Números Complexos. Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior. Controle de Sistemas Mecânicos 1

Transcrição

1 Números omplexos Prof. Eng. Antonio arlos Lemos Júnior 1

2 AGENDA Revisão de conceitos matemáticos Números complexos Exercícios

3 Números complexos Objetivo: O objetivo desta seção é fazer uma pequena revisão de números complexos, álgebra de números complexos, variáveis complexas e funções complexas. 3

4 Números complexos A necessidade de manipular números complexos surge da resolução de equações do tipo: s Usando a notação j 1, todos os números encontrados em aplicações de engenharia podem ser escritos da forma: X + jy : número complexo X: parte real Y: parte imaginária 4

5 Números complexos Interpretação: Um número complexo pode ser considerado como um ponto no plano complexo ou como o segmento unindo a origem até o ponto. 5

6 Números complexos O ângulo de um número complexo é o ângulo entre o segmento e a parte positiva do eixo real. É considerado positivo no sentido anti-horário. O comprimento ou magnitude de e o ângulo de são calculados por: θ Z X + Y arctan Na forma polar o número complexo é dado por: Z θ Y X 6

7 Números complexos O conjugado complexo de X + jy é definido por: * X - jy Possui a mesma parte real e a parte imaginária com sinal trocado. 7

8 Números complexos Forma Retangular: X Z + jy ( cosθ + jsenθ ) Forma Polar: Z θ Ze A conversão da forma polar para a retangular é: Y Z X + Y ; θ arctan X A conversão da forma retangular para a complexa é: jθ X Z cosθ; Y Zsenθ 8

9 Números complexos Exemplo: X+jY 3 + j4 Na forma polar: Z X + Y Y 4 θ arctan arctan 53, 13 X 3 Z θ , Na forma polar: Z Na forma retangular: X + jy 7, 071+ j7, 071 X Z cosθ 10cos 45 7, 071 Y Z sinθ 10sin 45 7, 071 9

10 Números complexos Fórmula de Euler: cos θ + j senθ e jθ e j θ cos θ + j sen θ cosθ e jθ + e jθ e j θ senθ cos θ e jθ e j jθ j sen θ 10

11 Álgebra de números complexos Igualdade de números complexos: Dois números complexos z e w são iguais se e somente se a parte real e a parte imaginária deles forem iguais. 1 X U + + jy jv 1 X Y U V 11

12 Álgebra de números complexos Adição de números complexos: Dois números complexos 1 e podem ser somados, somando-se separadamente as partes reais e imaginárias. 1 + (X + jy) + (U + jv) 1 + (X + U) + j(y + V) Exemplo: 1 + j4 3 + j j5 1

13 Álgebra de números complexos Subtração de números complexos: Dois números complexos 1 e podem ser subtraídos, subtraindo-se separadamente as partes reais e imaginárias 1 (X + jy) - (U + jv) 1 (X - U) + j(y - V) Exemplo: j6 1 + j j 13

14 Álgebra de números complexos Multiplicação de números complexos: A multiplicação de dois números complexos 1 e é dada por: 1. (X + jy)(u + jv) X.U + jy.u + jx.v + j Y.V 1. (X.U Y.V) + j(x.v + Y.U) Usou-se o fato que j -1. Na forma polar temos: 1 Z1 1 1 Z θ ; Z ϕ;. Z. ( θ + ϕ) 14

15 Álgebra de números complexos Exemplo: j4, 4 + j3 1. ( ) + j( ) 0 + j5 Exemplo: ,13, 5 36, , ,

16 Álgebra de números complexos Divisão de números complexos: a divisão de dois números complexos 1 e é mais simples de ser realizada na forma polar: θ ϕ 1 Z1 Z1 Z Z ( θ ϕ ) Na forma retangular é necessário multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador: 1 X U + + jy jv ( X + jy ) ( U jv ) XU + YV YU + j ( U + jv ) ( U jv ) U + V U + V XV 16

17 Álgebra de números complexos Exemplo: j4, 4 + j , 1 16, 6 0, 96+ j0, , 87, j j

18 Potenciação e raízes: Álgebra de números complexos ( ) n Z Z n n n θ θ 18 ( ) ( ) n Z Z n Z Z n n n θ θ θ θ 1 1 1

19 Funções omplexas Um número complexo possui, portanto, parte real e parte imaginária. Se a parte real ou a parte imaginária são variáveis o número complexo é chamado de variável complexa. Seja s σ + jω uma variável complexa. Uma função complexa F(s), função da variável complexa s, possui uma parte real e uma parte imaginária. F(s) Fx + jfy 19

20 Funções omplexas O módulo e o ângulo de F(s) são: F( s) F x + F y ; F( s) arctan F F y x O complexo conjugado de F(s), denotado por F*(s) é: F*(s) Fx jfy 0

21 Funções omplexas As funções complexas mais comumente encontradas em análise e projeto de sistemas lineares são funções do tipo: F( s) k ( s + z )( ) ( )( ) 1 s + z... s + z m 1 s + z m ( s + p )( s + p )...( s + p )( s + p ) 1 n 1 n As raízes do denominador s - p 1 ; s - p ; ; s - p n são os pólos de F(s). Se forem todas distintas, dizemos que a função possui pólos simples e se forem repetidas F(s) possui pólos múltiplos, de multiplicidade r (onde r é o número de vezes que o mesmo pólo se repete). As raízes do numerador s - z 1 ; s - z ; F(s), podendo ser simples ou múltiplos. ; s - z m são os zeros de 1

22 Exercícios 1) onverta os números seguintes para a forma polar: a) 4+j3 b) +j c) 3,5+j16 d) 100+j800 e) 1000+j400 f) 0,001+j0,0065 g)7,6-j9 h) 8+j4 i) 15-j60 j) 78-j65 ) onverta os números seguintes para a forma retangular: a) 6 30 b) c) d) e) 0,04 80 f) 0, g) h) 1, 135 i) j)

23 Exercícios 3) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma retangular: a) (4,+j6,8) + (7,6+j0,) b) (14+j7) + (9,8+j4) + (0,1+j0,9) c) ( j76) + (7,.10-7-j5) d) (9,8+j6,) (4,6+j4,6) e) (167+j78) (-4,3-j68) f)(-36+j78) - (-4-j6) + (10,8-j7) g) h)

24 Exercícios 4) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma retangular: a) (+j3)(6+j8) b) (4+j)(7+j6) c) (0,00+j0,006)(-+j) d) (400-j00)(1+j3) e) ( 60)(4 ) f) (6,9 8)(7,3-7) 5) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma polar: a) (4 10)/(7 60) b) (0,006 10)/(30-0) c) (4360-0)/(40 10) d) (8+j8)/(+j) e) (8+j4)/(-6+j60) f) (-4,5-j6)/(0,1-j0,4) 4

25 Exercícios 7) alcule as raízes dos polinômios abaixo: s 4 9s s 59s s s + 31s + 59s s s + 3s + 68s + 91s + 59s

26 FIM Muito Obrigado! Sinais e Sistemas - Faculdade Talentos Humanos 6