Gráco de funções de duas variáveis

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 09 Assunto:Gráco de funções de duas variáveis, funções de três variáveis reais a valores reais, superfícies de nível,funções limitadas Palavras-chaves: gráco, variáveis, superfícies de nível,funções limitadas Gráco de funções de duas variáveis As curvas de nível e o correspondente mapa de contorno de uma função de duas variáveis f : A R 2 R ajudam a melhor compreender a ação de uma função. Outra ferramenta que também é utilizada para esse propósito é o gráco de f. O gráco de uma função f : A R 2 R é o conjunto G f = {(, y, f(, y)) R 3 ; (, y) D f }

2 Em geral o gráco de f é uma superfície no R 3 que tema a propriedade de que toda reta paralela ao eio z pode tocar tal superfície em apenas um ponto. Não é fácil esboçar o gráco de uma função de duas variáveis. Consideraremos apenas casos de funções em que é possível fazer os esboços do gráco seguindo estes quatro passos: 1. Esboço da intersecção do gráco com o plano z 2. Esboço da intersecção do gráco com o plano yz 3. curvas de nível e 4. curvas de contorno O que são curvas de contorno de f : A R 2 R? A cada curva de nível de f corresponde a uma curva de contorno. A curva de contorno de f correspondente a curva de nível f(, y) = c é constituída pelos pontos do R 3 que satisfaz { f(, y) = c z = c ou ainda {(, y, c) G f ; f(, y) = c} Esta curvas está sobre o gráco de f e é projetada em f(, y) = c no plano y. Eemplo 1 Esboce o gráco da função dada 2

3 f(, y) = 2 + y 2 (ou) z = 2 + y 2 Intersecção com o plano z y = 0 z = 2 (parábola) Intersecção com o plano yz = 0 y = z 2 (parábola) Curvas de nível Imf = [0, + ) Temos que 2 + y 2 = 0 = y = 0 Portanto, (0, 0) é a curva de nível correspondente ao nível zero. Também temos que c > 0, 2 + y 2 = c 2 + y 2 = ( c) 2 Logo, são as circunferências de centro na origem e raio c. 3

4 Gráco Eemplo 2 Esboce o gráco das seguintes funções 1. z = y 2 2 Intersecção com o plano z y = 0 z = 2 (parábola com concavidade para baio) 4

5 Intersecção com o plano yz = 0 y = z 2 (parábola) Curvas de nível Imf = R Temos que c = 0 y 2 2 = 0 y 2 = 2 y = ± 2 y = ± y = ou y = Também temos que c > 0, y 2 2 = c (hipérbole que toca o eio y em c e c) 5

6 Finalmente temos que c < 0, y 2 2 = c (hipérbole que toca o eio em c e c) Curvas de contorno Gráco 2. f(, y) = k, k constante O gráco de f é um plano paralelo ao plano y que corta o eio z em k 6

7 3. f(, y) = 2 A função f independe da variável y z = 2 Intersecção com o plano z y = 0 z = 2 (parábola) Intersecção com o plano yz = 0 z = 0 7

8 Curvas de nível Imf = [0, + ) Temos que c > 0, 2 = c = c ou = c Curvas de contorno Gráco 8

9 De uma maneira análoga mostra-se que o gráco de uma função que independe de uma variável é obtido pelo deslocamento do gráco da função de uma variável a qual ela é igual na direção do eio correspondente a variável ausente. 4. f(, y) = y 2 5. f(, y) = sin y 6. f(, y) = sin cos y 3y 7. f(, y) = 2 + y

10 Funções de três variáveis reais por O gráco de uma função f : A R 3 R de três variáveis reais a valores reais é o conjunto G f denido G f = {(, y, z, f(, y, z)) R 4 : (, y, z) D f } Assim, o gráco de f é um subconjunto do R 4, não sendo possível fazer um esboço do mesmo. Para termos uma compreensão geométrica de uma função de três variáveis, podemos usar as suas superfícies de nível, que é análogo as curvas de nível para funções de três variáveis. Sejam f : A R 3 R uma função de três variáveis e c Imf. O conjunto de todos os pontos de D f que tem c como valor pela função f é a superfície de nível de f associada ao nível c é constituído pelos pontos do domínio de f que satisfazem a equação f(, y, z) = c Eemplo 3 Esboce as superfícies de nível da função dada 1. f(, y, z) = z 2 y 2 Temos que Imf = R c R, z 2 y 2 = c z = 2 + y 2 + c Parabolóide com vértice no ponto (0, 0, c) 10

11 2. f(, y, z) = 2 + y 2 + z 2 Imf = [0, + ) Temos que c = 0, 2 + y 2 + z 2 = 0 = y = z = 0 Portanto, a superfície de nível de f correspondente ao nível zero é a origem. c > 0, 2 + y 2 + z 2 = c Esfera de centro na origem e raio c. Concluímos que as superfícies de nível de f é a origem e esferas (concêntricas) com centro na origem. 11

12 Funções Limitadas Uma função f : A R n R é limitada se eiste um número real positivo µ que satisfaz para qualquer ( 1, 2,..., n ) D f. f( 1, 2,..., n ) µ A condição anterior é equivalente a µ f( 1, 2,..., n ) µ ( ( 1, 2,..., n ) D f ) Assim, uma função limitada de duas variáveis reais a valores reais tem seu gráco compreendido entre dois planos paralelos ao plano y, a saber, z = µ e z = µ. Observemos que toda função constante é limitada. Eemplo 4 Mostre que cada uma das seguintes funções é limitada 1. f(, y) = y 2. Resolução: y y 2 1 Portanto, f é limitada. Analogamente, a função g(, y) = 2. f(, y) = 2 + y y 2 1 y2 2 + y 2 é limitada. Resolução: Portanto, f é limitada. 3. f(, y) = Resolução: 2 + y = 2 + y y 2 = y = y 2 1 = 1 12

13 2 + y = 2 + y y 2 = Portanto, f é limitada. Analogamente, a função f(, y) = 4. f(, y) = y 2 + y 2 ; Resolução: 2 ( + 1) 2 = = 1 y 2 + y é limitada. y 2 + y 2 = y 2 + y 2 = (y) 2 (2 + y 2 ) = 2 Portanto, f é limitada. Na verdade, podemos mostrar que 5. f(, y, z) = Resolução: (y + z) 2 + y 2 + z 2. 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 = y 2 + y y 2 y y = 1 (y + z) 2 + y 2 + z 2 = y + z 2 + y 2 + z 2 = y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + y 2 + z 2 y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + y 2 + z 2 = y 2 + y 2 + z 2 + z = 2 y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + y 2 + z 2 Portanto, f é limitada. Eemplo 5 Mostre que a função f(, y) = 2 + y 2 não é limitada. Resolução: Se considerarmos apenas pontos do R 2 da forma (, 0) com 0, temos f(, 0) = = 2 = 1 13

14 Tomando próimo de zero, 1 assume valores arbitrariamente grandes. Logo, f(, y) não é limitada. Proposição 1 Sejam, f, g : A R n R e k R. Se f e g são limitadas, então kf, f + g, f g, fg são limitadas. Demosntração: Se f e g são limitadas, então eistem números positivos µ 1 e µ 2 tais que para quaisquer ( 1,..., n ) A. Logo, f( 1,..., n ) µ 1 e g( 1,..., n ) µ 2, kf( 1,..., n ) = k f( 1,..., n ) k µ 1 f( 1,..., n ) + g( 1,..., n ) f( 1,..., n ) + g( 1,..., n ) µ 1 + µ 2 f( 1,..., n ) g( 1,..., n ) f( 1,..., n ) + g( 1,..., n ) µ 1 + µ 2 f( 1,..., n )g( 1,..., n ) = f( 1,..., n ) g( 1,..., n ) µ 1 µ 2 Portanto, kf, f + g, f g, fg são limitadas. 14