Universidade do Estado do Rio Grande do Norte - UERN

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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação, da Cultura e dos Desportos - SECD Universidade do Estado do Rio Grande do Norte - UERN Faculdade de Ciências Exatas e Naturais - FANAT Departamento de Matemática e Estatística - DME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral A Professor(a): Elias das Neves Freire Aluno(a): N o. Lista de Exercícios - Derivadas Determinar, pela denição, a derivada de: (a) f(x) = x + x + 5 no ponto x 0 = (b) f(x) = x. x no ponto x 0 = 0 (c) f(x) = x 3 no ponto x 0 = (d) f(x) = x x 3 no ponto x 0 = 1 (e) f(x) = x 3. x no ponto x 0 = 0 (f) f(x) = x 1 no ponto x 0 = 1. Dadas as funções abaixo, achar as suas derivadas, calculando o limite da razão incremental, quando x tende a zero. (a) f(x) = 5 x x x (b) f(x) = 5x 4 1 (c) f(x) = x 1 x + 1 (d) f(x) = x 4x (e) f(x) = n x { 3. Seja f : R R, em que f(x) = (a) esboçar o gráco da função; x se x < 0 x + 4x + 3 se x 0. Pede-se: (b) determinar a derivada de f(x) no ponto x = Considere as funções g(x) = x, h(x) = x+1 e f(x) = que: (a) g (1) = e h (1) = ; (b) f (1 ) = e f (1 + ) não existe. E responda: (c) f é derivável em x = 1? (d) f é contínua em x = 1? { g(x) se x 1 h(x) se x > 1.Verique 1

2 { 1 x se 5. Calcule a e b de modo que f(x) = ax + b se x 0 x > 0 { 1 x se 6. Calcule a e b de modo que f(x) = ax + b se x 1 x > 1 seja derivável em x = 0. seja derivável em x = Vimos que a função y = x não é derivável em x = 0, mas o gráco tem uma reta tangente neste ponto que é perpendicular ao eixo x. Faça o gráco de y = x e verique que essa curva tem um bico em x = 0, mas tem reta tangente neste ponto. (a) Qual é esta reta tangente? (b) A função y = x é derivável em x = 0? 8. Obter o ângulo formado pelas tangentes às curvas x.y = 1 e x y = 7 no seu ponto de interseção do 1 ọ quadrante. { 1 x + x se x 1 9. Calcule a e b de modo que: f(x) =, seja derivável em ax b se x > 1 x = 1. { x 10. Calcule p e q de modo que: f(x) = + x + 1 se x, seja derivável em px q se x < x =. 11. Verique { se existem as derivadas laterais em x = 1 e se f é derivável em x = 1. x f(x) = x se x 1 5 x + x se x < 1. { 3 x se x 0 1. Calcule m e n de modo que: f(x) = mx + n se x < 0 (faça um esboço do gráco). seja derivável em x = Calcule a e b de modo que a função: f(x) = em x = Calcule a e b de modo que a função: f(x) = derivável em x = 1. { x + 5 se x 3 ax b se x < Nos problemas, determine a função derivada da função dada: (a) f(x) = x x x (b) f(x) = 4x + x x x x (c) f(x) = x 3 + x (d) f(x) = x + x x x (e) f(x) = x sin x (x ) cos x, seja derivável { x ax + b se x x x se x < 1, seja

3 sin x (f) f(x) = 1 + cos x sin x + cos x (g) f(x) = sin x cos x x 5 (h) f(x) = 10 x (i) f(x) = a x + a + x a x a + x (j) f(x) = ln (x + ) 1 + x ( π 4 + x ) (k) f(x) = ln tan ( ) x + 1 x (l) f(x) = ln x x (m) f(x) = ln (n) f(x) = x xx 1 + sin x 1 sin x 16. Calcular a derivada da função: f(x) = (sin x + e x ).(cos x + x 3 ) 3 no ponto x 0 = Obter a equação da reta tangente ao gráco da função f(x) = (3 sin x + 4 cos x) 5 no ponto de abscissa x 0 = π. 18. Obter a equação da reta tangente ao gráco de f(x) = 1 x + ex no ponto de abscissa x 0 = Calcular o valor da derivada da função f(x) = 1 x + e x + sec x quando x 0 = π Obter a equação da reta tangente à curva f(x) = ex +e x no ponto de abscissa. 1. Achar os pontos da curva y = x 3 6x + 7x em que a tangente a curva é paralela à reta 5x + y 3 = 0.. Achar o declive e a equação da tangente ao círculo x +y = 5 no ponto de abscissa x 0 = 3, sabendo-se que o ponto está no 4 ọ quadrante. 3. As derivadas dos termos da sequencia: sin x, sin ( π + x), sin(π+x),..., sin ( n π + x),..., também são termos da sequencia? 4. Determinar o ponto de contacto da tangente à curva y = x 16 e paralela à reta 5x + 3y = Dada a função h(x) = ln cos ( ) 3x π 4, 0 x < π, determinar a derivada primeira no ponto x = π Encontrar o polinômio do 4 ọ grau conhecendo a sua derivada segunda f (x) = x 4 e sabendo que f(x) é divisível por f (x). 7. Consideremos a função f(x) = a sin x+b cos x, onde a e b são constantes. Determine f(x) + f (x). 3

4 8. Dada f(x) = sin x, calcule f (0) + f ( ) π + f (3) (π) + f ( ) (4) 3π, onde f (4) indica a derivada da quarta de f(x). 9. Calcule a derivada segunda da função f(x) = ln x, x > Determinar a derivada segunda da função f(x) = cos 5x. 31. Determine f (1) (x), f () (x), f (3) (x) e f (4) (x) nos seguintes casos: (a) f(x) = e x (b) f(x) = sin 5x (c) f(x) = sin 3x cos 3x 3. Mostrar que a função y = e x. cos x verica a equação diferencial y (4) +4y = 0, onde y (4) é a derivada quarta de y. 33. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = cos x é y (n) = cos ( x + n. π ). 34. Mostrar que a função y = 1 x.e x verica a relação y y + y = e x. 35. Mostrar que a função y = e x. sin 5x verica a relação y 4y + 9y = Sabendo que y = e x. cos x, mostrar que: 37. Sabendo que y = x.e x. Calcular: d y dx. 38. Sabendo que y = e x. sin x, mostrar que: d y dx dy dx + y = 0 d y dx + 4dy dx + 8y = A função y = A. sin kx, com A > 0, e sua derivada segunda y satisfazem identicamente a igualdade, y + 4y = 0. O valor da derivada primeira y, para x = 0, é 1. Calcular as constantes A e k. 40. Seja g uma função duas vezes diferenciável que g() = 3, g () = 1 3 e g () = 5. Dene-se a função f pela equação f(x) = x 4.g(x). Encontre o valor numérico de f (). 41. Suponha que g seja uma função duas vezes diferenciável tal que g(0) =, g (0) = 3 e g (0) = 5. Dene-se uma função f pela equação f(x) = g(x). Encontre o valor numérico de f (0). 4. Obter todas as derivadas de y = 1 x. 43. Se f(x) = 1 1 x, obtenha uma fórmula para f (n) (x), n inteiro positivo. 44. Seja a elipse ɛ de equação x 5 + y 9 nos pontos de abscissa 3. = 1. Obter as equações das retas tangentes a ɛ 45. Considere a hipérbole H de equação: x y 16 tangentes a H nos pontos de abscissa x 0 = 3. = 1. Obtenha as equações das retas 4

5 46. Considere a parábola P de equação: y 6y = x 17. Obtenha as equações das retas tangentes a P nos pontos de abscissa x 0 = Sabendo-se que y é função de x tal que: x + y + 3x + 4y + 5 = 0, calcule dy dx. 48. Sabendo-se que y = f(x) e que: 5x 4y xy + 3x + y = 0, calcule dy dx. 49. Qual é a equação da reta tangente à curva de equação x +3xy +y x+y + = 0 no ponto T (1, )? 50. Achar y e y conhecendo x 3 x y + 4xy 8xy + 6x 3 = Determinar as equações das retas tangentes e normal à curva nos pontos indicados: (a) 3x y 1 = 0, P ( 1, ) (b) x 3 + y 3 3x y + 3 = 0, P (1, ) 5. Determine as equações da tangente e normal ao gráco da função implícita denida por: y + 3 y + 4 y = 7xy no ponto. P ( 3 7, 1). 53. Em cada caso a seguir, admita que a equação dada represente pelo menos uma função y = f(x) e obtenha y. (a) y = sin (x + y) (b) xy 3 3x = xy + 5 (c) y x = x y (d) xy ln y = 1 (e) tan y = x + y (f) e y = x + y 54. Obtenha a derivada de cada função a seguir, usando o processo da derivação logarítmica. (a) f(x) = x. cos x.e x (b) f(x) = (x 3 + ) 4.(x 1) 3. sin x (c) f(x) = (sin x) cos x (d) f(x) = x.(x 3) 3 tan x (e) f(x) = (x )3. x + e x.(x 1) x. sin x (f) f(x) = 3 (x + 1) (g) f(x) = 5 x 3. ( x x ). sin x 55. Um corpo lançado verticalmente do solo para cima, tem posições no decorrer do tempo dadas pela função horária S = 40t 5t. (t em segundos e S em metros). 5

6 (a) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima? (b) Qual a altura máxima atingida? 56. Suponha que uma bala é lançada verticalmente para o alto e que sua altura após t segundos seja t 16t pés. (a) Quanto tempo decorrerá para que a bala atinga a altura máxima da trajetória? (b) Qual é a altura máxima? 57. A quantidade de óleo para aquecimento em um tanque de armazenamento t dias após o tanque ter sido completado é t galões. A que razão (em galões por dia) o óleo é vazado do tanque quando t = 40? 58. Após uma campanha publicitária as vendas de um produto inicialmente cresceram e depois decresceram. Suponha que t dias após o m da campanha publicitária as vendas diárias eram de 3t + 30t unidades. A que razão (em unidades por dia) as vendas mudavam quando t =? 59. Um líquido goteja em um grande recipiente. Após, t horas, há 5t t 1 litros no recipiente. Qual a razão de gotejamento de líquido no recipiente (em litros por hora) quando t = 4? 60. Um processo clínico usual para estudar o metabolismo de cálcio de uma pessoa (isto é, a razão em que o organismo assimila e emprega o Ca) é injetar cálcio quimicamente marcado na corrente sanguínea e medir quão rapidamente esse cálcio é removido do sangue pelo metabolismo do indivíduo. Suponha que t dias após a injeção de cálcio, a quantidade A de cálcio marcado remanescente no sangue seja A = t 3 para t 0, 5, onde A é medido em unidades conveniente. Qual a velocidade de remoção (em unidades de cálcio por dia) do cálcio do sangue pelos processos metabólicos quando t = 1 dia? 61. Uma epidemia de gripe atinge uma cidade do centro-oeste. Os funcionários da saúde pública calcularam que o número de pessoas atingidas pela gripe no tempo t (medido em dias a partir do dia da epidemia) foi de aproximadamente: P (t) = 60t t 3, no intervalo 0 t 40. Qual a razão da expansão da gripe em t = 30? 6. Um produtor calcula que seu lucro a partir da produção diária e da venda de x serras elétricas será aproximadamente 0, 1x + 50x 1000 reais. Quantas serras devem ser produzidas por dia a m de maximizar o lucro? 63. Uma instalação de tratamento de esgotos descarregou esgoto não tratado em um lago durante alguns dias. Isto diminuiu a taxa de oxigênio disolvidos no lago. Seja f(t) a taxa de oxigênio no lago (medida em unidades adequadas) t dias após a descarga de esgoto ter começado a ocorrer no lago. ( Dados experimentais sugerem que f(t) é dado aproximadamente por: f(t) = ) Determine t+10 (t+10) a razão de variação em unidades por dia do teor de oxigênio no lago em t = 5 e t = 15. O teor ou taxa de oxigênio decresce ou cresce em t = 15? 64. A quantidade de carvão extraída diariamente de uma usina após t horas de operação é de aproximadamente 40t+t t3 toneladas, 0 t 1. Qual é a razão de extração 15 (em toneladas de carvão por dia) em t = 5 horas? 6

7 65. Suponha que t horas após ter sido colocado num frizer, a temperatura de uma peça de carne seja dada por: T (t) = 70 1t + 4 graus, onde 0 t 5. Qual é a t+1 velocidade de redução de sua temperatura após uma hora? 66. Suponha que o peso em gramas de um tumor canceroso no tempo t é: W (t) = 0, 1t, onde t é medido em semanas. Qual a razão de crescimento do tumor (em gramas por semana) quando t = 5? 67. Uma análise de produção diária de uma linha de montagem mostra que cerca de 60t + t t3 unidades são produzidas após t horas de trabalho, 0 t 8. Qual é 1 a razão de produção (em unidades por hora) quando t =? 68. O gerente de uma loja de departamentos deseja construir uma área retangular fechada de 600 pés quadrados no estacionamento a m de instalar um equipamento. Três lados devem ser construídos com tapume de madeira ao custo de R$ 7, 00 por pé linear. O quarto lado deve ser construído com blocos de cimento ao custo de R$ 14, 00 por pés linear. Determinar as dimensões de cerca que minimizam o custo total dos materiais de construção. 69. Um homem deseja fazer um jardim retangular ao longo de um dos lados de sua casa. Determinar as dimensões do maior jardim que pode ser feito usando 40 pés de cerca. 70. Dois muros de uma casa formam um ângulo de 90 o. Determine em que posição deverá ser colocada uma viga AB, de 10m de comprimento, para isolar a maior área de terreno possível. 71. ABCD é um quadrado cujo lado mede 1m. Tomam-se os pontos E e F respectivamente em AB e AD tais que AE = AF. E a área do quadrilátero CEF D seja máxima. Em metros quadrados, essa área máxima mede: 7. Calcule a área máxima de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a. 73. Obtenha o comprimento mínimo que pode ter a hipotenusa de um triângulo retângulo onde a soma dos catetos é a. 74. O triângulo ABC é retângulo em C e seus catetos medem a e b. Determine X = CM de modo que o retângulo CMNP, inscrito nesse triângulo, tenha área máxima. 75. Determine as dimensões do triângulo isósceles de área máxima e perímetro igual a 60cm. 76. Considere todos os triângulos isósceles cujos os lados iguais medem 1cm. Qual é o que tem área máxima? 77. Dois corpos tem movimento em uma mesma reta segundo as equações: S 1 = t 3 + 4t +t 1 e S = t 3 5t +t+. Determine as velocidades e posições desses corpos quando as suas acelerações são iguais considerando S em metros e t em segundos. 78. Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação θ = t 4 3t 4. (θ em radianos). Determine a velocidade e a aceleração angulares após 4 segundos. 7

8 79. Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação S = 3t 7 (S em cm e t em t+ segundos). Qual é a sua velocidade e aceleração após deslocar cm? 80. Esboçar o gráco de uma função f tal que, para todo x real, tenhamos f(x) > 0, f (x) < 0 e f (x) < Esboçar o gráco de uma função f para a qual f(x), f (x) e f (x) existem e são positivas, x R. 8. A derivada de uma função f(x) é uma função crescente que se anula para x = a. É f(a) um máximo ou mínimo de f(x)? 83. Construir a curva y = x + 3. Pelo ponto (1, 4) traçar uma secante de modo que 1 x = 1. Atribuir a x sucessivamente os valores:, 1 5, 1. Calcular o declive da 10 secante em cada caso e mostrar que os valores obtidos se aproximam gradativamente, do declive da tangente no ponto (1, 4). 84. Determinar o valor mínimo da função: f(x) = x 3 15x + 4x + 19, para x Calcule p e q de modo que o trinômio x + px + q tenha uma raiz nula e um mínimo para x = Se f(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3, determinar a 0, a 1, a e a 3 de modo que f tenha um extremo relativo em (0, 3) e um ponto de inexão em (1, 1). 87. Se f(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4, calcular a 0, a 1, a, a 3 e a 4 de modo que o gráco de f passe pela origem, seja simétrico em relação ao eixo OY e tenha um ponto de inexão em (1, 1). 88. Dada a função y = x + ax + b x, calcule a, b, c e d de forma que ela tenha um + cx + d mínimo igual a zero, para x = 1 e um máximo igual a, para x = Dada a função f(x) = x + px + q x, calcule p, q, m e n de forma que ela tenha um + mx + n mínimo igual a 1, para x = 0, e um máximo igual a 5 para x = Estudar a variação e representar gracamente as seguintes funções de R em R. (a) f(x) = x x 1 (b) f(x) = x x + 1 (c) f(x) = x 1 x (d) f(x) = x x 1 (e) f(x) = x x + 1 (f) f(x) = x 4 x 10 (g) f(x) = x + x 8

9 x (h) f(x) = x + x 3 (i) f(x) = (1 + x) (j) f(x) = 4x + 5 x 1 (k) f(x) = (x + 1) x (l) f(x) = (x 4) (m) f(x) = x 4 1 x (n) f(x) = 1 x + 1 (o) f(x) = x + 1 x 1 (p) f(x) = x + 1 x + (q) f(x) = x x x + 1 (r) f(x) = x 9 x 1 (s) f(x) = x4 + 1 x (t) f(x) = x3 x + 1 9