Transformada Z. Transformada Z Bilateral. Transformada de Fourier e Transformada Z. A transformada de Fourier não converge para todas as sequências.

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1 Transformada Z Luís Caldas de Oliveira Introdução A transformada de Fourier não converge para todas as sequências. A transformada Z abrange uma maior classe de sinais. sumo 1. Definição 2. gião de Convergência 3. Transformada Inversa 4. Propriedades da Transformada Z A transformada Z desempenha o mesmo papel para os sinais discretos o mesmo papel que a transformada de Laplace para os contínuos. Lu ıs Caldas de Oliveira 1 Transformada Z Bilateral Transformada de Fourier e Transformada Z A transformada de Fourier é a transformada Z calculada sobre o círculo unitário ( ): z=e jω ω 1 Lu ıs Caldas de Oliveira 2 Lu ıs Caldas de Oliveira 3

2 Convergência da Transformada Z Aplicando a condição da sequência ser absolutamente somável, usada para a transformada de Fourier: Quando a Transformada Z é uma Função Racional Uma importante classe de transformadas são aquelas em que a transformada Z é uma função racional no interior da região de convergência: A convergência da transformada depende apenas de e por isso a região de convergência terá a forma de um anel. Em certos casos o limite interno do anel poderá ser a origem e o limite externo poderá ser infinito. Em que zeros de pólos de e são polinómios em : nome dado às raízes do numerador ( : nome dado às raízes do denominador (. ). ). Lu ıs Caldas de Oliveira 4 Lu ıs Caldas de Oliveira 5 Sequências Laterais Transformadas Z Comuns Exemplo de sequência lateral direita: a 1 a 1 Exemplo de sequência lateral esquerda: excepto ( ) ou ( ) Lu ıs Caldas de Oliveira 6 Lu ıs Caldas de Oliveira 7

3 caso contrário Transformadas Z Comuns Lu ıs Caldas de Oliveira 8 Lu ıs Caldas de Oliveira 9 Propriedades da gião de Convergência Se a transformada Z for uma função racional e excepto possivelmente em ou : tiver amplitude finita Propriedade 1: A região de convergência é um anel centrado na origem. Propriedade 2: A transformada de Fourier de converge absolutamente sse a região de convergência da transformada Z incluir o círculo unitário. Propriedade 3: A região de convergência não pode incluir nenhum pólo. Propriedade 4: Se for um sequência de duração finita então a região de convergência é todo o plano z excepto possivelmente ou. Propriedades da gião de Convergência (cont.) Propriedade 5: Se for um sequência lateral direita a região de convergência estende-se para fora do pólo mais afastado da origem (incluindo possivelmente ). Propriedade 6: Se for um sequência lateral esquerda a região de convergência estende-se para o interior do pólo mais próximo da origem (incluindo possivelmente ). Propriedade 7: Se for um sequência bilateral a região de convergência será um anel no plano Z, limitado no interior e exterior por um pólo e não contendo pólos no seu interior. Propriedade 8: A região de convergência tem de ser uma região ligada. Lu ıs Caldas de Oliveira 10 Lu ıs Caldas de Oliveira 11

4 Transformada Z Inversa Expansão em Fracções Simples e se os pólos forem todos de primeira ordem: Se em que: Lu ıs Caldas de Oliveira 13 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências. Os valores da sequência são os coeficientes das potências de Lu ıs Caldas de Oliveira 15 Transformada Z Inversa Método de Inspecção conhecer por inspecção certos pares de transformadas. Exemplo: Usa-se o par de transformadas: Lu ıs Caldas de Oliveira 12 Transformada Z Inversa Expansão em Fracções Simples : em e existir um pólo de ordem No caso em que terminando-o quando o grau do resto for menor que o do denominador, pode ser obtido por divisão longa do numerador pelo denominador Lu ıs Caldas de Oliveira 14

5 Linearidade Deslocamento Temporal excepto a possível adição ou remoção de ou Lu ıs Caldas de Oliveira 16 Lu ıs Caldas de Oliveira 17 Multiplicação por uma Sequência Exponencial Diferenciação Lu ıs Caldas de Oliveira 18 Lu ıs Caldas de Oliveira 19

6 Conjugado de uma Sequência Complexa Inversão Temporal Lu ıs Caldas de Oliveira 20 Lu ıs Caldas de Oliveira 21 Convolução de Sequências Teorema do Valor Inicial Se for uma sequência causal: Lu ıs Caldas de Oliveira 22 Lu ıs Caldas de Oliveira 23