Para temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de.

Transcrição

1 MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo, encontrar aproximações de números irracionais como e também para encontrar valores de integrais que não podem ser integrados na forma analítica (ex: equações diferenciais. Um série de potências em : e são importantes para auxiliarem na resolução de onde: - as constantes, são os coeficientes da série. - a constante é o centro da série. Para temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de. Quando, a série converge com soma. O teste da razão é usado para se determinar os valores de converge. para os quais a série de potências Exemplos: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge. para, a série converge para 0. E para? Usar o teste da razão: De acordo com o teste da razão, a série converge se : Assim, a série converge para. E diverge para, para, ou seja para e para. 1

2 Para, que equivale a, o teste da razão é inconclusivo. A série é divergente de acordo com a propriedade: A série também é divergente de acordo com a propriedade: Portanto, a série converge apenas para valores de no intervalo aberto. Teste da razão: Teste da razão: 2

3 Exercícios: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge Resposta: a) Converge para todos os valores de. b) Converge apenas para. Intervalo de convergência: O conjunto de todos os números para os quais uma série de potências converge. do Exemplo 1) do Exemplo 2) do Exemplo 3) é o "intervalo" contendo unicamente o número 0. Para qualquer série de potências, assume uma das três formas: Caso 1: é um intervalo limitado com centro e pontos extremos e, onde é um número real positivo. é chamado de Raio de convergência da série de potências. Caso 2: é infinito. Caso 3: consiste apenas em um único número.. Caso 1: A série diverge para?? Converge Absolutamente para Nota: os pontos extremos e do intervalo de convergência podem ou não pertencer a. No exemplo 1, é um intervalo aberto. Em geral, a série pode divergir, convergir absolutamente ou convergir condicionalmente num ponto extremo de. Assim, o intervalo de convergência pode assumir uma das formas:,,, ) (neste caso, a série de potência sempre converge absolutamente). Teorema 1: Raio de convergência de uma série de potências Seja uma série de potências com raio de convergência 3

4 Suponha que, onde L é um número real não negativo ou. Verificar uma das três condições para se encontrar o raio : (i) Se é um número real positivo, então. (ii) Se, então. (iii) Se, então. Observações: 1- A razão é a razão entre os coeficientes e não entre os termos da série de potência. 2- O Teorema 1 não se aplica a séries de potência da forma, para. Nesse caso, o raio de convergência pode ser encontrado aplicando-se o teste da razão. 3- O Teorema 1 é válido para, para. Exercícios: Encontre o Centro a, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. Confira também a divergência, convergência absoluta ou convergência condicional da série de potências nos pontos extremos de 1- Centro ; Teorema 1: e. Assim, Logo,. Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado. E para os valores (pontos extremos)? Para na série, obtém-se a série harmônica que diverge. Para na série, obtém-se a série harmônica alternada que converge pelo teste das séries alternadas (vistas em séries infinitas) e diverge pela soma do módulo (convergência condicional). Conclusão: Divergência no ponto extremo 1 e convergência condicional no ponto extremo Centro ; Teorema 1: e. Assim, Logo,. (Teorema 1 (i)). Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado. E para os valores (pontos extremos)? Para na série, obtém-se a série alternada que diverge (o termo geral não tende a zero). Para na série, obtém-se a série que também diverge. Conclusão: Divergência nos dois pontos extremos: -6 e 0. 4

5 Centro ; Teorema 1: e. Assim, Logo, Portanto, (Teorema 1 (ii)). 4- Centro ; Teorema 1: e. Assim, Assim (Teorema 1 (iii)). consiste no único número Centro ; Podemos usar o teorema 1? NÃO!! (Conforme visto na observação (2) do Teorema 1). Pois não é o coeficiente da n-ésima potência de. Neste caso, aplica-se o teste da razão original (usa-se o n-ésimo) termo, e NÃO o coeficiente da série. Logo,. A série converge Absolutamente quando, ou seja, quando E diverge para Logo, E para os valores (pontos extremos)? Para os dois valores e a série fica: que é a série-p convergente. 5

6 Assim, a série converge absolutamente em todo o seu intervalo de convergência: Os exercícios abaixo foram extraídos do Munem, página Respostas: 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16). Integração e Diferenciação de Séries de Potências Seja onde é a série de potências dada. Domínio de : intervalo de convergência da série de potências Derivada da (Diferenciação termo a termo): Integração de (Integração termo a termo): Apenas para, onde R é o raio de convergência da série de potências. Propriedades de e 1) A função é contínua no intervalo aberto. 2) As três séries de potências abaixo possuem o mesmo raio de convergência R. 6

7 3) Para, 4) Para, 5) Para, Exemplos: 1) Encontre Pelo Teorema 1, o raio de convergência da série de potências é : Pelas propriedades 2 e 3, isto é, para 2) Encontre para Pela propriedade 4: isto é,, para. 3) Use a fórmula, que dá a soma da série geométrica para, para escrever a expressão dada como a soma de uma série infinita. a) para. b) 7

8 substituindo por em, obtém-se: para, ou seja, para. c) Obs: a função logarítmica natural, denotada por, é definida por: Dessa forma, a solução deve ser alcançada considerando esta definição (diferente do teorema que diz que, para ). Usando o resultado anterior e a propriedade 5, para. d) substituindo por em, obtém-se: para. Obs: a convergência da série ocorre quando Mas se verifica exatamente quando. e) Usando o resultado anterior e a propriedade 5, para. f) Substituindo por em obtemos: para. g) Divide por frações parciais, depois resolve cada uma (encontra um série de potências para cada uma) e depois efetua a soma. Divisão por frações parciais: Analisando cada série separadamente: (do enunciado) e (do exemplo f) Usando o resultado anterior, temos: 8

9 para Obs: Verificar o raio de convergência pelo Teorema 1. 4) Seja para (Teorema 1, R=1). Represente como uma série infinita. Para, Obs: Conferir se o resultado está correto (ou seja, através da resolução da derivada) 5) Seja Represente como uma série infinita. Como a série de potências está elevado a e não apenas a, devemos usar o teste da razão. Primeiro: obter o raio de convergência da série de potências: Ou seja, o raio de convergência. Assim, é definida para todos os valores de. Segundo: Representar a integral fornecida como uma série infinita. Exercícios: Use a fórmula, para, para escrever a expressão dada como a soma de uma série infinita que represente cada expressão. Especifique os valores de para os quais a representação é correta. 1) 2) 3) 4) 5) obs: 6) 7) Respostas: 1) 2) 3) 4) 5) - 6) - 7) Escreva uma série de potências para e encontre o raio de convergência. 1) 2) Respostas: 1) 2) 9

10 Série de Taylor A partir de uma função f, tentar encontrar uma série de potências que convirja para ela, ou seja, tentar expandir f como uma série de potências. Função infinitamente diferenciável: Definição: Uma função f definida em um intervalo aberto J é dita ser infinitamente diferenciável em J se ela possui derivadas de todas as ordens k. Seja f uma função infinitamente diferenciável em um intervalo aberto J e seja 'a' um número em J. Então, a série de Taylor para f em 'a' é a série de potências: onde para OBS: a série de MacLaurin é a série de Taylor para em. Exemplos (encontrar as séries de Taylor e o intervalo de convergência de cada série): 1) Encontre a série de Taylor para Coeficientes da série de Taylor: (onde os sinais alternar em pares) Logo, a série de Taylor para é dada por: 2) Encontre a série de MacLaurin para.... Logo, 10

11 A série de MacLaurin é dada por: OBS: embora uma função infinitamente diferenciável tenha uma série de Taylor, essa série não precisa convergir para a função. 3) Encontre a série de MacLaurin para.... A série de MacLaurin, é dada por: 4) Encontre a série de MacLaurin para.... A série de MacLaurin, é dada por: Esta série de potências pode ser obtida diretamente diferenciando-se a série de potências para o seno, já que 5) Encontre a série de MacLaurin para., 11

12 OBS: séries de potências adicionais podem ser obtidas através desses exemplos por várias substituições: Exemplo:, substituindo-se por na série de potências para. Exercícios: Encontre as séries de Taylor para as funções abaixo: a) b). c). d). e). f). (sugestão: usar o resultado da expansão de e resolver primeiro o numerador) g) h) i) j) Respostas: a), b) c), d), e), f) g), h), i), j), Teorema 1: Expansão de uma série binomial Série Binomial Se tivermos o problema para encontrar o desenvolvimento em série de MacLaurin da função f definida por, onde p é um número real qualquer e usaremos a expansão em série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin. A série binomial é a série de potências definida da forma: onde p uma constante qualquer positiva diferente de zero e não pode ser um inteiro positivo. n fatores Define-se, e para cada inteiro positivo n, Assim: 12

13 . e assim por diante. A série binomial tem raio de convergência. Para, Exemplos: 1) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para, Do Teorema 1,. Assim,... em geral: E, portanto, 2) Use os primeiros três termos da expansão obtida no exemplo 1 para aproximar = Fazendo na expansão do exemplo 1: Assim, 13 Valor real de

14 3) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para, Do Teorema 1,. Assim,... E, portanto, 4) Estime o valor de considerando os três primeiros termos da série. Pelo Exemplo 1, para, temos: Substituindo por, obtemos: Portanto, Considerando então os três primeiros termos da série, obtemos: 14

15 Exercícios: 1- Usar a expansão em série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin. a) b) c) Resposta: a) 1+ b) 1+ c) 2- Use os três primeiros termos de uma série binomial apropriada para estimar cada número. a) ( ) b) ( ) c) (...) d) ( ) e) (...) Bibliografia: 1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart. 15