26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS

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1 Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1), mais próximo de 2 R serão os valores de f. Com efeito, f(x) = x 1 = (x 1)( x+1) = x+1 x 1 x 1 x 1 Neste caso, dizemos que f tem por ite 2 quando x tende para 1 e escrevemos f(x) = 2. Se denimos g(x) := x+1, vemos que f e g coincidem quando x 1 x 0, mas g é bem denido no ponto 1 e temos g(x) = 2 = g(1). Isso x 1 indica que g é contínua em Continuidade Denição 4.1. Dizemos que uma função f é contínua num ponto x 0 quando as seguintes condições estão satisfeitas: a) f está denida em x 0 (ou seja, x 0 D f ) b) f(x) tem ite com x x 0 e esse ite é igual a f(x 0 ): x x 0 f(x) = f(x 0 ) Dizemos que f é contínua num intervalo I se ela for contínua em cada ponto de I. Proposição. Se f é derivável no ponto x 0 então f é também contínua em x 0. Uma função derivável num intervalo I é contínua em I. Observação. Uma função pode ser continua num ponto sem ser derivável nele (cf. f(x) = x ). 25

2 26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Proposição. Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I e λ R. Então: f +g é contínua em I. λ.f é contínua em I. f.g é contínua em I. Se além das hipóteses g não zera em I, então 1 g e f g são contínuas em I. Proposição. Se f é contínua num intervalo I e g contínua num intervalo J contendo f(i). Então f g é contínua em I. Exemplo. A raiz duma função racional f é contínua em todo intervalo contido no domínio: D f R +. Pelas proposições acima, podemos dizer que todas funções com que lidaremos nesse curso serão contínuas em seu domínio (e mesmo, em geral deriváveis). As vezes, a falta de continuidade num ponto fora do domínio é articial. Como por exemplo a função f dada na introdução que não é contínua em x = 1 somente porque não está denida neste ponto. Porque não denir f em 1 como sendo igual a2? Isto é perfeitamente natural e sempre que uma função tiver ite l quando x x 0, é natural denir f em x 0 como sendo esse ite: Exemplos. f(x 0 ) := x x 0 f(x). f(x) = x2 +8x 20 x 2, x 2; x 2 f(x) = 4 x 2 f(x) = x2 4, x 4; x 4 f(x) = 8 x 4 Mas em geral, um ponto não pertence ao domínio porque a função não tem um ite nito nesse ponto Limite innito Não sempre uma função tem um ite nito quando nos aproximamos de um ponto dado. Observe o comportamento da função f(x) = 1 (1+x) 2 quando x está próximo de 1 (mas não igual a 1). Vemos que quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) cresce sem itação.

3 4.1. LIMITE NO PONTO 27 Denição 4.2. Seja f(x) uma função denida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que f(x) = + se sempre que x se aproxima de a, f(x) cresce indenidamente. De modo semelhante podemos denir f(x) = quando f(x) decresce indenidamente. Exemplo. f(x) = x 1 ; f(x) = x x Limites laterais Algumas funções exibem comportamentos diferentes em cada um dos lados de um ponto a. Por exemplo, a função inversa 1 não tem ite em 0, os valores x 1 não cabem em nenhuma das denições acima porque a função cresce quando x nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito mas decresce se nos aproximamos pelo lado esquerdo. Por isso, aprimorando nossas denições, vamos considerar o ite à direita e o ite à esquerda de uma função num dado ponto. Denotando 0 + para signicar que x se aproxima de 0 por valores superiores e 0 para signicar que x se aproxima de 0 por valores inferiores, poderemos escrever 1 x 0 x = e 1 x 0 + x = +. Denição 4.3. Seja f uma função eaum número real; λ pode ser um número real, ou +. Dizemos que λ é o ite à esquerda de f quando x tende para a, e escrevemos f(x) = λ se e só se a restrição de f a ],a[ tem λ por ite em a. Denição 4.4. Dizemos que λ é o ite à direita de f quando x tende para a, e escrevemos + f(x) = λ se e só se a restrição de f a ]a,+ [ tem λ por ite em a. Exemplo. Sejaf(x) = x. Determine f(x) e f(x). Esboce o gráco x x 0 x 0 + de f. O ite denido as seções anteriores é dito ite bilateral. O ite bilateral existe se e só se os ites laterais existem e coincidem: f(x) = λ f(x) = λ = f(x).

4 28 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Denição 4.5. Se o ite de f em a ou a + ou a é o innito, dizemos que a curvay= f(x) tem a retax = a como assíntota vertical. Exemplo. O eixo vertical x = 0 é assíntota vertical da função inversa. 4.2 Limites no innito Denição 4.6. Seja f uma função denida ao menos num intervalo do tipo [a;+ [. Se quanto maior for x, f(x) cresce sem itação, então dizemos que f tem por ite + quando x tende por+ e escrevemos f(x) = + (Rigorosamente: M > 0, A R tal que x A f(x) M.) (explo: f(x) = x 2 ) Se quanto maior for x, f(x) decresce sem itação, então dizemos que f tem por ite quando x tende por+ e escrevemos f(x) = (Rigorosamente: M < 0, A R tal que: x A f(x) M.) (explo: f(x) = x2 2 ) Se quanto maior for x, f(x) aproxima-se cada vez mais de do valor l, então dizemos que f tem por ite l quando x tende por+ e escrevemos f(x) = l (Rigorosamente: por qualquer intervalo I =]l ε;l+ε[, ε R + existe um número real A tal que x A f(x) I.) Denição 4.7. Quando f(x) = l dizemos que y = f(x) tem a reta y = l por assíntota horizontal. Exemplo. A função inversa tem por assíntota horizontal o eixo horizontal y = 0, tanto no innito positivo, como no innito negativo. Exercício 4.1. Seja f uma função denida ao menos num intervalo ] ;a] e l um número. Escreva as denições de f(x) = +, f(x) = e f(x) = l. x x x

5 4.3. TÉCNICAS PARA CALCULAR LIMITES Técnicas para calcular ites Limites de funções usuais no innito O mais importante para nós é aprender alguns ites fundamentais. As funções f(x) = x, f(x) = x n, log(x) e e x têm por ite + em +. No innito (+ ou ) todo polinômio admite um ite qual é a ite do seu monômio de maior grau. No innito (+ ou ) toda função racional admite um ite qual é a ite do quociente dos monômios de maior grau so numerador e denominador. As funções sen e cos não têm ite no innito (nem + nem ) Operações com ites nitos Suponha que representa um dos ites laterais, +,, x. Se existem l 1 = f(x) e l 2 = g(x) números reais, então: a) [f(x)+g(x)] = f(x)+g(x) = l 1 +l 2 b) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) = l 1 l 2 c) [f(x).g(x)] = f(x).g(x) = l 1 l 2 d) f(x) g(x) = f(x) g(x) = l 1 l 2, se l 2 0 Exemplos. Ache x 0 tanx x, x Limite e composição sen(2x), x sen(3x). x 0 (5x) ou Cada letra a, λ 1 e λ 2 designa um número real, ou +. Se f e g são duas f(x) = λ 1 funções contínuas que vericam ; então g f(x) = λ 2. g(x) = λ 2 x λ 1 Conseqüências: a) (f(x)) n = (f(x)) n b) n f(x) = n f(x), desde que f(x) 0 se n for par

6 30 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS c) [lnf(x)] = ln(f(x)), desde que f(x) 0 3x 2 2 Exemplo. x 2 1 = Operações com ites innitos e indeterminações f(x) g(x) h(x) = h(x) + + f(x)+g(x) f(x) g(x) indeterminado + l f(x)+g(x) f(x).g(x) + + l 0 f(x).g(x) ± ± 0 f(x).g(x) indeterminado l ± f(x)/g(x) 0 ± ± f(x)/g(x) indeterminado + l 0 f(x)/g(x) ± l 0 0 ± f(x)/g(x) ± 0 0 f(x)/g(x) indeterminado Os ites indeterminados precisem um estudo caso por caso. As indeterminações do tipo 0/0 são freqüentemente assimiláveis a derivadas Limites fundamentais Para tratar de certos ites indeterminados, aplicaremos os chamados ites fundamentais (dadas sem demonstrações). e x = +, n N xn

7 4.4. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES 31 lnx = 0, n N xn sen(x) = 1 (demonstração no capítulo 3). x 0 x Teoremas de comparação Teoremas de minoração, majoração Teorema 4.1. Sejam f, u e v funções denidas num intervalo do tipo [a,+ [. Se por x suciente grande temos f(x) u(x) e se então f(x) = +. Se por x suciente grande temos f(x) v(x) e se então f(x) =. Existe teoremas análogos para ites em e ema. Exemplos. a) Seja f(x) = x+senx, calcule f(x). 1+x 2 b) Seja g(x) =, calcule g(x). Dica: u(x) = 1 x 0 x 2. x 2 Teorema do confronto u(x) = +, v(x) =, Teorema 4.2. Sejam f, u e v funções denidas num intervalo do tipo [a,+ [ elum número real. Se por x suciente grande temos u(x) f(x) v(x) e se v(x) = l, então f(x) = l. u(x) = Existe teoremas comparaveis para ites em e ema. Exemplo. Seja f(x) = 1+ senx x, calcule f(x). Dica: u(x) = 1 1/x e v(x) = 1+1/x. 4.4 Estudo do comportamento das funções Assíntota obliqua Seja f uma função denida ao menos num intervalo do tipo [a,+ ) (resp. (,a]) eδ uma reta de equação y = ax+b. Dizemos que δ é assíntota obliqua af no innito positivo (resp. negativo) se [f(x) (ax+b)] = 0. x

8 32 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Geometricamente, a curva gráco de f vem aproximar-se cada vez mais da reta quando x tend para o innito. Exemplo. A reta x+1 é assintota obliqua a curva y = x2 +x+1 x innitos. em ambos TVI, Rolle e valor médio Teorema do valor intermediário. Seja f uma função contínua num intervalo [a,b]. Então dado um número qualquer r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um número c entre a e b, tal que r = f(c). Corolário. Se f é contínua em [a,b] e se f(a) ef(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número c [a,b] tal que f(c) = 0. Exemplos. a) Mostre que x 3 4x+1 = 0 tem uma solução em [1,2]. b) Seja P(x) um polinômio de grau impar, então P tem no mínimo uma raiz real. Corolário. Se f continua e estritamente monotonia num intervalo I D f então f é uma bijeção em I. Demonstração. Já que f é injetiva, o TVI mostra que f é sobrejetiva. O teorema de Rolle, diz que se uma função derivável f, assume o mesmo valor em diferentes pontos a e b, então existe pelo menos um ponto do gráco de f, entre (a,f(a)) e (b,f(b)) = (b,f(a)), em que a reta tangente a ele é horizontal. y f(a) = f(b) a b x

9 4.4. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES 33 Teorema 4.3 (Rolle). Se f é uma função contínua em [a,b] e derivável ]a,b[, com f(a) = f(b), então existe um ponto crítico de f em ]a,b[. Tem a seguinte interpretação dinâmica: se, num movimento retilíneo, um ponto retorna, num instante t 1 à posição inicial, ocupada no instante t 0 < t 1, então há um instante τ, t 0 < τ < t 1, quando sua velocidade é nula. O teorema de Rolle dá condições apenas de existência de pontos críticos, não fornece nenhum método para determiná-los. unicidade desses pontos. Também não há, em geral, O Teorema do Valor Médio é uma generalização do Teorema de Rolle. Teorema 4.4 (do Valor Médio). Se f é uma função contínua em [a,b] e derivável em ]a,b[, então existe c ]a,b[ tal que f(b) f(a) = f (c)(b a) Tabela de variações Ao acrescentar a tabela de variação com o estudo dos ites de f no bordo do seu domínio (e então determinar assíntotas eventuais), essa tabela nos fornece um esquema bastante preciso do gráco de f.

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