Geometria Analítica Fundamentos

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1 Geometria Analítica Fundamentos 1. (Eear 017) Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, 1) e C(5, 3). O ponto é o baricentro desse triângulo. a) (,1). b) (3, 3). c) (1, 3). d) (3,1).. (Ita 017) Considere a reta r : y x. Seja A (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é a) 9. 5 b) 1. 5 c) d) 1. 5 e) (Ufjf-pism 3 016) Considere os pontos A (, 0), B ( 1, 3) e C ( 1, 3) em um plano cartesiano. a) Determine o ângulo ABC. b) Calcule a área do triângulo ABC. 4. (Eear 016) Considere os pontos A(, 8) e B(8, 0) A distância entre eles é de a) 14 b) 3 c) 3 7 d) (Eear 016) Considere os segmentos de retas AB e CD, onde A(0,10), B(,1), C(, 3) e D(4, 3). O segmento MN, determinado pelos pontos médios dos segmentos AB e CD é dado pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente a AB e a CD. Assinale a alternativa que corresponde corretamente a esses pontos. 1 a) M, 1 e N( 1, 3) b) M(,10) e N( 1, 3) c) M(1, ) e N(1, 3) d) M(1,11) e N(1, 3) Página 1 de 14

2 6. (Eear 016) O triângulo determinado pelos pontos A( 1, 3), B(,1) e C(4, 3) tem área igual a a) 1 b) c) 3 d) 6 7. (Enem 016) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xoy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro. Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para. O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de a) b).50. c).800. d) e) Página de 14

3 8. (Enem 015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são a) (90; 0). b) (410; 0). c) (410; 0). d) (440; 0). e) (440; 0). 9. (Eear 017) O triângulo ABC formado pelos pontos A (7, 3), B ( 4, 3) e C ( 4, ) é a) escaleno b) isósceles c) equiângulo d) obtusângulo 10. (G1 - ifsc 016) O plano cartesiano representado abaixo mostra o deslocamento de uma pessoa por 4 pontos diferentes, no interior do pavilhão da Oktoberfest. Considere que essa pessoa partiu do ponto A e formou, com seu trajeto, segmentos de reta entre os pontos consecutivos A, B, C e D, nessa ordem. Em uma escala em metros, é CORRETO afirmar que ela se deslocou a) 5(3 5 5) m. b) (3 5 5) m. c) 53 m. d) (3 7) m. e) 4(3 5 5) m. Página 3 de 14

4 11. (Feevale 016) Na figura a seguir, o ponto A representa uma praça, e o ponto B, uma livraria. Considerando quilômetro (km) como unidade de medida, a menor distância entre a praça e a livraria é de aproximadamente a) 4 km. b) 5 km. c) 6 km. d) 7 km. e) 8 km. 1. (G1 - cftrj 016) O professor pediu a João que calculasse a distância entre os pontos A (, 1) e B (6, 4) no plano cartesiano. Para isso, João calculou a medida do segmento AB, observando um triângulo retângulo que tem AB como hipotenusa. Após realizar o esboço abaixo, João fez a seguinte conta: d 3 4 d 5. Com base nessas informações, calcule a distância entre os pontos ( 5, 1) e (7, 6). 13. (Pucrj 016) Sejam os pontos A (0, 0) e B (3, 4). a) Qual é a distância entre A e B? b) Sabemos que a área do triângulo ABC é igual a 4 e que o vértice C pertence à reta de equação x y. Determine o ponto C. Página 4 de 14

5 14. (Pucmg 015) Quando representados no sistema de coordenadas xoy, o ponto B é o simétrico do ponto A( 3,) em relação à origem O; por sua vez, o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida da área do triângulo ABC é igual a: a) 8 b) 9 c) 10 d) (G1 - ifsul 015) Sejam as funções reais de variável real: f(x) x 1 e É correto afirmar, em relação aos seus gráficos, que a) não possuem pontos em comum. b) possuem apenas um ponto em comum. c) possuem dois pontos em comum. d) possuem todos os pontos em comum. g(x) x (Espm 015) O gráfico abaixo é formado por 3 segmentos de retas consecutivos. Sabe-se que: I. A reta que contém o segmento AB tem coeficiente linear igual a 4 II. O coeficiente angular do segmento BC vale metade do coeficiente angular do segmento AB III. A ordenada do ponto D é 3 da ordenada do ponto C IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual a 1 Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale: a) 17 b) 19 c) 15 d) 18 e) (Ufu 015) Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x e y em metros), o triângulo PQR tem ângulo reto no vértice R (3, 5), base PQ paralela ao eixo x e está inscrito no círculo de centro C(1,1). A área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a a) 40. b) 8 0. c) 4 0. d) Página 5 de 14

6 18. (Insper 015) O Sr. Antônio resolveu construir um poço em seu sítio. Ele passou ao engenheiro o esquema abaixo, indicando a posição da piscina e do vestiário em relação à localização da casa. O Sr. Antônio disse ao engenheiro que queria o poço numa localização que estivesse à mesma distância da casa, da piscina e do vestiário. Para atendê-lo o engenheiro deve construir o poço na posição, em relação à casa, dada por, aproximadamente, a) 4, m para o leste e 13,8 m para o norte. b) 3,8 m para o oeste e 13,1m para o norte. c) 3,8 m para o leste e 13,1m para o norte. d) 3,4 m para o oeste e 1,5 m para o norte. e) 3,4 m para o leste e 1,5 m para o norte. 19. (Unicamp 017) Sejam c um número real e f(x) x 4x c uma função quadrática definida para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y f(x). a) Determine c no caso em que a abscissa e b) Considere os pontos de coordenadas a ordenada do vértice da parábola têm A (a, f(a)) e B (b, f(b)), onde a e b soma nula e esboce o respectivo gráfico são números reais com a b. Sabendo para 0 x 4. que o ponto médio do segmento AB é M (1, c), determine a e b. Página 6 de 14

7 0. (Ufpr 017) Considere a reta r de equação y x 1. Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P (4, )? 1 a) y x b) y x 10 1 c) y x 5 d) y x e) 1 y x 4 1. (Uem-pas 016) Considere as retas r : y x, s : 3y 6x 3 0 e a reta que passa por (1, ) e (1, 3). Assinale o que for correto. 01) As retas r e s são concorrentes. 0) As retas e r são perpendiculares. 04) A distância entre os pontos de coordenadas (1, ) e (1, 3) é 1. 08) O triângulo, formado pela origem e pelos pontos em que s intercepta os eixos, tem área Página 7 de 14

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Sabendo que as coordenadas do baricentro correspondem à média aritmética simples das coordenadas dos vértices do triângulo, vem , (3, 1). 3 3 Resposta da questão : [C] Num quadrado, as diagonais são iguais entre si e medem. A distância do ponto A até a reta r é igual a metade da diagonal. Assim, pode-se escrever: dar S S 10 5 Resposta da questão 3: a) Tem-se que d(a, B) ( 1 ) ( 3 0) 3, d(a, C) ( 1 ) ( 3 0) 3 e d(b, C) ( 1 ( 1)) ( 3 3) 3. Desse modo, o triângulo ABC é equilátero e, portanto, ABC 60. b) A área do triângulo ABC é igual a Resposta da questão 4: [D] ( 3) u.a. A distância d entre os pontos A e B será dada por: d ( 8) (8 0) Página 8 de 14

9 Resposta da questão 5: [D] Determinando o ponto M (ponto médio do segmento AB), temos: 0 xm ym 11 Determinando, agora, o ponto N (ponto médio do segmento CD), temos: 4 xn yn 3 Os pontos pedidos são M(1,11) e N(1, 3). Resposta da questão 6: [A] Utilizando a regra de Sarrus para o cálculo do determinante, temos: D D D Logo, a área do triângulo será dada por: 1 A 1 Resposta da questão 7: [B] O raio da circunferência que passa pelos pontos B e F, com centro em O, é dado por 1 ( 1) km m. Em consequência, o tempo via segmento de reta é igual a h, e o tempo via semicircunferência é π ,6.50 h. A resposta é, portanto,.50 horas. Resposta da questão 8: [E] A distância entre os pontos P e Q no percurso indicado é igual a (550 30) (30 0) 80. Logo, a distância entre T e os pontos P e Q deverá ser de Portanto, como , segue-se que T (440, 0). Página 9 de 14

10 Resposta da questão 9: [A] Calculando os quadrados das medidas dos lados do triângulo ABC, encontramos d (A, B) ( 4 7) (3 3) 11, d (A, C) ( 4 7) ( 3) 146 e d (B, C) ( 4 4) ( 3) 5 Portanto, sendo d (A, C) d (A, B) d (B, C), podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo escaleno. Resposta da questão 10: [A] Considerando os triângulos retângulos destacados na figura, temos: AB 10 5 AB 15 AB 5 5m BC 0 15 BC 65 BC 5m CD 10 0 CD 500 CD 10 5 Portanto, o deslocamento d da pessoa será dado por: d AB BC CD d d d 5 (3 5 5)m Página 10 de 14

11 Resposta da questão 11: [C] A(,1) e B(4,) d ,08 km Resposta da questão 1: d d d 13 Resposta da questão 13: a) Calculando: d (3 0) (4 0) 5 d 5 b) Calculando: C x, x D A x 4x 8 x A 8 x x 6 3x 4x 8 x 7 16 C,0 ou C, 7 7 Resposta da questão 14: [D] Representando os pontos A, B e C num sistema cartesiano, temos: Podemos escrever que a área S do triângulo ABC será dada por: 6 4 S 1 Página 11 de 14

12 Resposta da questão 15: [A] Analisando as duas funções dadas, percebe-se que f(x) é uma reta (função do primeiro grau) e g(x) é uma parábola (função do segundo grau). Pode-se verificar se estas possuem pontos em comum igualando as funções: x 4 x 1 x x 3 0 ( 1) Como 0 as funções não possuirão pontos reais em comum (apenas raízes imaginárias). Outra maneira de chegar a mesma conclusão seria desenhar seus gráficos: f(x) 0 x 1 x 1 P ( 1, 0) 1 f(x) 1 x 1 x 0 P (0,1) g(x) 0 x 4 x 4 ou xv 0 ; yv 4 P vértice(0, 4) 4 Como em g(x) tem-se x 4, esta função não possui raízes reais ( 0). Ainda assim, com as coordenadas do vértice e sabendo que a 0, pode-se esboçar a parábola, que teria concavidade para cima e P vértice (0, 4). Assim, pelo gráfico pode-se deduzir que as duas funções não possuirão pontos reais em comum. Resposta da questão 16: [A] Se o coeficiente linear é igual a 4, então o ponto A tem ordenada igual a 4. O coeficiente angular do segmento AB é igual a: mab Logo, o coeficiente angular do segmento BC é igual a 1. 4 Pode-se escrever ainda: 1 yc 7 yc Página 1 de 14

13 Logo, a ordenada do ponto D será: yd yc yd 6 3 Sabendo que o coeficiente angular de CD é igual a 1, então pode-se escrever: xd 17 x 14 D Resposta da questão 17: [C] PM MQ MR (3 1) (5 1) 0 (raios) PQ 0 Portanto, a área do triângulo PRQ será dada por: 0 4 A 4 0 Resposta da questão 18: [C] Sejam C(0, 0), V( 8, 0), P(1, 4) e A(x, y), respectivamente, os pontos que indicam as posições da casa, do vestiário, do poço e da piscina. Tem-se que d(a, C) d(a, V) d(a, P) x y (x 8) (y 0) (x 1) (y 4) x y (x 8) (y 0) (x 8) (y 0) (x 1) (y 4) x 5y 58 5x y 3 x 3,8 m y 13,1m Portanto, a piscina deverá ser construída, em relação à casa, na posição dada por, aproximadamente, 3,8 metros para leste e 13,1 metros para o norte. Página 13 de 14

14 Resposta da questão 19: 4 a) Sendo a 1 abscissa do vértice, vem que a ordenada deve ser igual a. Logo, temos 4 c c. Portanto, segue o gráfico de f. b) Desde que a b, vem a b 1 b a a 4a c b 4b c a 4a ( a) 4( a) 0 c b a a a 0 a 1 3. b 1 3 Resposta da questão 0: [E] Seja s a reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P (4, ). Logo, como mr, segue que a equação de s é 1 1 y (x 4) y x 4. Resposta da questão 1: = 1. [01] Falsa. Reescrevendo a equação da reta s na forma explícita, temos y x 1. Logo, sendo iguais os coeficientes angulares de r e de s, podemos concluir que essas retas são paralelas. [0] Falsa. Sendo iguais as abscissas dos pontos (1, ) e (1, 3), é fácil ver que a equação da reta é x 1. Daí, como a reta r não é paralela ao eixo das abscissas, podemos concluir que e r não são perpendiculares. [04] Verdadeira. Os pontos (1, ) e (1, 3) pertencem à reta x 1. Em consequência, a distância entre eles é 3 1. [08] Verdadeira. A reta s intersecta os eixos coordenados nos pontos (0, 1) e conseguinte, a área do triângulo mencionado é , 0. Por Página 14 de 14