Máximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 22. Assunto: Máximos e mínimos

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1 Assunto: Máximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos Máximos e mínimos Sejam f uma função a valores reais, A um subconjunto do domínio de f, e (x 0, y 0 ) A. Dizemos que (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo de f em A se f f(x 0, y 0 ) ( A) Neste caso f(x 0, y 0 ) é chamado de valor máximo de f em A. Diremos que (x 0, y 0 ) D f é um ponto de máximo global(ou absoluto) de f se f f(x 0, y 0 ) ( D f ) Neste caso f(x 0, y 0 ), é dito o valor máximo de f. O ponto (x 0, y 0 ) D f é chamado de ponto máximo local de f, se existir uma bola aberta B tal que f f(x 0, y 0 ) ( B D f ) A se Se A é um subconjunto de D f e (x 0, y 0 ) A, diremos que (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo de f, em f f ( (x 0, y 0 ) A) Neste caso dizemos que f(x 0, y 0 ) é o valor mínimo de f em A. Um ponto (x 0, y 0 ) D f é dito ponto de mínimo global (ou absoluto) de f se

2 f f(x 0, y 0 ) ( D f ) Neste caso, diremos que f(x 0, y 0 ) é o valor de mínimo de f. Um ponto (x 0, y 0 ) é chamado de ponto mínimo local de f, se existir uma bola aberta B tal que f(x 0, y 0 ) f ( B D f ) Os pontos de máximo e os de mínimo de f são chamados de extremantes de f. Exemplo 1 O ponto (0, 0) é ponto de máximo global de função não tem ponto de mínimo global 1 x + y. O valor máximo de f é 1. Essa + 1 Exemplo O ponto (0, 0) é ponto de mínimo global de f = x + y e o valor mínimo de f é 0. Essa função não tem ponto de máximo global Exemplo 3 O ponto (1, 1) é ponto de máximo de f = x + y em A = { R ; 0 x 1 e 0 y 1}. O valor máximo de f em A é. O ponto (0, 0) é o ponto de mínimo de f em A e o valor mínimo de f em A é 0 Exemplo 4 Todos os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1 são ponto de máximo de f = x + y em A = { R ; x + y 1}. O valor máximo de f em A é 1. O ponto (0, 0) é o ponto de mínimo de f em A e o valor de mínimo de f em A é 0 Exemplo 5 Os pontos de máximo da função f = x + y sobre a elipse A = { R ; x + y 4 = 1} são os pontos (0, ) e (0, ). Tais pontos correspondem aos pontos que estão mais acima da curva contida no gráco de f(ver gura abaixo). O valor máximo de f em A é, portanto, 4. Os pontos de mínimo de f em A são (1, 0) e ( 1, 0). Esses pontos correspondem aos pontos que estão mais abaixo e sobre a curva contida no gráco de f. O valor mínimo de f em A é igual a 1. Observando as curvas de nível de f, ca evidente que os pontos (0, ) e (0, ) da elipse x + y 4 = 1 são os pontos de máximo de f em A e que os pontos (1, 0) e ( 1, 0) dessa elipse são os pontos de mínimo de f em A. Observemos também que a reta tangente à elipse no ponto (0, ) coincide com a reta tangente a curva de nível de f em (0, ). O mesmo acontece com os outros extremantes de f em A. Exemplo 6 A função f = ( x 3 + 3x)(y 1), cujo gráco está representado abaixo, possui um ponto de máximo local em ( 1, 0). Esse ponto não é um ponto de máximo global de f. O ponto (1, 0) é um ponto de mínimo local de f e também esse ponto não é um ponto de mínimo global de f. Sejam agora z = f uma função e (x 0, y 0 ) um ponto interior de D f tal que f tenha derivadas parciais em (x 0, y 0 ). Suponhamos que (x 0, y 0 ) seja um extremante local de f. Por exemplo, suponhamos que (x 0, y 0 ) seja um ponto de máximo local de f.

3 Como (x 0, y 0 ) o D f, existe um intervalo aberto I, com x 0 I, e uma função g : I R denida por g(x) = f(x, y 0 ). Observemos que g (0) = x (x 0, y 0 ). Logo g é derivável em x 0. Como (x 0, y 0 ) é ponto de máximo local de f, temos que x 0 é ponto de máximo local de g. Logo g (x 0 ) = 0. Assim, x (x 0, y 0 ) = 0 Analogamente, mostra-se que y (x 0, y 0 ) = 0. Temos assim o seguinte teorema Teorema 1 Seja f uma função que possui derivadas parciais em (x 0, y 0 ) e esse ponto é interior ao domínio de f. Se (x 0, y 0 ) é ponto de máximo local ou de mínimo local de f, então x (x 0, y 0 ) = 0 e y (x 0, y 0 ) = 0 Como o plano tangente ao gráco de f em (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) é dado por z = x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + f(x 0, y 0 ) Seque que se (x 0, y 0 ) o D f é extremante local de f, então uma equação desse plano tangente é z = f(x 0, y 0 ). Logo tal plano tangente é paralelo ao plano xy. Se (x 0, y 0 ) é ponto de máximo local de f, então o mencionado plano tangente, em uma vizinhança do ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), está acima do gráco de f. Mas se (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f, então, em uma vizinhança do ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), o plano tangente está abaixo do gráco de f O teorema anterior nos diz que para encontrarmos os pontos interiores de D f que são extremantes locais de f, devemos procurar dentre aqueles pontos (x 0, y 0 ) que satisfazem x (x 0, y 0 ) e y (x 0, y 0 ). Os pontos interiores de D f f. que satisfazem x (x 0, y 0 ) e y (x 0, y 0 ) são chamados de pontos críticos de Entretanto, é importante lembrar que a condição x (x 0, y 0 ) e y (x 0, y 0 ) para (x 0, y 0 ) D o f é necessária, mas não é suciente para que (x 0, y 0 ) seja extremante local de f, pois existem funções que tais derivadas parciais nulas em um ponto (x 0, y 0 ) D o f sem que tal ponto seja de máximo ou de mínimo local em (x 0, y 0 ). é o caso da função f = y x no ponto (0, 0) O gráco de f = y x na vizinhança de (0, 0, 0) tem o aspecto de uma sela de cavalo. Isso serve de inspiração para a seguinte denição. Denição 1 Um ponto crítico de f que não é ponto de máximo ou de mínimo local de f é chamado de ponto de sela de f. Se (x 0, y 0 ) é um ponto de sela de f, então o plano tangente ao gráco de f em (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) é paralelo ao plano xy, mas, em toda vizinhança de (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), há pontos do gráco de f que estão 3

4 acima do plano tangente e há pontos do gráco de f que estão abaixo desse plano tangente. Seja agora f uma função tal que D f é aberto e seja (x 0, y 0 ) um ponto de máximo local de f. Suponhamos que f seja de classe C. Consideremos a função g : I R, I intervalo aberto com x 0 I, denida por g(x) = f(x, y 0 ). Temos que g (x) = x (x, y 0) g (x) = x (x, y 0) Sendo (x 0, y 0 ) um ponto de máximo local de f, temos que x 0 é um ponto de máximo local de g. Logo Portanto, g (x 0 ) e g (x 0 ) < 0 x (x 0, y 0 ) = 0 e x (x 0, y 0 ) 0 Se tivéssemos tomado a função h(y) = f(x 0, y), teríamos concluído que y (x 0, y 0 ) = 0 e y (x 0, y 0 ) 0 Se (x 0, y 0 ) fosse um ponto de mínimo local de f, então teríamos obtido x (x 0, y 0 ) = 0, x (x 0, y 0 ) 0 e y (x 0, y 0 ) = 0 y (x 0, y 0 ) 0 Temos assim o seguinte teorema. Teorema Sejam f uma função de classe C em um aberto A e (x 0, y 0 ) A. (a) Se (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f, então (x 0, y 0 ) é um ponto crítico de f e x (x 0, y 0 ) 0 e y (x 0, y 0 ) 0 (b) Se (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f então (x 0, y 0 ) é um ponto crítico de f e x (x 0, y 0 ) 0 e y (x 0, y 0 ) 0 Queremos agora obter uma condição suciente para que um ponto crítico seja extremante local de f. Para isso, introduziremos o conceito de hessiano de f. 4

5 Denição O hessiano de uma função f de classe C é a função H denida por H = x y x y x y Portanto, H = x y [ y x ] Teorema 3 Seja f uma função de classe C em um aberto A e (x 0, y 0 ) A um ponto crítico de f. (a) Se H(x 0, y 0 ) > 0 e x (x 0, y 0 ) > 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f (b) Se H(x 0, y 0 ) > 0 e x (x 0, y 0 ) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f (c) Se H(x 0, y 0 ) < 0 então (x 0, y 0 ) é um ponto de sela de f. Quando temos H(x 0, y 0 ) = 0, nada podemos armar. Vamos demonstrar a parte (a) desse teorema. Seja v = (h, k) (0, 0) e consideremos a função em que t pertence a um intervalo aberto I. g v (t) = f(x 0 + ht, y 0 + kt) O gráco de g v coincide com a curva que é obtida pela intersecção do gráco de f com o plano perpendicular ao plano xy e que contém a reta Pela regra da cadeia temos: = (x 0, y 0 ) + t(h, k) g v (t) = x (x 0 + ht, y 0 + kt)h + y (x 0 + ht, y 0 + kt)k Aplicando novamente a regra da cadeia obtemos: g v (t) = [ ] [ f x (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f ] y x (x f 0 + ht, y 0 + kt)k h+ x y (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f y (x 0 + ht, y 0 + kt)k k 5

6 Segue do teorema de Schwarz que g v (t) = f x (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f y x (x 0 + ht, y 0 + kt)hk + f y (x 0 + ht, y 0 + kt)k Observemos que a função g v é contínua, pois f é de classe C. Temos que Para facilitar a escrita, escrevamos g v (0) = f x (x 0, y 0 )h + f y x (x 0, y 0 )hk + f y (x 0, y 0 )k a = f x (x 0, y 0 ), b = f y x (x 0, y 0 ) e c = f y (x 0, y 0 ) Logo g v (0) = ah + bhk + ck Portanto, g v (0) = a [h + h ba k + ca ] k [ ( ) ( ) ( ) b b b = a h + h a k + a k a k + c [ ( = a h + b ) ] a k + c a k b a k [ ( = a h + b ) ( ) ] c a k + a b a k [ ( = a h + b ) ] a k ac b + a k a b ( = a h + b ) a k b c + a k a k ] ( = a h + b ) a k + a b b c a k Logo, ( g v (0) = f x (x 0, y 0 ) h + b ) a k + H(x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) k 6

7 Supondo que f x (x 0, y 0 ) > 0 e H(x 0, y 0 ) > 0, temos que g v (0) > 0. Como g v é contínua, segue do teorema da conservação do sinal, que g v (t) > 0, para t em um intervalo aberto que contém zero. Logo a concavidade de g v é para cima. Fazendo g v variar em todas as direções, concluiremos que o gráco de f está acima do plano tangente ao gráco de f em (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Logo (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo de f. Exemplo 7 Encontre os pontos críticos da função f = ( x 3 + 3x)(y 1) e classique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Resolução: Temos que: De x = ( 3x + 3)(y 1) = 3(x 1)(y 1) y = ( x3 + 3x)y = xy(x 3) { { 3(x 1)(y 1) = 0 xy(x 3) = 0 (x 1)(y 1) = 0 xy(x 3) = 0, teremos que (x 1)(y 1) = 0 x = 1, y = 1, y = 1, y = 1 Assim, quando: x = 1 y( ) = 0 y = 0 y = 0 (1) x = 1 y( ) = 0 y = 0 y = 0 () y = 1 x(x 3) = 0 x = 0, x = 3, x = 3 (3) y = 1 x(x 3) = 0 x = 0, x = 3, x = 3 (4) De (1) concluímos que ( 1, 0) é ponto crítico de f. De (), (1, 0) é ponto crítico de f. De (3), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) são pontos críticos de f e de (4), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) são pontos críticos de f. Portanto, os pontos críticos de f são: ( 1, 0), (1, 0), (0, 1), ( 3, 1), ( 3, 1), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) 7

8 O hessiano será da forma: f x = 3.x(y 1) = 6x(y 1) f y x = 3(x 1)y = 6y(x 1) f y = x(x 3) H = x y x y x y = 6x(y 1) 6y(x 1) 6y(x 1) x(x 3) = 1x (x 3)(y 1) 36y (x 1) Para o ponto ( 1, 0) teremos: Portanto, ( 1, 0) é ponto de máximo local de f. H( 1, 0) = 1.1.( )( 1) = 4 > 0 ( 1, 0) = 6.( 1)( 1) = 6 < 0 x Para o ponto (1, 0) teremos: Portanto, (1, 0) é ponto de mínimo local de f. H(1, 0) = 1.1.( )( 1) = 4 > 0 (1, 0) = 6.1.( 1) = 6 > 0 x Para o ponto (0, 1) teremos: Portanto, (0, 1) é ponto de sela de f. H(0, 1) = = 36 < 0 De modo análogo, temos que ( 3, 1), ( 3, 1), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) são pontos de sela de f. 8