*** Escolha e resolva 4 das 6 questões! *** *** Justifique TODAS as suas respostas! *** + µ(x, y)sen(89x + π) 0 φ 6 (x, y) + µ 6 (x, y) 1.

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1 USP/ICMC/SMA - Gabarito da 1 a Prova de Cálculo II - SMA- 11/10/006 Professora: Márcia Federson *** Escolha e resolva das 6 questões! *** *** Justifique TODAS as suas respostas! *** Questão 1 Sejam φ : R R e µ : R R funções que satisfazem a seguinte condição: (a) Calcule lim (x,y) (π, π ) [φ(x, y)] 6 + [µ(x, y)] 6 = xcosy x + y ( φ(x, y)cos x + 1 ) + µ(x, y)sen(89x + π) y sec 5 (xyπ). (b) Suponha que µ(x, y) = x (a) Notemos que cosy 1 e 1. Daí, x + y Isto implica que φ e µ são limitadas. Logo, x x e calcule, caso exista, + y lim µ(x, y)cos(x + (x,y) (0,0) y ). lim (φ, π ) 0 φ 6 (x, y) + µ 6 (x, y) 1. cos(x + 1 y φ(x, y) ) }} sec 5 + µ(x, y) (xyπ) }} limitada }} limitada 0 (b) Tomemos as curvas γ 1 (t) = (0, t) e γ (t) = (t, t). Então sen(89x + π) sec (xyπ) } } 0 = 0. e Logo, o limite lim µ(γ 0 1(t))cos(γ 1 (t)) (x,y) (0,0) t 0 t cost = 0 lim µ(γ t (t))cos(γ (t)) (x,y) (0,0) t 0 t cost + t = 1 lim cost + t 0 t = 1. lim µ(x, y)cos(x + (x,y) (0,0) y ) não existe. Questão Considere as funções g(x, y) = cos(x + y) + + x + y e f(x, y) = y x + 1 y x + 5y. (a) Determine o domínio de g(x, y), esboce graficamente este domínio e classifique-o em fechado, aberto, limitado ou ilimitado.

2 (b) Determine as curvas de nível da função f e esboce gráfico. (c) Calcule u (1, 1), onde u aponta na direção e sentido de máximo crescimento de f, no ponto (1, 1). (a) Para encontrarmos o domínio da função g, devemos estudar o pontos (x, y) tais y x + 1 y 0, pois no numerador temos a raiz quadrada de x + y que é um número maior ou igual a zero e uma raiz cúbica que não possui restrições. Desta forma, devemos estudar os seguintes casos: y x 0 ou (exclusivo) 1 y 0 Assim, Logo, y x ou (exclusivo) y 1. D g = (x, y) R ; y x, y < 1} (x, y) R ; y > x, y 1}. Ou ainda, poderíamos escrever D g = (x, y) R ; y x, y 1}\(1, 1)}. Graficamente, observamos que D g não é aberto e nem fechado. Além disso, D g é ilimitado. (b) Observe que x = c, c > 0, pode ser reescrita da seguinte forma: + 5y x + 5y = 1 c x x = ( ) + ( ) = 1. c 5c Logo, as curvas de nível são elipses cujo centro diminui quando c aumenta. O gráfico da função f terá a forma de um vulcão. (c) O valor máximo de f(1, 1) (1, 1) ocorre quando u = u f(1, 1). Assim, u (1, 1) = f(1, 1) f(1, 1) f(1, 1) = = f(1, 1) = f(1, 1) f(1, 1) (1 ) + 9 ( ) 0 10 = = Questão Seja f : R R dada por f(x, 0) = 1 + x, f(0, y) = 1 + y, f(x, y) = 0 se x 0 e y 0. (a) f é contínua em (0, 0)? Justifique. (b) Calcule (0, 0) e (0, 0). (c) f é diferenciável em (0, 0)? Justifique. (d) (0, 1) existe? E (1, 0)? Justifique. (e) f é diferenciável em (0, 1)? Justifique.

3 (a) Consideremos as curvas γ 1 (t) = (t, 0) e γ (t) = (t, t), t 0. Então Logo o limite, lim f(γ 1(t)) = 1 e lim f(γ (t)) = 0. t 0 t 0 lim f(x, y), não existe. Portanto, f não é contínua em (0, 0). (x,y) (0,0) (b) Temos: Portanto, f(x, 0) f(0, 0) 1 + x 1 (0, 0) x = 0. x 0 x 0 x 0 x x 0 f(0, y) f(0, 0) 1 + y 1 (0, 0) y = 0. y y 0 y 0 y 0 y y 0 (0, 0) = (0, 0) = 0. (c) f não é diferenciável em (0, 0), pois f não é contínua em (0, 0). (d) Notemos que Agora, f(x, 1) f(0, 1) (0, 1) x 0 x 0 x 0 x =. f(x, 0) f(1, 0) 1 + x x 1 (1, 0) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x + 1 =. x 1 Logo, (0, 1) não existe e (1, 0) existe e é igual a. (e) f não é diferenciável em (0, 1), pois não existe (0, 1). Questão Seja f(x, y) = k(x y) + y y, onde k 0. (a) Encontre os pontos críticos da função f. (b) Classifique os pontos críticos da função f no caso k > 0. (c) Classifique os pontos críticos da função f no caso k < 0 (a) Sabemos que (x, y) é um ponto crítico de f se e, somente se, (x, y) é solução do sistema (x, y) = k(x y) = 0 y (x, y) = k(x y) + y y = 0 (1) Sendo k 0, as soluções do sistema (e, portanto os pontos críticos de f) são ( 1, 1), (0, 0) e (1, 1). (b) Como f (x, y) = k > 0, H(0, 0) = k < 0 e H(1, 1) = H( 1, 1) = k > 0, segue que (0, 0) é ponto de sela e (1, 1) e ( 1, 1) são pontos de máximos locais de f. (c) Como f (x, y) = k < 0, H(0, 0) = k > 0 e H(1, 1) = H( 1, 1) = k < 0, segue que (0, 0) é ponto de mínimo local de f e (1, 1) e ( 1, 1) são pontos de sela.

4 Questão 5 Encontre todos os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y) = x + y x y sobre a região R = (x, y) R ; x 0, x y x, x + y 1}. Como a função f é contínua (é um polinômio) e R é compacta, temos que f assume o seu máximo e o seu mínimo em R. Neste caso, o processo para encontrar os pontos de máximo e mínimo é o seguinte: Primeiramente procuramos os pontos críticos da f que estão na região R e determinamos o valor de f nestes pontos, em seguida restringimos f à fronteira de R e encontramos os valores extremos da f na fronteira. Por fim, entre todos os valores extremos (interiores e de fronteira) determinamos o maior e o menor valor de f em R. Pontos Críticos de f em R. Os pontos críticos da f são as soluções da equação f(x) = (x 1, y 1) = 0. ( 1 Isto nos dá (x, y) =, 1 ). Note que este ponto pertence á fronteira de R e portanto basta analisar os valores da função sobre a fronteira de R. } Valores de f na fronteira de R. Note que a fronteira de R é a união dos segmentos (x, x), 0 x, (x, x), 0 x com o arco de circunferência (cos(t), sen (t)), π t π }. Vamos analisar a função f em cada uma das partes da fronteira acima: } ( ) 1 O segmento S 1 = (x, x), 0 x : Neste caso g(x) = f(x, x) = x x e g (x) = (x 1) e g = 0. Assim a função g é crescente (g (x) > 0) se x > 1 e decrescente (g (x) < 0) se x < 1. Segue que g assume o valor mínimo em x = 1 ( 1 que pertence a S 1. Isto garante que o menor valor de f em S 1 é f, 1 ) = 1 e o valor máximo da g é um dos pontos extremos do intervalo de definição, isto é, x = 0 ou x =, como g(0) = 0 ( ) e g = 1 < 0, temos que o maior valor de f em S 1 é 0 = g(0) = f(0, 0). } O segmento S = (x, x), 0 x : Neste caso h(x) = f(x, x) = x que tem um mínimo em x = 0. ( ) Logo o valor mínimo assumido por f em S é f(0, 0) = 0 e o valor máximo assumido por f em S é h = ( ) f, = 1. O arco de circunferência A = (cos(t), sen (t)), π t π }. Neste caso r(t) = f(cos(t), sen (t)) = 1 cos(t) sen (t) e r (t) = sen(t) cos(t) = 0 nos dá t = π que corresponde a um extremo do arco A. O outro extremo corresponde a t = π. Como os extremos do arco A já foram considerados quando tratamos dos segmentos S 1 e S podemos desconsiderá-los. Finalmente concluímos que o ponto de máximo [respectivamente mínimo] da função f em R é (x, y) = ( ) [ ( 1, resp. (x, y) =, 1 )] [ e o valor máximo [resp. mínimo] da f em R é 1 resp. 1 ]. Questão 6 Sejam A R um conjunto aberto e g : A R uma função de classe C tal que o determinante da sua matriz hessiana seja diferente de zero em A. Mostre que um ponto P A é ponto crítico de f = g se e somente

5 se P é ponto crítico de g. Em caso afirmativo, isto é, quando P for um ponto crítico de g, qual é o tipo de ponto crítico de f: máximo local, mínimo local ou sela? Suponhamos que P A seja um ponto crítico de f = g = ( ) g + g (P ) = (P ) g g (P ) + y (P ) g y (P ) = 0 ( ) g. Então y g (P ) = y (P ) g g (P ) + y y (P ) g y (P ) = 0 Queremos encontrar g g (P ) e (P ), solução do sistema: g (P ) g g (P ) + y (P ) g y (P ) = 0 () g (P ) g g (P ) + y y (P ) g y (P ) = 0 Sabemos que o sistema acima terá uma única solução, a trivial, pois por hipótese. Portanto, g (P ) g y (P ) ou seja, P é um ponto crítico de g. g y (P ) g y (P ) ( = g (P ) g ) y (P ) g y (P ) 0, () g g (P ) = (P ) = 0, Agora, suponhamos que P seja um ponto crítico de g. Então g g (P ) = (P ) = 0. Daí, e g (P ) = (P ) g g (P ) + y (P ) g y (P ) = 0 Logo P é um ponto crítico de f. g (P ) = y (P ) g g (P ) + y y (P ) g y (P ) = 0 Por último, suponhamos que P seja um ponto crítico de g. Então, f(p ) = g(p ) = ( ) ( ) g g (P ) + y (P ) = 0 Como f = g 0, o ponto P é um ponto de mínimo local de f. Logo, se P for um ponto crítico de g, ele será um ponto de mínimo local de f.