Matemática A Semi-Extensivo V. 3

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Matemática A Semi-Extensivo V. 3"

Transcrição

1 Matemática A Semi-Etensivo V. Eercícios 0) 0 f: R R f() = c) f: R R f() = 0. Falsa alsa. CD = R, mas Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Im(f) = [, ). 0. Falsa alsa. Já não é sobrejetora. 08. Verdadeira f( 5 ) = ( 5 ) = 6 6. Falsa alsa. Parábola.. Verdadeira f() = f( ) para todo. 0) a) f: R R f() = função sobrejetora d) f: R R f() =. Lembre que = Assim, f() =. =,,,, 0 função injetora b) f: R R f() = Não é injetora nem sobrejetora. 0) 0 f: [, ] R f() = 5 função bijetora Matemática A

2 0. Falsa alsa. Im = [0,5] 0. Verdadeira 0. Falsa alsa. f não é função par. 08. Verdadeira 6. Falsa alsa. f() = 0, mas f( ) =.. Falsa alsa. CD = R, mas Im(f) = [0, 5]. 06) 0. Correta. Se f() = f( ), então elementos distintos terão a mesma imagem. Eemplo: 0) C f: [, ] [, ] f() = 0. Correta. f: A B Se n(b) < n(a), então haverá algum B tal que f( ) = f( ) = para, A, com. A B função bijetora 05) C f: R R = Lembre que = Assim, =, 0, 0. =, 0. 0, 0 0. Correta. f é sobrejetora CD = Im(f) 08. Correta. f: R R f() = a b c Análise do gráfico. 6. Correta. f: [0, ] R f() = cos p p função sobrejetora, CD = Im(f) = R. Incorreta. f() = sen é ímpar. Será sobrejetora apenas se seu contradomínio for igual à imagem. CD = Im(f) = [, ] Matemática A

3 07) A n(a) = k > 0 k > (I) n(b) = k > 0 k > (II) f é injetora n(b) n(a) k k k 5.( ) k 5 (III) Com I, II e III concluímos que < k 5. 08) f(0) = 5 e f(f(a )) = 5 Se f é injetora e dois elementos têm a mesma imagem, então eles são iguais, ou seja, 0 = f(a ). Como f() = 0, pela mesma razão interior: = a = a Assim, f(a) = f() = 6. 09) D ) 0 0. Incorreta. g() = cos Im = [, ] 0. Correta. f: [0, ) R f() = g: R R g() = g(f()) = g( ) = ( ) = Observação: O domínio de g(f()) é o "maior" subconjunto possível do domínio de f tal que g(f()) eista. Logo, D(gof) = [0, ). 0. Correta. Se B não possuir infinitos elementos, haverá elementos distintos em A com mesma imagem em B. Dessa forma, f não será injetora. 08. Correta. A f B a b c... n elementos 0) As aplicações injetoras de A em B são obtidas à medida que escolhemos três elementos distintos em B como imagens de a, b, c. Logo, o total de aplicações injetoras é dado por: A n, = 0 n! = 0 ( n )! n.( n ).( n ) ( n )! = 0 ( n )! n. (n ). (n ) =.. 0 n = a b c d A f B e f g h i j As funções injetoras de A em B são obtidas quando agrupamos os elementos de B de em. N = A 6, = 6!! = 60 N 0 = 60 0 = 6 (, 0) área =. 6. Correta. sen cos = (a ) ( a ) = a a a = a a a = 0 a" Se a =, então sen = (absurdo). Logo, a =. ) B f: Z Z; f crescente; sobrejetora f() = Note que f(n) = n e f(n) = n não são funções crescentes. f(n) = n é crescente, mas nesse caso, f() =. f(n) = (n ) é crescente e f() =. Porém, não é sobrejetora. Não eiste n Z tal que f(n) =. De fato: (n ) = n 8 = n = 9 =,5 Z Matemática A

4 Logo, a única função na lista que é crescente, sobrejetora e que satisfaz f() = é f(n) = n 6. ) B g() = ; a, b, c > 0 f() = a b g(f()) = 5 c (I) g(f()) = g(a b) = (a b) a b = = a ab b a b = = a (ab a) b b (II) Com I e II, concluímos que: a (ab a) b b = 5 c Assim, temos: a = a = e ab a = 5 b = 5 b = e b b = c = c c = 6 ) f() = a) = o ) = o ) = = f () = b) fof () = f c) f B.Q.I. =. = 0 f 5) D f() = Lembre que, se f(a) = b, então f (b) = a. Assim, como f( ) =. ( ) =, f ( ) =. Logo, f e f interceptam-se em (, ). 6) D g() = = o ) = o ) = g () = 7) E f() = ; g() = f(0) = (gof)(0) = g(f(0)) = g( ) = ( ) = 8) f() = f() f() Se f () =, então f() =. = = = = 9) f() = 5 ; g() = f() = (gof)() = g(f()) = g() = = 0 0) 6 f() = ; g() = 0. Verdadeira f(0) = 0. Falsa alsa. coeficiente angular negativo decrescente 0. Verdadeira = 0 = 08. Verdadeira v = Im = [, ) 6. Verdadeira = o ) = o ) =. Verdadeira g(f()) = g() = = 6. Falsa alsa. V(0, ) ) f() = ; g() = (gof)() = g(f()) = g( ) =. = = = 8 = 8 = 9 = ou Matemática A

5 = 9 = 8 Não tem solução em R. A = {, } n(a) = ) a) f() = a b f( ) = 0 a b = 0 f() = 6 a b = 6 a b 0 a b 6.( ) a b 0 a b 6 a = 6 a = ; b = f() = b) f(0) =. 0 = c) f(f()) = 0 f( ) = 0. ( ) = 0 = 0 = 6 = ) 5 f: A = R {} B = R {} f() = Observação: A construção de gráficos como este (hipérbole) não faz parte do programa do Ensino Médio, mas apesar disso, a questão pode ser respondida sem a construção do gráfico. ) f(a) = f(b) a b a b ab a = ab b a = b a = b 0. Verdadeira = o ) = o ) = =. ( ) = = f () = Como o contradomínio é o conjunto B = R {}, a relação f é uma função de B em A. 08. Falsa alsa. f() = ; mas f( ) =. 6. Verdadeira. Verdadeira Com base no item 0, vimos que f () = é inversa da função f. Logo, f é a bijetora Falsa alsa. Uma reta tem a lei da forma = a b. 0. Verdadeira Vamos mostrar que, se dois elementos quaisquer tem a mesma imagem, então eles são iguais. a b f(a) = f(b) a) Im(f) = [0, 5] (projeção no eio ) b) f(0) = ; f() = Em [, 0], a função é do tipo f() = a b. f(0) = b = f( ) = 0 a b = 0 a = a = f() = f( ) = Matemática A 5

6 c) f(f(0)) = f() = 5 f(f()) = f() = 5 f(f( )) = f() = d) f(f(f(0))) = f(f()) = f(5) =? Em [, 6], a função é do tipo f() = a b, com f( ) 5 a b 5 f( 6) 0 6a b 0 a b 5 6a b 0 a = 5 a = 5 ; b = 0 f() = 5 0 f(5) = = 5 f(f(f(0))) = 5.( ). 5) f( ) = a) Substituindo por, temos: f( ) = ( ) f() = f() = b) f(0) = 0 c) f(f()) = f( ) = ( ). ( ) = = = = 8 6 d) Usando o item c, temos, f(f(0)) = 0. 6) A Basta rebater o gráfico de f de modo simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. f 8) A f() = f(g()) = 5 (I) f(g()) =. g() (II) De I e II, obtemos:. g() = 5 g() = g() = g( ) = = 9) f() = f(g()) = (I) f(g()) = g() (II) Com I e II, concluímos que: g() = g() = 9 9 g(8) = = 8 0) C f(g()) = (I) f( ) = Em f( ), trocando por, obtemos: f( ) = f() = Agora, f(g()) = g() (II) Com I e II, concluímos que: g() = g() = g() = 8 8 = 0 ) E f() = m f (5) = f() = 5 f f() = 6 m = 5 6 m = 0 m = m = B.Q.I. 7) f() = ; g() = f( ) f( ) f(5) = 5 = g(f(5)) = g() = f( ) f( ) = = f(7) f(6) = (7 ) (6 ) = = 7 6 = (6 ) 6 = = = 5 ) a) f( ) = Trocando por, temos: f( ) = ( ) f() = f() = b) g( ) = Basta trocarmos por. g( ) = g( ) = 6 Matemática A

7 c) h() = ; t() = h(t()) = h( ) = ( ). ( ) = = 8 = d) u(v()) = (I) u( ) = Em u( ), trocando por, encontramos: u( ) = u() = u(v()) = v() u (II) De I e II, obtemos: v() = v() = v() = 8 8 = 0 ) f() = a b c g() = 0. Incorreto. Se a = b = c = 0, temos f() = ; g() =. 6. Incorreto. = g( ) = ( ) = = V = V = V(, ). Incorreto. g() = não admite inversa, pois não é bijetora. ) f() = g() = a) f(g()) = f( ) = O domínio de f(g()) é o conjunto formado pelos elementos do domínio da g() tais que f(g()) eista. eiste quando 0. Interceptam-se em pontos. D(fog) = { R/ ou } b) g(f()) = g( ) = ( ) = O domínio de g(f()) é o conjunto formado pelos elementos do domínio da f() tais que g(f()) = eista. Como eiste para qualquer do domínio de f() =, temos que: D(gof) = D(f) = { R/ 0} 0. Correto. Algebricamente, podemos obter as abcissas dos pontos de encontro igualando as leis f() = g(). a b c = (a ) b c = 0 Como essa equação tem, no máimo, três raízes distintas, f e g se interceptam em três pontos no máimo. 0. Correto. (fog)() = f(g()) = f( ) = = ( ) a( ) b c = 6 a b c Como um polinômio de grau 6 possui, no máimo, 6 raízes distintas, (fog)() pode interceptar o eio em 6 pontos diferentes. 08. Correto. Se = é raiz, então f() = 0. a b c = 0 f( ) = ( ) a( ) b( ) c Substituindo em f( ), temos: ( ) a. ( ) b( ) c = = a b c = 0 Logo, é raiz de f( ). 5) f() = g() = g ( ), 0 5, 0 f( 5), 0, 0 Note que: f() =. 5 = g( ) = f( 5) = f() = f( ) = g( ) = g( ) = = Assim, g(f( )) = g() = = 6) g() = h() = f(g()) = 9 6 h() = f( ) = 9 6 Substituindo = =, temos: f() = = = = 9 = = 6 9 Matemática A 7

8 Logo, f() = 6 9 = ( ). g) 7. ( ) 7 5 = 0. ( ) ou h) ( 7). (5 ) > > 0 5 > 0.( ) 5 < 0 7) a) (5 ) < 5 0 < 5 < < b) ( ) ( ) c) < < 70. ( ) 0 > 70 > 7 d) < < 7 i). ( ) ( ). ( ) 0 j) k) > 0 =.. = 8 S = S = {} S = R e) 6. ( ) <. l) < < (I) 0 < 6 < < <.( ) > > (II) 0 f) I 6 6 S = II I II 8 Matemática A

9 8) B 5 (I) 5. ( ) (II) 6 S = I II = R/ 5 9) D 7 (I) 5 (II). ( ) S = I II = { R/ } N os inteiros:,, 0) 5m > 5500 (I) 5m > 576 m > 095, 8 m 700 > m (II) 5 I 6 II 5 I 6 S = { R/ < < 6} ) C 0 0 < 0 (I) < 0 (II) 0 I II 0 I 0 II II 8m m 5 5 m > 90. ( ) m < 90 m < 096, De I e II, tiramos que m = 096. Soma dos dígitos: = 6 ) C 0 S = {} ) B > 8 (I) 8 > 0 0 < < ) B A = { R/ 0} 0 0 B = { R/ } C = { R/ 0} 0 A B = 0, [, ] = [0, ] (A B) C = [0, ] [, ] = [0, ] 5) E A = < 0 (II) < 5 A = [, ] B = > 0 Matemática A 9

10 6) D B = (, ) (, ) B = R B = [, ] A B = [, ] [, ] = [, ] m m > 0 = 0 m. m. > 0 m m > 0 0 m < 0 ou m > 7) B = ( p). p < 0 < p (I). ( p). ( ) < 0 8 p < 0 p <.( ) p > p > (II) De I e II, tiramos que p >. a < 0 e D < 0 8) B k > 0 Queremos que o gráfico seja: Para isso, basta fazermos < (k ) < 0 6 8k < 0 8k < 0.( ) 8k > 0 k > 5 9) A f() = 6; g() = 5 h() =.( 5 ) 6 h() = 0 Domínio: ou 0 50) E < < < < < <. ( ) > > 0 Somando, temos: > > > > 5) 0. Verdadeira f() = Domínio: { R/ ou 5 e 6} 0. Verdadeira = o ) = o ) = = ( ) = = 0. Verdadeira h() = ; k() = h(k()) = h(5) = Falsa alsa. f() = é crescente. h() = ( fog)( ) = f ( 5 ) 0 Matemática A

11 6. Verdadeira g() = Todos os epoentes são pares.. Falsa alsa. h() = = 5 h() = / 5 S = { R/ ou } b) = 8 5 = Im = [0, ) 5) E 6 b c ( 6 b) c 0 Como a solução é o intervalo [0, ], o gráfico é:. S = { R/ 5 ou < < } c) > 0 0 ( )( ) > 0 ( ) > 0 Desse modo, as raízes são 0 e. Soma 6 b = 0 6 b = 6 b = 0 Produto c = 0. c = 0 c = 5) a) ( ). ( ) 0 = = > 0 = ; = = 8 < 0 = S = { R/ < } Matemática A

12 d) (6 ) 7 0 O sinal de (6 ) 7 é o mesmo de 6. Então, basta resolvermos a inequação ( ) 6 S = { R/ } e) ( 7 6) 0 0 (I) Como ( 7 6) 0 0 para todo R, os únicos valores que satisfazem a inequação I são ' = e " = 6. S = {, 6} f) (6 ) 7. ( 7 6) 0 < 0 (I) ( 7 6) 0 > 0 para todo R, ; 6. (6 ) 7 tem o mesmo sinal de 6. Então, a inequação I é equivalente a: 6 < 0, ; 6 < 6.( ) > 6 > S = { R/ > ; 6} 5) B ( 5). ( 5). ( ) < 0 = 5 = 5 =.. S = R/ ) E 5 6 < 0 = 5 6 = S = { R/ < ; } 57) E 5 < ) E = 5 = 8 6 / S = R/ 5 5, ( )( ) Como é sempre positivo, basta resolvermos a inequação ) C ( 7 5). ( ) < 0 = = 7 5 D = 9 60= = D = = 5 S = R. S = { R/ < < ou 5} 59) > 5 Matemática A

13 a) Passar para o outro lado equivale a multiplicar os dois lados por. Como o sinal de desigualdade não mudou, ele considerou como positivo. Aí está o equívoco, pois pode ser também negativo ( < 0 para < ). b) > 5 5 > > 0 8 > 0 = 8 = S = R/ 8 60) D 6 < < < 0 5 < 0 = 5 = 8 8 S = { R/ < < 5} 6) = = / S = (, ] Soluções inteiras: 0 = 0 6) 0. Verdadeira Propriedade m.d.c (a, b). m.m.c (a, b) = a. b. = 5. 8 = Falsa alsa. = = = = = 6 = 6 A = {,, 9, 6, 5, 6} 0. Verdadeira D d r Q D = dq r (I) Seja o menor número a ser somado a D para que a divisão seja eata. D d 0 Q D = d(q ) 0 Usando I, temos: dq r = dq d = d r 08. Falsa alsa Matemática A

14 Queremos que o quociente seja negativo ou nulo. Como o numerador já é negativo ( ), basta tornarmos o denominador positivo. > 0 > S = { R/ > } 6. Verdadeira A e B disjuntos n(a B) = 0 n(a B) = n(a) n(b) n(a B) n(a B) = n(a) n(b) 6).( 7 0 ) 5.( )( 5) 5 8 8; 5 ( ) 8 59,5 6,5 Menor solução inteira: 6 6) D > > 0. ( ) > 0. ( ) > 0 = = 0 0. S = { R/ } 66) A ( 9) 5. ( ) 7 < 0 ( 9) 5 tem o mesmo sinal de 9. ( ) 7 tem o mesmo sinal de. Então, basta resolvermos a inequação ( 9). ( ) < 0. = 9 =. S = { R/ < } 67) 0. Correto. 6 6 S = { R/ < < 0 ou > } 65) ( ) ( ) 0 = = 6 0. Incorreto. < < 0 < 0 ( ).( ) ( ).( ) = = = 0 0 Matemática A

15 S = R/ 0 ou 0. Incorreto. = 08. Correto. = 5 8 = 5 = 7 70) f() = 0 = 0 = 0 = 0 > 0 para qualquer. 6. Incorreto. = z Se = 0, = e z =, temos: = 0 = z = 0. Correto. = 0 ( ). ( ) = 0 = 0 = (I) ou = 0 = (II) Geometricamente: 6. Incorreto. = 0, = 6 =, mas = 6 = (I) = (II) está definido e vale não está definido, pois 6 teríamos =. 6 68) B Se f() é constante, isto é f() = k, k R, temos f() = k e f( ) = k para todo. 69) A P( ) = Fazendo = z = z P(z) = z Domínio: > 0 e > 0 0 > 0 0 > 0 < < 0 7) E = a b c c = (sen o cos o ). (sen o cos o )..... (sen 80 o cos 80 o ) Note que um desses fatores é sen 5 o cos 5 o = Então c = 0. Assim, = a b. = 0 é raiz. 7) B f() = a b f( 5) 5a b.( ) f( ) 0 a b 0 = 0. 5a b a b 0 6a = a = ; b = f() = Raiz: = 0 = 6 Então a temperatura esteve negativa entre t = 5 e t = 6 horas, isto é, durante hora. Matemática A 5

16 7) 0 < < 5 0 Área f() =. (0 ) f() = 0 Área máima: V = ( 00) 5 a 6 7) = 00 ' = 0; " = 00 V = 50; V = a Correto. V = f() = 9a b c v A v S ABV = base altura =. 9 a b c = 9a b c 08. Correto. a > 0 V = b = a b = 6a b = 6a Como a é positivo, b é negativo. 6. Correto. a > 0 e c > 0 Então a. c > 0. Correto. P(6, ) f() = a. ( ). ( 5) f(6) = a. (6 ). (6 5) = a. 5. = B = Inclinação: tg = tg = 50 = arctg 50 75) 6 = a b c a 0 C 76) C a = 5 f() = 5. ( ). ( 5) = 5. ( 6 5) = = 5 5 c = 6 z z I z v A v v B 5 6 II 6 z z 6 z 0. Correto. V = 5 = 0. Incorreto. ' " = 5 = 6 S I = z ; S II = ( 6 z ) 6 Matemática A

17 S sombreada = S quadrado S I S II = 6 z ( 6 z ) f(z) = 6 z 6 z z 8 v f(z) = 7 z 6 z z f(z) = z z 6 f(z) = z 6z 8 Abcissa do vértice: z V = = 6 77) 78) f 8 v A g 0 a I b a II b 0. Correto. A(, 0) V = = Assim, V(, 8) Soma das coordenadas: 0 8 = 8 0. Correto. f() = a b f( ) 0 a b 0 f() 8 a b 8 b = 8 b = ; a = f() = 0. Incorreto. g() = a. ( ). ( ) g() = 8 a. ( ). ( ) = 8 a. ( ) = 8 a = g() =. ( ). ( ) = = ( ) = Correto. f() = (Veja item 0.) 6. Incorreto. Veja item 0. g() = 6 g() = 8, mas g( ) = 0. Correto. Nesse trecho será bijetora. Logo, admite inversa. f() = S I = 0, (b a). f(b) = 0, (b a). b b b a = 0, = 0, S II = (b a). f(b)=. (b a). b 79) f() = a b c f() = a b c = f() = a b c = 7 f( ) = a b c = 0 Somando I e III, temos: a b c a b c 0 a c = a c = 7 (IV) (I) (II) (III) = b a b = 0, Matemática A 7

18 Multiplicando III por e somando com II, encontramos: a b c 0 a b c 7 6a c = 7 a c = 9 (V) De IV e V, obtemos: a c 7.( ) a c 7 a c 9 a c 9 a = c = 5 b = Assim, a b c = 6 5 =. I. Falsa alsa. {0} S II. Falsa alsa. S U = {,, 6} S T U = {0} III.Falsa alsa. S possui elementos; e T, elementos. Assim, no mínimo, elementos de S estarão relacionados com um mesmo elemento T. IV.Verdadeira T apresenta menos elementos que S. Assim em toda g: T S sobrarão elementos de S sem correspondente. 8) A CD(f) = Im(f) 80) A g() = (fog)() = f(g()) = f = 8) A f = Trocando de variável, temos: = f() = a) q p f q p g Assim, f() = = 8. m n m n 8) f() = a f () = a = a = a f (8) = 8 a 0 8 a 0 Raízes 8 a = 0 a = 8 a = 85) E É sobrejetora e injetora, então é bijetora. q p m h n Não é sobrejetora nem injetora. É sobrejetora. a = S = {a R/ a } 8) B S = {0,,, 6} T = {,, 5} U = {0, } É injetora. 8 Matemática A

19 86) C g(f()) = ( ) g(f()) = g(f()) = = 0 S = = P = = ' = " = = 0 87) A f() = f(g()) = ( ). ( ) f(g()) = f(g()) = concavidade para cima = 0 a = cálculo das raízes S = = P = = ' = " = 88) C < 8 8 < 0 0. Correta. (5 8) = = = 0 (5) = 0 = 56 0 = 8 S = 5 = 8 S = (Módulo nunca tem resultado negativo.) = A 08. Correta. 5 = 8 5 = (8 ) 8 = 5 0 = = 5 ou 5 = 8 6 = 8 Gráfico 8 = 0 = 8 = S = ], [ intervalo 89) 0 0. Incorreta. < 9 9 < 0 Gráfico 9 = 0 = 0. Correta. 5 = 0 = b ac = = 56 = 56 0 ' = " = 5 A 90) C = 6. Correta. < 9 70> 0 U = 0 S: = 7 P:. = 0 ' = " = 5. Incorreta. 7 0 < > 0 ( 9 ) A U A < 0 ( ).( ) /5, 5 A ( ) ( ).( ) 0 Matemática A 9

20 ( ).( ) = 0 = 9 = 0 = 0 = S = 0 Matemática A

Matemática A Extensivo v. 5

Matemática A Extensivo v. 5 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão,

Leia mais

Matemática A Semi-Extensivo V. 2

Matemática A Semi-Extensivo V. 2 Matemática A Semi-Etensivo V. Eercícios 0) a) É função. b) Não é função, pois f() = e f() = 6. c) É função. d) Não é função. Eiste uma reta paralela ao eio y que corta o gráfico em pontos. e) Não é função.

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Matemática A Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Nesse caso temos {a} como subconjunto de {a, b}, logo a relação correta seria a} {a,

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Neste caso temos {a} como subconjunto de {a, b} logo a relação correta seria a} {a, b} c) Falso

Leia mais

Matemática A Superintensivo

Matemática A Superintensivo Matemática A Superintensivo Eercícios 0) a) é elemento de A A. b) não é elemento de B B. c) 0 não é elemento de C 0 C. d) Todo elemento de B é elemento de A B A. e) B e C B C. f) O conjunto A contém os

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

A idéia de função. O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com.

A idéia de função. O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com. Matemática Básica Unidade 5 Estudo de Funções RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. https://ueedgartito.wordpress.com A idéia

Leia mais

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA RESOLUÇÃO: f(x) = f(x) = x f(x) = x ) a 2. 2) a função g: * 1.

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA RESOLUÇÃO: f(x) = f(x) = x f(x) = x ) a 2. 2) a função g: * 1. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 4 Funções II. (OPM) Seja f uma função de domínio dada por + f() =. Determine o conjunto-imagem + + da função. O conjunto-imagem da

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 3

Matemática A Extensivo V. 3 Etensivo V. Eercícios 0) a) S = {, } b) S = c) S = ; 4 d) S = {,,, } e) S = ; a) + = Pela propriedade IX temos: + = ou + = = = = = Para = Para = + = + = = = = (ok) = (ok) S = {, } b) = + Pela propriedade

Leia mais

Lista de Exercícios de Funções

Lista de Exercícios de Funções Lista de Eercícios de Funções ) Seja a R, 0< a < e f a função real de variável real definida por : f() = ( a a ) cos( π) + 4cos( π) + 3 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que : a) (], [ Z)

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente

Leia mais

UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2

UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1- Resolva a inequação 4 3 Resp: 1,4 - Dizemos que uma relação entre dois conjuntos não vazios A e B é uma função de A em B quando:

Leia mais

Matemática B Semi-Extensivo V. 3

Matemática B Semi-Extensivo V. 3 GRITO Matemática Semi-Etensivo V. (, e (, M, Então: M = M = M = M = Eercícios D Substituindo em I, temos: = =. = = Então, = ( = 8 M(, (, (, M = M = 8 M = M = D Sabendo que o eio é o da abcissa e que o

Leia mais

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2

Capítulo 3. Fig Fig. 3.2 Capítulo 3 3.1. Definição No estudo científico e na engenharia muitas vezes precisamos descrever como uma quantidade varia ou depende de outra. O termo função foi primeiramente usado por Leibniz justamente

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 4

Matemática A Extensivo V. 4 Etensivo V. 4 Eercícios 0) C f(t) = at + b (t = tempo) (I) t = 0 f(t) = 9000 (II) t = 4 f(t) = 4000 Substituindo os valores na função f(t) = at + b, temos: (I) 9000 = a. 0 + b b = 9000 (II) 4000 = 4a +

Leia mais

2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x).

2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x). 1. Algumas funções básicas 2. Tipos de funções Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eio y, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é par?

Leia mais

RESPOSTAS DA LISTA 5 (alguns estão com a resolução ou o resumo da resolução):

RESPOSTAS DA LISTA 5 (alguns estão com a resolução ou o resumo da resolução): Lista de Matemática Básica I - RESPOSTAS) RESPOSTAS DA LISTA alguns estão com a resolução ou o resumo da resolução): Resposta: < < < < < 8 Justificativa: observe que Também observe que: e são simétricos;

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Matemática B Etensivo v. 8 Eercícios y = Eio real = a = a = C = A + B ( = ( + B B = a y b = D C y = y = 6 9 Daí, a = 6 e b = 9 c = a + b c = 9 + 6 c = c = c = Portanto, a distância focal é dada por: c

Leia mais

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:

Leia mais

MÓDULO 41. Funções II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

MÓDULO 41. Funções II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 41 Funções II 1. (OPM) Seja f uma função de domínio dada por x x + 1 f(x) =. Determine o conjunto-imagem x + x + 1 da função.. Considere

Leia mais

(j) f(x) = (w) h(x) = x. (y) f(x) = sin(2x) (z) h(x) = 2 sin x. > 0 x 2 4x (g) x + 4 2x 6 (h)

(j) f(x) = (w) h(x) = x. (y) f(x) = sin(2x) (z) h(x) = 2 sin x. > 0 x 2 4x (g) x + 4 2x 6 (h) Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista : Funções - Cálculo Diferencial e Integral I. Determine o domínio e construa o gráco das seguintes funções. A seguir identique como estão relacionados os grácos

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Funções. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções Aula 0 08/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Definição

Leia mais

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Leia mais

Para uma matriz de ordem 2 podemos usar o resultado obtido em um dos exercícios da aula 41.

Para uma matriz de ordem 2 podemos usar o resultado obtido em um dos exercícios da aula 41. Resoluções das atividades adicionais Capítulo Grupo A a) L L L L L L L Logo A Para uma matriz de ordem podemos usar o resultado obtido em um dos eercícios da aula 4 a b Se A c d, então A d b ad bc c a

Leia mais

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Mostre que não é número racional Dica: escreva como um possível quociente de números inteiros e use o Teorema Fundamental da Aritmética Mostremos inicialmente

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 1 SEMIEXTENSIVO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e

MATEMÁTICA CADERNO 1 SEMIEXTENSIVO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. n Módulo 1 Equações do 1 ọ Grau e MATEMÁTICA CADERNO SEMIEXTENSIVO E FRENTE ÁLGEBRA n Módulo Equações do ọ Grau e do ọ Grau ) [ ( )] = [ + ] = + = + = + = = Resposta: V = { } 9) Na equação 6 = 0, tem-se a = 6, b = e c =, então: I) Δ =

Leia mais

Matemática B Extensivo v. 8

Matemática B Extensivo v. 8 Etensivo v. 8 Eercícios 0) 9 6 = ; e = 3 centro Note que C = (0, 0). Também, c = e a = 3. Então, da equação c = b + a temos = b + 3 b = 4. Assim, a equação dessa hipérbole fica: = = 3 4 9 6 A ecentricidade

Leia mais

MÓDULO 33. Funções I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

MÓDULO 33. Funções I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA C9_ITA_Mod_33_36_prof /0/0 09:5 Page I Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 33 Funções I. (OPM Seja f uma função dada por: f( = 7 e n f(n =, para n natural, maior que.

Leia mais

1º) Esboce o gráfico das funções, calcule e marque os interceptos: a) f(x) = x b) f(x) = - 3x + 2

1º) Esboce o gráfico das funções, calcule e marque os interceptos: a) f(x) = x b) f(x) = - 3x + 2 1º) Esboce o gráfico das funções, calcule e marque os interceptos: a) f() = b) f() = - 3 + 2 (0,0) (0,2) no eio (,0) no eio c) f() = + 3 d) f() = 2-3 (0,3) no (0,-3) no (-3,0) no (1,5;0) no 2º) Determine

Leia mais

Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções

Capítulo 2. Funções. 2.1 Funções Capítulo Funções Ao final deste capítulo você deverá: Recordar o conceito de função, domínio e imagem; Enunciar e praticar as operações com funções; Identificar as funções elementares, calcular função

Leia mais

O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO

O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO O ESTUDO DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO As funções explicitam relações matemáticas especiais entre duas grandezas. As grandezas envolvidas nessas relações são conhecidas como variável dependente

Leia mais

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 1. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 1 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

Gabarito. Sistemas numéricos. 1. Números naturais. 2. N. 3. Infinito. 4. Infinito. 5. Não. Contra-exemplo: número 7.

Gabarito. Sistemas numéricos. 1. Números naturais. 2. N. 3. Infinito. 4. Infinito. 5. Não. Contra-exemplo: número 7. Gabarito Sistemas numéricos. Números naturais.. N. Infinito.. Infinito. 5. Não. Contra-eemplo: número 7. 6. Não, pois sempre é possível encontrar um número maior, bastando somar mais uma unidade. 7. 0

Leia mais

Capítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B.

Capítulo 2. f : A B. 3. A regra em (3) não define uma função de A em B porque 4 A está associado a mais de um. elemento de B. Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 6

Matemática A Extensivo V. 6 Matmática A Etnsivo V. 6 Rsolva.) a) Aula. ( )

Leia mais

GABARITO COMENTÁRIO PROVA DE MATEMÁTICA (IV SIMULADO ITA/2007) QUESTÕES OBJETIVAS 3 ( 2) ( 2) = 3. 5 m. 64 x

GABARITO COMENTÁRIO PROVA DE MATEMÁTICA (IV SIMULADO ITA/2007) QUESTÕES OBJETIVAS 3 ( 2) ( 2) = 3. 5 m. 64 x D: 00 08 º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL COMENT Rosângela o Ensino Médio PROVA DE MATEMÁTICA (IV SIMULADO ITA/00) GABARITO COMENTÁRIO QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÃO 0 LETRA D Como a equação é do quinto grau

Leia mais

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0 FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode

Leia mais

Unidade 3. Funções de uma variável

Unidade 3. Funções de uma variável Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está

Leia mais

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva = 0 e = y = nos pontos onde Vamos determinar a reta tangente à curva y = nos pontos

Leia mais

Capítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas.

Capítulo 2. f : A B. elementos A com elementos de B ilustradas nos seguintes diagramas. Capítulo 2 Funções Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função com domínio A e contradomínio B é uma regra f que a cada elemento em A associa um único elemento em B. A notação usual para uma função f

Leia mais

CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE

CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE CE65 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA ª. PARTE. FUNÇÕES.- Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano A localização de pontos num plano é bastante antiga na Matemática e data aproimadamente

Leia mais

GABARITO S = { 1, 33; 0, 2} (VERDADEIRO) 08. 2x 5 = 8x x 2 9 x x = 3 e x = 3. x = 7 ± 3. x =

GABARITO S = { 1, 33; 0, 2} (VERDADEIRO) 08. 2x 5 = 8x x 2 9 x x = 3 e x = 3. x = 7 ± 3. x = 88 0) x 0, 5 aplicando a prop. a n m m a n : 88 5 00 x 88 5 0 x 8 5 0 x 80 5 0 x 75 0 x 75x 0 x 0 75 x 5 multiplicando toda inequação por 0: multiplicando toda inequação por x: Porém, x 0, pois x é o denominador.

Leia mais

Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau. Inequações Quociente. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau. Inequações Quociente. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau Inequações Quociente Primeiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 27 de

Leia mais

MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75

MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75 MATEMÁTICA 3 17. Sejam f() sen() e g() /2. Associe cada função abaio ao gráfico que melhor a representa. Para cada associação feita, calcule i k, onde i é o número entre parênteses à direita da função,

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções

Leia mais

LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA 3º ANO

LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA 3º ANO LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA º ANO. (Espce (Aman)) O domínio da função real f A), B), 6 C),6 D), E), 8 é. (Unicamp) Seja f() uma função tal que para todo número real temos que f( ) ( )f(). Então, f() é

Leia mais

Matemática B Intensivo V. 2

Matemática B Intensivo V. 2 Matemática Intensivo V. Eercícios ) ) C ( ) (5 7) Usando a fórmula do ponto médio: X + X Y + Y C + 5 + 7 6 8 ( ) ERRT: considere (6 ). Temos d () d (C). ssim: ( 6) + ( b ) ( ) + ( 6 b) 9 + b 9 + b b +

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3 - Pré-cálculo a lista complementar de eercícios (6//7 a 7//7) Diga quais dos conjuntos abaio

Leia mais

6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0

6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0 QUESTÃO ÚNICA 0,000 pontos distribuídos em 50 itens Marque no cartão de respostas a única alternativa que responde de maneira correta ao pedido de cada item.. O valor da área, em unidades de área, limitada

Leia mais

UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene

UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 011-1 37 Sumário III Números reais - módulo e raízes 38 3.1 Módulo valor absoluto........................................ 38 3.1.1 Definição

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 6 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE UMA

Leia mais

Matemática B Semi-Extensivo V. 3

Matemática B Semi-Extensivo V. 3 Matemática Semi-Extensivo V. Exercícios 01 (x, x; (, 1; (7, d, = d, x x x x = x + 4x + 4 + x + x + 1 = x 14x + 49 + x 4x + 4 4x = 48 x = (, 0 (1, 1; G(, ; M(, 1 (x, y = x = 1 x x = 5 = y x y 1 = 1 y x

Leia mais

Matemática A Extensivo V. 6

Matemática A Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) C A função que descreve o custo com a primeira locadora é dada por: f () =, + em que é a quantidade de quilômetro rodado. Função que descreve o custo com a segunda locadora: f

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... 5 IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 7 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE

Leia mais

III Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17

III Números reais - módulo e raízes Módulo ou valor absoluto Definição e exemplos... 17 UFF/GMA - Matemática Básica I - Parte III Notas de aula - Marlene - 010-16 Sumário III Números reais - módulo e raízes 17 3.1 Módulo valor absoluto...................................... 17 3.1.1 Definição

Leia mais

Gráficos de Funções. Matemática Prof. Piloto. d 2. d d 2 2. d 2

Gráficos de Funções. Matemática Prof. Piloto. d 2. d d 2 2. d 2 Matemática Prof. Piloto Gráficos de Funções 1. Função Uma forma simples de dizer o que é uma função é: Uma função é uma variável (y) que depende de outra () Nosso esquema mental é: y é a função ou variável

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +

Leia mais

Aula 04 Funções. Professor Marcel Merlin dos Santos Página 1

Aula 04 Funções. Professor Marcel Merlin dos Santos Página 1 PARIDADE Define-se como paridade o estudo das características do que é igual ou semelhante, ou seja, é uma comparação para provar que uma coisa pode ser igual ou semelhante à outra. Função Par Define-se

Leia mais

ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi

ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 06 Limites, Assíntotas Horizontais e Assíntotas Verticais [0] (2006.2) Considere a função f() =

Leia mais

Análise I Solução da 1ª Lista de Exercícios

Análise I Solução da 1ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Matemática Análise I 0- Solução da ª Lista de Eercícios. ATENÇÃO: O enunciado

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros

Leia mais

UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas Disciplina de Matemática Discreta

UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas Disciplina de Matemática Discreta Termos Semelhantes(redução) a) + (não há termos semelhantes) b) ²+3-5 (não há termos semelhantes) c) +3+ => 5+ d) 5 + (3 ) - ( 9) 5 + 3 + 9 5 + 3 + 9 6 + 5 e) 8 [ - + ( + 3 7)] 8 [ - + +3 7] 8 + 3 + 7

Leia mais

Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda)

Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda) Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Etensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda). (Udesc 0) A função f definida por f() é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o domínio (D(f)) e a imagem

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Notas de aula para o

Leia mais

Material Teórico - Módulo Função Quadrática. Funcão Quadrática: Exercícios. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Função Quadrática. Funcão Quadrática: Exercícios. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Função Quadrática Funcão Quadrática: Eercícios Primeiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Eercícios f() Eemplo

Leia mais

& ( $ + & ( U V $ QUESTÃO 01.

& ( $ + & ( U V $ QUESTÃO 01. Resolução da prova de Matemática do º Vestibular Simulado de 004 _ Colégio Anchieta-BA Elaboração; prof. Octamar Marques. Resolução e comentário: profa. Maria Antônia Gouveia. QUESTÃO 0. & ( 0 4 U V $

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Teste de Matemática 2017/I

Teste de Matemática 2017/I Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Teste de Matemática 017/I 1. Os ovos de galinha são mais baratos do que os de perua. Não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de

Leia mais

a k. x a k. : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i 2 = 1 z : módulo do número z z: conjugado do número z M m n

a k. x a k. : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i 2 = 1 z : módulo do número z z: conjugado do número z M m n ITA MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,...} : conjunto dos números reais [a, b] = {x ; a x b} [a, b[ = {x ; a x < b} ]a, b[ = {x ; a < x < b} A\B = {x; x A e x B} k a n = a + a +... + a k, k n = k a n x n = a 0

Leia mais

Matemática A V. 1 Intensivo

Matemática A V. 1 Intensivo Matemática V. Intensivo Eercícios 0) a) é elemento de. b) não é elemento de. c) 0 não é elemento de C 0 C. d) Todo elemento de é elemento de. e) e C C. f) O conjunto contém os elementos de. g)o conjunto

Leia mais

Caderno 2. Concurso Público Conteúdo. - Coletânea de Exercícios Gerais

Caderno 2. Concurso Público Conteúdo. - Coletânea de Exercícios Gerais Concurso Público 2016 Caderno 2 Conteúdo - Funções de Primeiro e Segundo Grau - Noções de Probabilidade e Estatística Descritiva - Matemática Financeira - Aplicações e Operações com Inequações - Sequências

Leia mais

LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA 3º ANO

LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA 3º ANO LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA º ANO. (Espce (Aman)) O domínio da função real f A), B), 6 C),6 D), E), 8 é. (Unicamp) Seja f() uma função tal que para todo número real temos que f( ) ( )f(). Então, f() é

Leia mais

Introdução às Equações Funcionais

Introdução às Equações Funcionais 1. Introdução Introdução às Equações Funcionais Prof. Davi Lopes OBM 22ª Semana Olímpica Anápolis 21/01/2019 Estudaremos aqui um dos assuntos mais requisitados no mundo olímpico: as equações funcionais.

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada Eercícios de Derivada Eercícios de Fiação Cálculo I (0/) IM UFRJ Lista : Derivadas Prof Milton Lopes e Prof Marco Cabral Versão 7040 Fi : Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto =

Leia mais

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A PROVA MODELO N.º 4 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 12.º ANO DE ESCOLARIDADE

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A PROVA MODELO N.º 4 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 12.º ANO DE ESCOLARIDADE EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A PROVA MODELO N.º 4 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 1.º ANO DE ESCOLARIDADE Site: http://recursos-para-matematica.webnode.pt/ Facebook: https://www.facebook.com/recursos.para.matematica

Leia mais

Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 4 - Funções Elementares - Parte I Prof Carlos A S Soares Neste momento do curso de Elementos de Cálculo, estamos interessados em rever algumas funções já estudadas no Ensino Médio de forma

Leia mais

Funções. Conceitos Básicos. Unidade C. Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

Funções. Conceitos Básicos. Unidade C. Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG 4 Unidade C Funções Conceitos Básicos Matemática I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG 5 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por eemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel em

Leia mais

Matemática C Semiextensivo v. 4

Matemática C Semiextensivo v. 4 Semietensivo v Eercícios ), aplicando o teorema de Laplace na ª coluna, temos que: A + A + A + A + + ( ) + ( ) ( + + + + ) + ( + + + 9 + ) + ) para qualquer valor de A + A + A + A + ( ) ( ) + ( ), ou seja,

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 8

Matemática E Extensivo V. 8 Matemática E Etensivo V. 8 Eercícios ) 5 Sejam r, r e r 3 as raizes da equação 3 + 3 7 =. Logo r + r + r 3 = b a = ( ) = 5 ) Sejam r, r, r 3 e r as raizes da equação 3 5 3 + 8 = Logo r. r. r = c a = 3

Leia mais

IGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS

IGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS IGUALDADES EM IR Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Na igualdade A = B, A é o primeiro membro e B é o segundo membro. As igualdades entre

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof AULA 0 - FUNÇÕES.

Leia mais

LISTA DE REVISÃO PROVA TRIMESTRAL ÁLGEBRA 3º ANO

LISTA DE REVISÃO PROVA TRIMESTRAL ÁLGEBRA 3º ANO LISTA DE REVISÃO PROVA TRIMESTRAL ÁLGEBRA º ANO. (Espce (Aman)) O domínio da função real f A),, 6 C),6 D),, 8 é. (Unicamp) Seja f() uma função tal que para todo número real temos que f( ) ( )f(). Então,

Leia mais

Capítulo 1 Números Reais

Capítulo 1 Números Reais Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {

Leia mais

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

FUNÇÕES EXPONENCIAIS FUNÇÕES EXPONENCIAIS ) Uma possível lei para a função eponencial do gráfico é (a) = 0,7. (b) =. 0,7 (c) = -. 0,7 (d) = -.,7 (e) = - 0,7. ) Os gráficos de = e = - (a) têm dois pontos em comum. (b) são coincidentes.

Leia mais

Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião. Relações X Funções Considere a equação x + y = 5.

Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião. Relações X Funções Considere a equação x + y = 5. Relações X Funções Considere a equação + =. Embora esta equação tenha duas variáveis, ela possui um número finito de soluções naturais. O conjunto solução desta equação, no universo dos números naturais,

Leia mais

Matemática B Extensivo V. 6

Matemática B Extensivo V. 6 GRITO Matemática Etensivo V. 6 Eercícios 0) E 0) 0) omo essas retas são perpendiculares, temos que o coeficiente angular de uma das retas é o oposto e inverso da outra, ou seja, m reta. m reta a + a a

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau. Sistemas de inequações. Primeiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau. Sistemas de inequações. Primeiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau Sistemas de inequações Primeiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 5

Leia mais

Prova Vestibular ITA 2000

Prova Vestibular ITA 2000 Prova Vestibular ITA Versão. ITA - (ITA ) Sejam f, g : R R definidas por f ( ) = e g cos 5 ( ) =. Podemos afirmar que: f é injetora e par e g é ímpar. g é sobrejetora e f é bijetora e g é par e f é ímpar

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM300 - Pré-cálculo 0 a lista de eercícios (6/0/207 a 27/0/207). Sejam A e B conjuntos. Defina

Leia mais

x 5 Df (( x))= ]0; 5[ ]5; + [

x 5 Df (( x))= ]0; 5[ ]5; + [ Resoluções das atividades adicionais Capítulo Grupo A x. a) f( x) x + 7 x + 7 0 x 7 Df (( x)) R { 7} x b) f( x) x x 0 e x 0 x 0e x. Df (( x)) ]0; [ ]; + [. a) O ponto onde o gráfico de f corta o eixo O

Leia mais

1ª Avaliação. 2) Determine o conjunto solução do sistema de inequações: = + corte o eixo Oy

1ª Avaliação. 2) Determine o conjunto solução do sistema de inequações: = + corte o eixo Oy 1ª Avaliação 1) Se = 3,666 e y = 0,777, calcule y ) Determine o conjunto solução do sistema de inequações: 7 0 1 3 0 3) Calcule m para que o gráfico de f( ) ( m 7m) no ponto de ordenada 10 = + corte o

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras

Leia mais

UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação 12/01/2013 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma:

UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação 12/01/2013 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação /0/03 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: Instruções Gerais: - A prova pode ser feita a lápis, exceto o quadro de respostas das questões

Leia mais

UFSC. Matemática (Amarela) Resposta: = , se x < fx ( ) 2x 3, se 7 x < 8. x + 16x 51, se x. 01. Correta.

UFSC. Matemática (Amarela) Resposta: = , se x < fx ( ) 2x 3, se 7 x < 8. x + 16x 51, se x. 01. Correta. Resposta: 01 + 08 + 16 = 5 7 4, se x < fx ( ) x 3, se 7 x < 8 x + 16x 51, se x 8 01. Correta. 0. Incorreta. A imagem da função é Im = ( ; 13]. 3 04. Incorreta. f( 16) f( 6) 4 08. Correta. 16. Correta.

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais