LIMITES E CONTINUIDADE

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1 LIMITES E CONTINUIDADE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, [email protected], NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Considere a função f(x) =. Esta função está definida para todo x IR, isto é, qualquer que seja o número real x 0, o valor de f(x 0 ) está bem definido. Exemplo 1.1 Seja x 0 = 2, então f(x 0 ) = f(2) = = 3. Dizemos que a imagem de x 0 = 2 é o valor f(2) = 3. Graficamente: Figure 1 Considere agora uma outra função g(x) = x2 1. Esta função está definida x IR {1}. Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. g(1) = = 0 0??? Quando dividimos a por b, procuramos um número real c tal que bc resulte em a. a b = c bc = a. Se fizermos 0 = x 0 x = 0, para qualquer valor de x IR, isto é, infinitos valores de x. Por isso 0 dizemos que há uma indeterminação no valor para o valor de x. 1

2 Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta: Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (numa vizinhança pequena) de 1, porém diferente de 1? A princípio, o estudo do ite visa estabelecer o comportamento de uma função em uma vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x pode determinar um valor de imagem. Mas na função g, existe o ponto x = 1 que gera a indeterminação. Assim, vamos estudar a vizinhança de 1 para a função x2 1. Primeiramente precisamos lembrar que podemos nos aproximar de x = 1 pelos dois lados, ou seja: Aproximar pela Esquerda Figure 2 Aproximar pela Direita 1.1 Tabelas de Aproximação As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores cada vez mais próximos de 1 pela esquerda e pela direira, ou seja, menores que 1 e depois, maiores que 1, obteremos: x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 Tabela A. g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,001 Tabela B. Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. Desta forma, podemos convencionar: "O ite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igaul a 2". Notação: g(x) = 2 ou = 2. Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamadas de ites laterais. Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x 1. Temos então que: g(x) = 2 ou = 2. Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x 1 +. Temos então que:

3 g(x) = 2 ou + + = Definição intuitiva de ite (para um caso geral) Seja f uma função definida num intervalo I IR contendo a, exceto possivelvente no próprio a. Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de a é L IR, e escrevemos f(x) = L, se, e somente se, os ites laterias à esquerda e à direita de a são iguais à L, isto é, L. Caso contrário, dizemos que o ite não existe, em símbolo f(x). Com relação a g(x) = x2 1, podemos concluir, pela definição, que: porque os ites laterais 1.3 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0 0 = 2 = + = 2 f(x) = f(x) = + Exemplo 1.2 Determine g(x), onde g(x) = x2 1. Observe que substituindo x por 1 na função obtemos uma indeterminação matemática. Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta. g(x) = x2 1 = ()(x + 1) () g(x) = = ()(x + 1) () =, x 1. Então: = (x + 1) = 2 Logo, chegamos a mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma bem mais rápida e sistemática. Exemplo 1.3 Determine (Observe que há indeterminação matemática.)

4 x 3 8 Exemplo 1.4 Determine (Observe que há indeterminação no ponto x = 2). 32 2x 3 + 3x 5 Exemplo 1.5 Determine. Vamos resolver este ite usando Briot-Ruffini. 4x 2 3 Teorema 1.1 (Teorema de D Alembert). Um polinômio f(x) é divisível por (x a), a IR, se e somente se a é uma raiz de f(x), isto é, f(a) = 0. f(x) = (x a)q(x) + r(x) Assim, f(a) = 0 r(a) = 0. Como o ponto x = 1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por (). Assim 2x 3 + 3x 5 4x 2 3x + 1 = 2x 3 +3x 5 (x 1) 4x 2 3x 1 (x 1) = 2x2 + 2x + 5 4x + 1 = Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos ites a) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 b) Quadrado da diferença: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 c) Produto da soma pela diferença: (a + b)(a b) = a 2 b 2 d) Cubo da soma: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 e) Cubo da diferença: (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 f) Conjugado de a b é a + b g) Conjugado de 3 a 3 b é 3 a ab + 3 b 2 Proposição 1.1 Se f(x) = L 1 e f(x) = L 2, então L 1 = l 2. Se o ite de uma função num x a ponto existe, então ele é único.

5 1.5 Principais propriedades dos ites Se f(x) e g(x) existem, e k IR, então: a) [f(x) ± g(x)] = f(x) ± g(x) b) kf(x) = k f(x) c) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) [ ] f(x) d) = f(x) g(x) g(x) e) k = k 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Aplicando as propriedades, encontre os ites abaixo: (a) x 0 3x 2 8 x 2 = (b) (3x 2 5x + 2) = (c) x 0 (x 5 6x 4 + 7) = (d) x 3 () 2 (x + 1) = (e) x 5 x x = (f) x + 1 x + 2 = (g) = (h) x 2 x 6 x 2 + 3x + 2 = (i) x 4 x 2 x 4 = (j) x 3 x 2 9 x 3 = x 2 + 4x 5 (k) (l) = (m) x 4 x 2 x 4 = =