a opção correta A probabilidade de acertos, vamos identificar como P(A) Vamos chamar de grupo 2, os alunos que pertencem aos 80% que escolheram ao acaso uma das 4 alternativas Dentre esses 80%, temos os alunos que erram e os que acertaram Vamos identificar como E a probabilidade de erro e A a probabilidade de acerto Tendo apenas resposta correta, dentre 4, a probabilidade de acerto para esses 80% é de: 80 20% 4

19 Tendo 3 respostas incorretas, dentre as 4 possibilidades, a probabilidade de erro para esses 80% é de: % Conhecida essas probabilidades, devemos considerar que: A probabilidade de acerto é de 40% (20% + 20%) E a probabilidade de erro é de 60% Ao verificar as respostas de dois alunos, considerando que exatamente estará certa, temos a seguinte probabilidade: P(A)P(E) + P(E)P(A) = 0,40,6 + 0,60,4 (P(A)P(E) + P(E)P(A) = 0,24 + 0,24 (P(A)P(E) + P(E)P(A) = 0,48 4 A alternativa correta é a letra B Se na máquina há 0 cores diferentes e cada cor tem 0 bolas, devemos considerar que na máquina há 00 bolas Desejamos calcular a probabilidade de que saiam exatamente duas brancas, vamos identificar esse evento como P(B) Em uma das retiradas, a bola não pode ser branca, vamos chamar esse evento como P( B ) (probabilidade de não sair branca) Considerando que a máquina tem 0 bolas brancas e 90 não brancas Assim, temos: P(B) P(B) P( B ) + P(B) P( B ) P(B) + P( B ) P(B) P(B) = 0,025 5 A alternativa correta é a letra E Para determinar qual será a melhor escolha, vamos calcular a probabilidade de retirada para cada urna

20 Considerando que o palpite refere-se a bola amarela Neste caso, ele pode: Retirar da urna uma bola amarela e da urna 2 uma bola amarela, ou não retirar da urna uma bola amarela e retirar da urna 2 uma bola amarela Assim, considerando o palpite de bola amarela, a probabilidade é Considerando que o palpite refere-se a bola azul, temos as seguintes situações: Retirar da urna uma bola azul e da urna 2 uma bola azul, ou não retirar da urna uma bola azul, e retirar da urna 2 uma bola azul Assim, considerando o palpite de bola azul, a probabilidade é Considerando que o palpite refere-se a bola verde, temos as seguintes situações: Retirar da urna uma bola verde e da urna 2 uma bola verde, ou não retirar da urna uma bola verde, e retirar da urna 2 uma bola verde Assim, considerando o palpite de bola verde, a probabilidade é

21 Considerando que o palpite refere-se a bola branca, temos as seguintes situações: Retirar da urna uma bola branca e da urna 2 uma bola branca, ou não retirar da urna uma bola branca, e retirar da urna 2 uma bola branca Assim, considerando o palpite de bola branca, a probabilidade é Considerando que o palpite refere-se a bola vermelha, temos as seguintes situações: Retirar da urna uma bola vermelha e da urna 2 uma bola vermelha, ou não retirar da urna uma bola vermelha, e retirar da urna 2 uma bola vermelha Assim, considerando o palpite de bola vermelha, a probabilidade é Portanto, a maior possibilidade é de retirada da bola vermelha 6A alternativa correta é a letra A De acordo com os dados do gráfico, os compradores do produto A, totalizam 00, e do produto B, totalizam 20 No mês de fevereiro, compraram o produto A, 30 pessoas, e o produto B, 20 Assim temos: