Adriano Pedreira Cattai

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1 Adriano Pedreira Cattai Universidade Federal da Bahia UFBA, MAT A01, Discussão da equação de uma superfície. Construção de uma superfície 1.1 Introdução Definição de Superfície Eistem dois problemas em Geometria Analítica, referentes à Equação e Lugar Geométrico, que são chamados de Problemas Fundamentais da Geometria Analítica, a saber: (i) (ii) Dada uma equação, determinar sua interpretação ou representação geométrica; (O Lugar Geométrico de uma equação) Dada uma figura ou condição geométrica, determinar sua equação ou representação analítica (A equação de um Lugar Geométrico). Claro que esses problemas são essencialmente inversos um do outro, que juntos constituem o Problema Fundamental da Geometria Analítica. No estudo de curvas, vê-se que, dada uma equação em duas variáveis e a qual podemos escrever abreviadamente na forma f(, ) = 0, em geral eiste uma infinidade de pares de valores reais para e que satisfaem esta equação. E também que dada uma figura ou condição geométrica é possível obter uma equação ou representação analítica do seu lugar geométrico. Assim, estenderemos ao espaço tridimensional alguns conceitos dos conceitos fundamentais considerados em coneão com a equação f(, ) = 0, agora em equações retangulares em três variáveis, e, a qual podemos escrever abreviadamente na forma F(,, ) = 0. No estudo de Planos, tem-se que todo plano é representado analiticamente por uma única equação linear da forma a + b + c + d = 0. Mais geralmente, se uma equação da forma F(,, ) = 0 tem um lugar geométrico, este é uma superfície e, inversamente, se uma superfície pode ser representada, analiticamente, tal representação é uma única equação da forma F(,, ) = 0. Assim, podemos estabelecer a seguinte definição: Definição (Superfície): O conjunto S de pontos cujas coordenadas retangulares satisfaem a uma equação da forma F(,, ) = 0 é denominada superfície, ou seja, S R F 3 = {(,, ) ; (,, ) = 0}. Página 1

2 Por eemplo, a equação ( ) + ( ) + ( ) = r representa uma esfera centrada no ponto P0 = ( 0, 0, 0) de raio r > 0. De fato, a esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do 3 R que são r P eqüidistantes a um ponto fio do 3 R, assim se P = (,, ) é o centro P o da esfera e P= (,, ) é um ponto qualquer desta esfera, então dp ( 0, P) = r, ou seja, ( ) + ( ) + ( ) = r e logo temos ( ) + ( ) + ( ) = r A definição que damos para Superfície é um pouco pretensiosa, visto que a relação F(,, ) = 0 pode não representar uma superfície. Por eemplo, a equação = 0 3 não possui ponto no R que a satisfaça e, portanto não representa lugar geométrico algum. Já para a equação + + = 0 eiste um ponto que satisfa o ponto isolado a origem ( 0,0,0 ). Essas observações nos diem que não é necessário, obrigatoriamente, que toda equação da forma F(,, ) = 0 represente uma superfície, mas claramente que eiste uma infinidade de equações sob esta forma que represente uma superfície. Enquanto a equação F(,, ) = 0 envolve três variáveis, a equação de uma superfície pode conter somente uma ou duas variáveis. Por eemplo, a equação = k, onde k é qualquer constante real, representa um plano paralelo ao plano XY. Além disso, veremos que uma equação da forma + = 1 quando considerada no espaço, representa um cilindro circular reto e não uma circunferência. A fim de evitar tal ambigüidade iremos referir a superfície + = 1 ou a superfície cilíndrica + = 1. Podemos obter superfícies não somente por meio de uma equação do tipo F(,, ) = 0, eistem muitos procedimentos para a obtenção de uma superfície, como por eemplo: (a) (b) (c) (Superfície Cônica) movendo-se uma linha reta (geratri) por uma curva passando por um ponto fio não pertencente a ela. (Superfície Cilíndrica) movendo-se uma linha reta (geratri) por uma curva fiada (diretri) sempre paralelamente a uma outra linha reta fia. (Superfície de Revolução) faendo um giro de 360 de uma curva (geratri) em torno de uma linha reta fiada (eio de revolução). Página

3 Geratri Geratri Superfície Cônica Superfície Cilíndrica Superfície de Revolução No entanto, podemos a partir destes procedimentos obter uma equação sob forma F(,,)=0, como refere o segundo problema fundamental da Geometria Analítica. 1. Discussão da equação de uma superfície Uma das importantes fases da Geometria Analítica, como vimos, é a construção de figuras a partir de suas equações. Faremos uma discussão da equação de uma superfície antes de construí-la e em seguida, com o auílio dessa discussão construiremos a referida superfície, uma ve que essa construção será consideravelmente facilitada a partir da analise dos seguintes itens: (1) Identificar as interseções sobre os eios coordenados; () Identificar os traços sobre os planos coordenados; (3) Simetria em relação aos planos coordenados, aos eios coordenados e à origem; (4) Seções por planos paralelos aos planos coordenados; (5) Etensão da superfície. Para tanto, precisaremos de algumas considerações e definições para cada item. (1) A interseção de uma superfície sobre um eio coordenado é a correspondente coordenada do ponto de interseção da superfície com o eio coordenado. Para obter tal coordenada, basta igualar as outras duas a ero e substituir em F(,, ) = 0. Na figura ao lado, o ponto A é a interseção da superfície com o eio coordenado X e B com o eio A B coordenado Y. Eemplo numérico: Seja = a equação que represente uma dada superfície. O(s) ponto(s) de interseção com o eio X são (3,0,0) e (-3,0,0), pois tomando ==0 na equação da superfície, ficamos com 4 = 36 e logo =± 3. Análogo para os outros eios. Página 3

4 () O traço de uma superfície sobre um plano coordenado é a curva de interseção da superfície com o plano coordenado. Para obter uma curva num dos planos coordenados, basta considerar a coordenada não medida neste plano como sendo igual a ero em F(,, ) = 0. Na figura ao lado, temos o traço da superfície no plano coordenado XZ. Eemplo numérico: Ainda com =, o traço da superfície sobre o plano XY é =, uma elipse, pois equivale a + = 1. Análogo para os outros planos. (3) (a) Diemos que dois pontos distintos são simétricos em relação a um plano (coordenado) se, e somente se, o segmento retilíneo que une esses dois pontos é dividido ao meio e normalmente pelo referido plano (coordenado). Esse plano é chamado de plano de simetria. (b) Diemos que dois pontos distintos são simétricos em relação a uma reta (eio coordenado) se, e somente se, o segmento de reta que une esses dois pontos é dividido ao meio e normalmente pela referida reta (eio coordenado). A reta em relação a qual os dois pontos são simétricos é denominado eio de simetria. (c) Diemos que dois pontos distintos são simétricos em relação a um ponto (origem) se, e somente se, esse ponto (origem) for o ponto médio do segmento de reta que une esses dois pontos. Esse ponto é denominado centro de simetria. Simetria relação ao plano XY Simetria relação ao eio X Simetria relação à origem Dessa forma, diemos que uma superfície é simétrica em relação a um ponto, reta ou plano, se para cada ponto sobre a superfície há um correspondente ponto também sobre a superfície de tal modo que esses dois são simétricos em relação ao ponto, à reta ou ao plano, respectivamente. Vejamos como isso se tradu na equação da superfície, supondo sob a forma F(,, ) = 0. Página 4

5 (3.1) Em relação aos planos coordenados: Seja A ' o simétrico de A em relação ao plano XY. Então para A(,, ) e '( ', ', ') A o ponto médio M do segmento M (,,0) ( ) A' ', ', ' A(,, ) + ' + ' + ' AA' fica (,,0) =,, = ', = ' e ' =, logo A' (,, ). se, e somente se, Conclusão: Uma superfície é simétrica em relação ao plano XY se ao substituirmos por na sua equação, a mesma não se altera, ou seja, F( ) F( ),, = 0,, = 0. Resultado análogo, obtemos para os outros planos (ver tabela). (3.) Em relação aos eios coordenados: Seja B ' o simétrico de B em relação ao eio X. Então para B (,, ) e '( ', ', ') B o ponto médio M do segmento B(,, ) M (,0,0) ( ) B ' ', ', ' + ' + ' + ' BB ' fica (,0,0 ) =,, = ', = ' e ' =, logo B '(,, ). se, e somente se, Conclusão: Uma superfície é simétrica em relação ao eio X se ao substituirmos por e por na sua equação, a mesma não se altera, ou seja, F( ) F( ) Resultado análogo, obtemos para os outros eios (ver tabela).,, = 0,, = 0. (3.3) Em relação à origem: Sejam C(,, ) e '( ', ', ') C dois pontos distintos. C(,, ) O( 0,0,0) Então C ' é simétrico a C em relação à origem se, e somente se, = ', = ' e ' =, logo C' (,, ). ( ) C',, Conclusão: Uma superfície é simétrica em relação à origem se ao substituirmos por, por e por na sua equação, a mesma não se altera, ou seja, F( ) F( ),, = 0,, = 0. A seguinte tabela apresenta todas as determinações da simetria de uma superfície a partir de sua equação. Página 5

6 A equação da superfície não é modificada quando as variáveis, e são substituídas por A superfície é simétrica em relação ao,, Plano YZ,, Plano XZ,, Plano XY,, Eio Z,, Eio Y,, Eio X,, origem Eio Podemos resumir os resultados nos seguintes teoremas: Teorema 1: Se a equação de uma superfície não é modificada quando é trocado o sinal de uma de suas variáveis, então a superfície é simétrica em relação ao plano coordenado a partir do qual aquela variável é medida, e vice-versa. Teorema : Se a equação de uma superfície não é modificada quando são trocados os sinais de duas de suas variáveis, então a superfície é simétrica em relação ao eio coordenado ao longo do qual é medida a variável não modificada, e vice-versa. Teorema 3: Se a equação de uma superfície não é modificada quando são trocados os sinais das três variáveis, então a superfície é simétrica em relação a origem, e vice-versa. (4) Seja dada na forma F(,, ) = 0 a equação de uma superfície. Uma boa idéia do aspecto desta superfície é obtida a partir da naturea de suas seções planas. Tais seções podem ser convenientemente determinadas por uma série de planos secantes paralelos a um plano coordenado. Por eemplo, planos paralelos ao plano XY pertencem à família cuja equação é = k, onde k é uma constante arbitrária ou parâmetro. Então a partir da equação da superfície temos F(,, ) = 0, = k, como as equações da curva de interseção para cada valor atribuído a k correspondente a um definido plano secante, e essa curva encontra-se no plano = k e sua naturea pode ser determinada pelos métodos da geometria analítica plana. Página 6

7 (5) Se a equação de uma superfície é dada na forma F(,, ) = 0 tentamos resolvê-la para uma das variáveis em função da outra. Uma tal solução para em função de e pode ser escrita na forma eplícita = F(, ). Essa última equação nos possibilita obter intervalos de valores reais que as variáveis podem assumir. Esta informação é útil na determinação da locação geral da superfície no espaço coordenado; também indica se a superfície é fechada ou de etensão indefinida. 1.3 Construção de uma superfície: discussão via eemplos De posse dos cinco itens estudados acima, veremos com alguns eemplos, a construção de uma dada superfície a partir de sua equação. Eemplo 1. Discutir a superfície dada pela equação 4 = 0 ( I ) Solução: Interseções: As únicas interseções sobre os eios coordenados são dadas pela origem;. Traços: Sobre o plano XY, ou seja, = 0 = 0 em ( I ) é a parábola = 4. em ( ) I é o ponto isolado, a origem. Sobre o plano XZ, ou seja, = 4 e finalmente no plano YZ, ou seja, = 0 em ( ) I é a parábola 3. Simetrias: A superfície é simétrica em relação aos planos XZ e YZ, pois a equação ( I ) não se altera se substituirmos por e por. Na substituição de por há alteração na equação. 4. Seções: Os planos = k interceptam a superfície nas curvas = k + 4 e = k, que é uma família de circunferências para todos os valores de k > 0, já que + > 0 para todo e. Os planos = k interceptam a superfície nas parábolas k = 4 e = k, e os planos = k interceptam a superfície 4 nas parábolas k = 4 e = k Etensão: Podemos escrever a equação ( I ) na forma eplícita + 4 = k, mostrando que a variável não pode assumir valores negativos já que + > 0 para todo e, logo, nenhuma porção da superfície aparece abaio do plano XY. Essa superfície é denominada como parabolóide elíptico. Veja sua ilustração ao lado. Página 7

8 = +. Eemplo 3. Discutir a superfície dada pela equação ( II) Solução: 1. Interseções: As únicas interseções sobre os eios coordenados são dadas pela origem;. Traços: Sobre o plano XY são as retas 3 =. Sobre o plano XZ é a parábola 9 =, e finalmente no plano YZ é a reta e 4 =. 3. Simetrias: A superfície é simétrica em relação aos planos XZ e YZ, pois a equação ( ) substituirmos por e por. 4. Seções: A interseção do plano = k com a superfície é dada por uma hipérbole se k 0, e um par de retas se k = 0. Com o plano voltada para baio. = k, a interseção com a superfície é a parábola Por último, a interseção da superfície com plano + = k, = k k = +, k = k é a parábola II não se altera se, que representa =, que tem concavidade k = +, k =, que tem concavidade voltada para cima. 5. Etensão: A equação ( II ) não apresenta restrições para as variáveis, e, logo a superfície possui sua etensão indefinida. Essa superfície é denominada como parabolóide hiperbólico. E é também chamado de sela. Veja sua ilustração ao lado. Eemplo 3. Discutir a superfície dada pela equação 0 ( III) Solução: + =. 1. Interseções: As interseções sobre o eio X são ± ; sobre o eio Z é e não tem interseção sobre o eio Y.. Traços: Sobre o plano XY são as retas = e = 0, e = e = 0. Sobre o plano XZ é a parábola = + e = 0, e finalmente no plano YZ é a erta = e = Simetrias: A superfície é simétrica, somente, em relação ao plano YZ, pois trocando por em ( III ) a equação não se altera. 4. Seções: Os planos = k interceptam a superfície nas retas ± k = e = k, desde que k. Os planos = k interceptam a superfície nas parábolas = + e = k, e os planos = k interceptam a superfície nas retas = e k k =. Página 8

9 5. Etensão: A equação b não apresenta restrições para as variáveis e, enquanto, pelo item 4, a variável não pode assumir valores maiores do que, logo a superfície se encontra inteiramente abaio do ou no plano = e é indefinida sua etensão. 1.4 Eercícios 1. Faça a discussão e a construção das superfícies a seguir: (a) Elipsóide: + + = 1 a b c (b) Hiperbolóide: + = 1 a b c (c) Parabolóide (i) Elíptico: c = + a b (ii) Hiperbólico: c = + a b (d) Cone Elíptico: = + a b Página 9