Derivada. Capítulo Retas tangentes e normais Número derivado

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1 Capítulo 3 Derivada 3.1 Retas tangentes e normais Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente e a reta normal a uma curvay= f(x) num determinado ponto (a,f(a)) da curva. Por isso vamos determinar a equação da reta tangente considerando em primeiro lugar a sua inclinação dada pelo número derivado de f em a Número derivado Lembramos que se y = mx+n é a equação cartesiana de uma reta, o número real m representa a inclinação da reta. Ele é dado pela razão incremental ou taxa de variação m = y 1 y 2 x 1 x 2 onde (x i,y i ) são pontos quaisquer da reta. A técnica para determinar a inclinação da reta tangente a uma curva num ponto dado é considerar uma seqüência de retas secantes que se aproximam cada vez mais da reta tangente. Seja y = f(x) uma curva denida num intervalo I (ver gura). Fixamos p(x 0,f(x 0 )) um ponto da curva e escolhemosq um ponto próximo dep. Podemos escrever q(x 0 +h,f(x 0 +h)) considerando h a distância entre as abscissas de p e q (x 0 e x 0 +h pertencem a I e h pode ser positivo como negativo dependendo da posição de q). A reta S p,q que contem os pontos p e q é uma reta secante a curva, ela corte transversalmente a curva. incremental y q y p = f(x 0 +h) f(x 0 ). x q x p h A inclinação de S p,q é a razão 17

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3 3.2. FUNÇÃO DERIVADA Equação da reta tangente Além da inclinação podemos calcular a equação de T p dependendo se f (x 0 ) é nito ou não. Proposição. Seja f uma função e x 0 D f, a equação de T p a tangente de y = f(x) ao ponto p(x 0,f(x 0 )) é: (i) T p : y f(x 0 ) = f (x 0 )(x a) se f (x 0 ) é nito; f(x 0 +h) f(x 0 ) (ii) T p : x = x 0 se lim = ±. h 0 h Exercício 3.2. x 0 = Trace a reta tangente a f(x) = x 2 no ponto de abscissa 2. Calcúle o número derivado de f(x) = 1+ 3 x 2 em x 0 = Reta normal A reta normal a uma curva num ponto p a reta perpendicular à reta tangente que passa por p. Lembramos que se y = mx+n é a equação cartesiana de uma reta, m 0, então uma reta perpendicular tem por equação y = 1 mx+c. Se m = 0, uma reta perpendicular teria por equação x = c. Exercício 3.3. Verique que a reta perpendicular a y = mx + n no ponto p 0 (x 0,y 0 ) tem por equação y y 0 = 1 m (x x 0). Proposição. Seja f uma função derivável em x 0, tal que f (x 0 ) 0. A reta normal de f em x 0 tem por equação y f(a) = 1 f (x 0 ) (x x 0). Exemplo. f(x) = x 2, a reta normal a f no ponto p(2,4) tem por equação y = 1 4 x Função Derivada Quando uma funçãof é derivável em cada ponto dum intervaloi D f, podemos denir a função f dos números derivados: f : I R x f (x) = lim h 0 f(x+h) f(x) h Dizemos que a função f é derivável em I e que f é a derivada de f em relação a x.

4 20 CAPÍTULO 3. DERIVADA Observação. Existe outras notações para a derivada de f em relação a x: d x f, D x f, df dx... Além da notação funcional (acima) nós usaremos também a notação diferencial: df dx (x 0) = f (x 0 ) Exemplos. Sejam P(x) = 5x 2 +6x 1 e f(x) = x 2, usando diretamente a x+3 denição encontre P (x) e f (x). 3.3 Regras de derivação Tabela de derivadas das funções usuais Função f Função derivada f Intervalo de denição f(x) = k (constante) f (x) = 0 R f(x) = ax+b f (x) = a R f(x) = 1 x f (x) = 1 x 2 R f(x) = x f (x) = 1 2 x R + f(x) = x n (n Q) f (x) = nx n 1 n Z: R se n 0 ; R se n < 0 f(x) = e x f (x) = e x R f(x) = logx f (x) = 1 x R + f(x) = cosx f (x) = senx R f(x) = senx f (x) = cosx R f(x) = tanx f (x) = 1+tan 2 x = 1 cos 2 x R\{ kπ 2 ; k Z}

5 3.3. REGRAS DE DERIVAÇÃO Derivada de função composta, regra da cadeia Conhecendo as derivadas de f e g, como podemos usá-las para encontrar a derivada da composição f g? Teorema 3.1. Sejam duas funções deriváveis f e g com g(d g ) D f. Então a função composta f g é derivável no seu domínio e (f g) (x) = [f g(x)].g (x) En notações diferenciais, se escrevemos u = g(x) e u 0 = g(x 0 ) a derivada de f(u) em relação a x no ponto x 0 é dada por df dx (u 0) = df du (u 0). du dx (x 0) A derivada de f(u) é a derivada da função externa calculada na função interna vezes a derivada da função interna. Exemplos. 1. Seja f(x) = 4cos(x 3 ), ache f (x). Denotamos u = x 3, assim quey = df dy 4cosu. Pela regra da cadeia [y] = dx du.du dx = d du [4cosu]. d dx [x3 ] = ( 4senu).(3x 2 ) = 12x 2 sen(x 3 ) dw 2. Ache dt se w = tanu e u = 4t3 +t. Nesse caso, a regra da cadeia assume d dw a forma [w] = dt du.du dt = d du [tanu]. d dt [4t3 +t] = (1+tan 2 u).(12t 2 +1) = (1+tan 2 (4t 3 +t)).(12t 2 +1) Tabela das operações com derivadas As funções u ev são denidas e deriváveis num intervalo I Função Derivada Condições u+v u +v ku (k constante) ku uv u v +uv 1 v u v v v 2 u v uv v 2 v(x) 0 por x I v(x) 0 por x I u n (n Q) n.u n 1.u n Z: u(x) 0 por x I se n < 0

6 22 CAPÍTULO 3. DERIVADA 3.4 Aplicações da derivada Monotonia e derivada Considerando o sentido geométrico do sinal da função derivada podemos determinar os intervalos onde uma função cresce ou decresce. proposição. Temos a seguinte Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[. (i) Se f (x) > 0 para todos x ]a,b[, então f é crescente em [a,b]. (ii) Se f (x) < 0 para todo x ]a,b[, então f é decrescente em [a,b]. (iii) Se f (x) = 0 para todo x ]a,b[, então f é constante em [a,b] Máximos e mínimos Denição 3.2. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo x I D f. Denição 3.3. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo x I D f. Em ambos casos chamamos esses ponto de extremos relativos. Geometricamente vemos que são caracterizados por uma tangente horizontal. Por tanto, o valor da função derivada dâ uma condição necessária para a existência de um extremo relativo emc. Temos a seguinte proposição. Proposição. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ]a,b[ e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f (c) existe, então f (c) = 0. Observação. Esta condição não é suciente. Uma função denida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos relativos. absoluto da função nesse intervalo. mínimo absoluto Concavidade O maior valor da função num intervalo é chamado máximo Analogamente, o menor valor é chamado Embora o sinal da derivada de f revele onde o seu gráco é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura. Esta pode ser caracterizada em termos da monotonia das inclinações das retas tangentes, ou seja, se f for derivável, da monotonia da função derivada.

7 3.4. APLICAÇÕES DA DERIVADA 23 Teorema 3.2. Seja f duas vezes derivável em um intervalo I (f é derivável e sua função derivada f é derivável em I). (i) Se f (x) > 0 em I, então f tem concavidade para cima em I. (ii) Se f (x) < 0 em I, então f tem concavidade para baixo em I. Conseqüentemente podemos caracterizar os extremos relativos por meio do sinal da derivada segunda. Com efeito, Proposição (Teste da derivada segunda). Seja f duas vezes derivável no ponto critico x 0 (f (x 0 ) = 0). (i) Se f (x 0 ) > 0 então x 0 é um mínimo relativo. (ii) Se f (x 0 ) < 0 então x 0 é um máximo relativo. Denição 3.4. Um ponto em que a derivada segunda se anula é chamado de ponto de inexão. Por exemplo, no gráco de f(x) = x 3, temos um ponto de inexão que é x 0 = 0. Num ponto de inexão, o teste da derivada segunda não é conclusivo (f pode ter um máximo ou um mínimo relativo ou nenhum dos dois em x 0 como no caso da curva acima).