1)(Insper 2013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau.

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1 Centro de Estudos Matemáticos Florianópolis Professor: Erivaldo Função Afim SUPERSEMI Santa Catarina 1)(Insper 2013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau. O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é a) b) d) c) e)

2 Centro de Estudos Matemáticos 2)(Upe 2013) Um dos reservatórios d água de um condomínio empresarial apresentou um vazamento a uma taxa constante, às 12 h do dia 1º de outubro. Às 12 h dos dias 11 e 19 do mesmo mês, os volumes d água no reservatório eram, respectivamente, 315 mil litros e 279 mil litros. Dentre as alternativas seguintes, qual delas indica o dia em que o reservatório esvaziou totalmente? a) 16 de dezembro b) 17 de dezembro c) 18 de dezembro d) 19 de dezembro e) 20 de dezembro 3)(Unicamp 2013) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. Tempo (segundos) Velocidade (km/h) b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a km/h.

3 Centro de Estudos Matemáticos 4)(Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 23,8 cm 42 27,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x 20) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n 1 = 5, em que n k = f (c k), com k natural, calcule o comprimento c 5.

4 Centro de Estudos Matemáticos 5)(Ufmg 2013) A fábula da lebre e da tartaruga, do escritor grego Esopo, foi recontada utilizando-se o gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais. Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam uma corrida em uma pista de 200 metros de comprimento. As duas partem do mesmo local no mesmo instante. A tartaruga anda sempre com velocidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga. Considerando essas informações, a) DETERMINE a velocidade média da tartaruga durante esse percurso, em metros por hora. b) DETERMINE após quanto tempo da largada a tartaruga alcançou a lebre. c) DETERMINE por quanto tempo a lebre ficou dormindo.

5 Centro de Estudos Matemáticos 6)(Ufsm 2013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. Fonte: Disponível em < Acesso em: 7 jun (adaptado) O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.

6 Centro de Estudos Matemáticos 7)(Insper 2013) Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. mês jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez temperatura média mensal (graus Celsius) bolas de sorvete Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax+ b, sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta: É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado? Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é: a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas. b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.

7 Centro de Estudos Matemáticos 8)(Ufrgs 2012) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x 2x 2 1 e g(x) = 3 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) é a) 4. b) 2. c) 0. d) 3. e) 4. 9)(Fgv 2012) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês? a) 1740 b) 1750 c) 1760 d) 1770 e) )(Fgv 2012) Quando o preço por unidade de certo modelo de telefone celular é R$ 250,00, são vendidas 1400 unidades por mês. Quando o preço por unidade é R$ 200,00, são vendidas 1700 unidades mensalmente. Admitindo que o número de celulares vendidos por mês pode ser expresso como função polinomial do primeiro grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço for R$ 265,00, serão vendidas: a) unidades b) unidades c) unidades d) unidades e) unidades

8 Centro de Estudos Matemáticos 11)(Ucs 2012) Considere as funções definidas por: I. f( x) = + 9,8x 50 II. f( x) = 900( 0,5) x III. f( x) = 0,5x+ 800 IV. f( x) = 0,005x+ 750 V. f( x) = 15,3x VI. f( x) = 9,8x 50 Analisando essas funções, diga qual delas pode representar, respectivamente, o modelo matemático para cada relação descrita abaixo. ( ) Relação entre o salário mensal de um vendedor e o valor total das vendas por ele efetuadas no mês, considerando que ele recebe, além do seu salário fixo, uma comissão de 0,5% sobre o valor de suas vendas. ( ) Relação entre a quantidade de litros de gasolina no tanque de um automóvel e o número de quilômetros rodados, sem abastecimento. ( ) Relação entre o numero de metros quadrados de área verde em uma cidade e o número de seus habitantes, considerando que a quantidade de área verde é proporcional ao número de habitantes. Assinale a alternativa que preenche corretamente os parênteses, de cima para baixo. a) III I V b) III VI II c) III I II d) IV VI II e) IV I V 12)(Ufsj 2012) Os gráficos das funções f(x) = 2, g(x) = 2x 4 e h(x) = x + 2 delimitam uma região do plano cartesiano, cuja área, em unidades de área, é a) 6 b) 2 c) 3 d) 4

9 Centro de Estudos Matemáticos 13)(Ufpr 2012) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m. b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso? 14)(Uepa 2012) O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dummler (1996), existe uma relação linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode ser expressa por y = ax+ b, onde y representa o volume cardíaco em mililitros (ml) e x representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é: a) y = 0,91x 585 b) y = 0,92x+ 585 c) y = 0,93x 585 d) y = + 0,94x 585 e) y = 0,95x 585

10 Centro de Estudos Matemáticos 15)(Ufg 2012) Um estudante observa a construção de dois prédios, A e B, marcando em um gráfico a altura de cada edifício, em cada semana de observação. O progresso das construções mantém um ritmo constante, de modo que o estudante obtém os gráficos a seguir: Em uma determinada semana, o estudante constata, de um ponto da rua onde se encontra, que os topos dos prédios alinham-se a uma elevação de 45, como indica a figura a seguir. Com base nos dados apresentados, determine em qual semana ocorreu essa observação.

11 Centro de Estudos Matemáticos Gabarito: 01) c 02) e 03) a) 1050 km/h. b) Velocidade:1350 km/h; Tempo: 37,5s. 04) a) x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3. b) c 5 = 24,2 cm 05) a) 50m/h b) 1 hora c) 3 horas e 45 min. 06) b 07) c 08) c 09) b 10) c 11) e 12) c 13) a) f(x) = 3x + 70 b) 1,66 metros. 14) e 15) 37 a semana.

12 Centro de Estudos Matemáticos Resoluções: Questão 01: Como o gráfico de f passa pelos pontos ( 2, 0) e (0, 2), segue que f(x) = x + 2. Além disso, como o gráfico de g passa pelos pontos (0, 0) e (0,1), temos que 2 g(x) = ax ax, com a 0. > Portanto, 2 h(x) = ax (a 1)x + 2. Desse modo, o gráfico de h intersecta o eixo y no ponto de ordenada 2 e tem sua concavidade voltada para cima. A abscissa do vértice do gráfico de h é dada por (a 1) x v = = <. 2a 2 2a 2 Finalmente, como f(1) = 3 e g(1) = 0, segue que h(1) = f(1) + g(1) = 3 e, portanto, o gráfico que melhor representa a função h é o da alternativa [C]. Questão 02: Seja V :N R a função definida por V(t) = at + b, em que V(t) é o volume de água no reservatório, em milhares de litros, após t dias. Sabendo que o gráfico de V passa pelos pontos (11, 315) e (19, 279), vem a = = Logo, 9 V(11) = b = b =. 2 Queremos calcular t de modo que V(t) = 0. Portanto, t+ = 0 t = 81, 2 2 ou seja, como , = + + o reservatório esvaziou totalmente no dia 20 de dezembro.

13 Centro de Estudos Matemáticos Questão 03 a) v = 35.t, onde t é o tempo e v a velocidade. No 30º segundo, a velocidade será dada por: v = = 1050 km/h. b) De acordo com o gráfico, temos: A velocidade máxima está entre 1300 km/h e a 350 km/h, um valor aproximado seria 1350 km/h; O tempo que Felix superou a velocidade do som é maior que 30 e menor que 45; uma aproximação seria 37,5s. Questão 04 a) t(x) = ax + b 27,3.a + b = 42 23,8.a + b = 35 Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = 12,6. Logo t(x) = 2x 12,6. Agora escrevendo x em função de t, temos: x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3. b) 5.(x 20) f(x) = 3 n 1 = 5, n 2 = 5,5, n 3 = 6, n 4 = 6,5 e n 5 = 7. 5.(c 20) Fazendo 7 = 5, temos: 5 c = 21 5 c 5 = 121 c = 24,2 cm 5 3

14 Centro de Estudos Matemáticos Questão 05 a) Velocidade média da tartaruga é o coeficiente angular da reta que representa seu deslocamento: m 5 m = = =. = 50m/h min 6 1 h 60 b) Equação da posição y da tartaruga (m) em função do tempo x (minutos): Equação da posição y (m) da lebre no instante do encontro: y = 50 5 y = x 6 Resolvendo a igualdade 5 x = 50, temos x = 60 min = 1 hora 6 Portanto, a lebre e a tartaruga se encontrarão 1 hora após o início da corrida. c) As velocidades são iguais, portanto os coeficientes angulares das duas retas são iguais: = = 10 t 230mim = (tempo em que a lebre voltou a correr 245 t t depois que acordou) Portanto, a lebre ficou dormindo = 225 min = 3 horas e 45 min. Questão 06 Função da demanda: 7,2 6,7 1 y = x+ 6,7 y = x 6, Função da capacidade: 8 4 y = x+ 4 y = x Resolvendo um sistema com as duas equações, temos y ; 7,085 milhões. Questão 07 jan fev Δy a = = = 20 Δx 30 29

15 Centro de Estudos Matemáticos Questão 08 f(x) = g(x) 2 2x + 4x 1= 3 2x 2 2x + 6x = 4 0 x = 1 e x = Portanto: 2 2 f(1) + f(2) = 2(1) + 4(1) 1 + 2(2) + 4(2) 1 0. = Questão 09 Custo: ( ) Receita: ( ) Cx = x+ 5000= 10x R x = x 15x 1000 Lucro: L( x) = R( x ) C( x) L( x) = 15x ( 10x+ 5000) L( x) = 5x 5000 L1350 ( ) = ( ) 5000 L1350 = 1750 ( ) Questão 10 Admitindo que o número de celulares vendidos por (y) mês possa ser expresso como função polinomial do primeiro grau do seu preço (x). Portanto, y = a x+ b. Resolvendo o sistema a = = 6 e b = 250 a b +, temos: 1200 = 200 a b+ Logo, y = 6x ; se o preço for 265 reais, serão vendidos y = = 1310 unidades.

16 Centro de Estudos Matemáticos Questão 11 A comissão de 0,5% do vendedor sobre o valor total das vendas x, corresponde a uma taxa de variação de 0,005. Logo, o modelo matemático que descreve essa relação pode ser f(x) = 0,005x Supondo que o consumo do automóvel seja constante, segue que a quantidade de litros de gasolina no tanque diminui, na medida em que o número de quilômetros rodados aumenta. Assim, essa relação pode ser descrita pelo modelo f(x) = + 9,8x 50. Se a quantidade de área verde é proporcional ao número de habitantes da cidade, então o modelo f(x) = 15,3x pode descrever essa relação. Questão 12 Esboçando o gráfico das funções f, g e h, obtemos a figura abaixo. A área pedida corresponde à área do triângulo ABC. Como o gráfico de f é paralelo ao eixo x, basta calcularmos a abscissa do ponto B. Assim, g(x) = 2 2x 4 = 2 x = 3 B e, portanto, a área do triângulo ABC é igual a 23 = 3u.a. 3

17 Centro de Estudos Matemáticos Questão 13 a) Função do primeiro grau, onde x é o comprimento do úmero e y é a altura do indivíduo. Logo: {f(x) = y f(x) = ax + b f(40) = 190 f(40) = a(40) + b 40a + b = 190 a = 3 f(30) = 160 f(30) = a(30) + b 30a + b = 160 b = 70 Portanto, f(x) = 3x + 70 b) Para x = 32 f(32) = 3(32) + 70= 166 Portanto, a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso era de 1,66 metros. Questão 14 Como a reta passa pelos pontos (1400, 745) e (2000,1315), segue que a sua taxa de variação é a = = = 0, Por outro lado, o valor inicial é tal que = b b = b = Portanto, a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é y = 0,95x 585.

18 Centro de Estudos Matemáticos Questão 15 Prédio A: y = 3x+ 30 Prédio B: y = 5x+ 15 De acordo com a figura, a diferença entre as alturas é 50. Logo: 5x + 15 ( 3x + 30) = 59 2x = 74 x = 37 Resp.: Na 37 a semana.