Matemática Básica EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS. Dê um contraexemplo para cada sentença falsa.

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1 DR. SIMON G. GMA / UFF MB V 1 0/02/2016 NOME LEGÍVEL: Matemática Básica Prova V 1 turma A1 0 / 02 / 2016 MATRÍCULA: EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS (1) Sejam P(x) o predicado x 2 = x e Q(x) o predicado x = 1. [1.5] [2] A sentença x P(x) = Q(x) é verdadeira ou falsa? A sentença x Q(x) = P(x) é verdadeira ou falsa? A sentença x P(x) Q(x) é verdadeira ou falsa? Dê um contraexemplo para cada sentença falsa. (2) Determine o domínio da função ϕ : R R definida por [1] [1.5] x x 1 ϕ(x) = x 2 + x + 2. () Prove por indução que [2] [2.5] n n(n + 1)(n + 2) i(i + 1) =. (4) Considere a seguinte proposição (onde n Z): [] Se n pode ser escrito como soma de dois inteiros ímpares, então n é par. Se a proposição for verdadeira, demonstre-la; se for falsa, dê um contraexemplo. A proposição recíproca é verdadeira ou falsa? (Justifique sua resposta) (5) Resolva em R a inequação [1] x 2 + 4x x EXERCÍCIOS OPCIONAIS (6) Para quais números a R o polinômio (x 2 4)(x 8) é divisível por x a? [1] (7) Resolva em R a equação [1] x + x = x + x. (8) Uma função f : R R é dita limitada se [2] M R tal que x Dom(f ) f (x) < M. Escreva a definição de função não limitada. Dê um exemplo de função não limitada. 1

2 DR. SIMON G. GMA / UFF MB V 1 0/02/2016 (9) Resolva em R as inequações [1] 1 2 < 1 x + 1 < 1. (10) Dê exemplos de funções reais f, g, h tais que [1.5] i) f é injetora mas não sobrejetora; ii) g é sobrejetora mas não injetora; iii) h nem é sobrejetora nem injetora. Esboce os gráficos correspondentes. (11) Seja f : X Y uma função injetora, não bijetora. [1.5] Prove que a sua restrição f : X f (X ), x f (x) = f (x) é inversível. Dê um exemplo explícito para f e f 1. SOLUÇÕES As soluções propostas aqui são desnecessariamente grandes e detalhadas demais, porque tentam dar justificativas múltiplas, de pontos de vista diferentes. Na prova é bastante fornecer 1 (uma) explicação breve e clara. Para não gastar tempo recomenda-se fornecer a solução mais simples possível. 1. Observamos que x 2 = x x(x 1) = 0 x = 0 x = 1. Em outras palavras temos: x P(x) (x = 0) Q(x). Esta observação é bastante para responder as perguntas,,. x P(x) = Q(x) é falsa. Sabemos que a tal que P(a) é verdadeira mas Q(a) é falsa (a = 0), portanto a implicação P(a) = Q(a) é falsa (então P(x) = Q(x) não é verdadeira para todo x). O contraexemplo é a = 0: 0 2 = 0 mas 0 1. A sentença x Q(x) = P(x) é verdadeira. De fato, pois 1 2 = 1 sabemos que x x = 1 = x = 1 = 1 2 = x 2. A sentença x P(x) Q(x) é falsa. Em geral, A B é verdadeira quando A,B forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. O contraexemplo é o mesmo que acima. Tabela de verdade: A B A = B A B A B V V V V V V F F F V F F V V F F V V F V V= verdadeira, F= falsa 2

3 DR. SIMON G. GMA / UFF MB V 1 0/02/ Precisamos cuidar de 2 denominadores e 1 raiz quadrada. A função ϕ tem domínio Dom(ϕ) ={x R x 0 x 2 + x x 2 + x + 2 0} ={x R x 0 x 2 + x x 2 + x + 2 0} ={x R x 0 x 2 + x + 2 > 0} ={x R x 0 (x + 1)(x + 2) > 0} ={x R x 0 (x < 2 x > 1)} =(, 2) ( 1,0) (0,+ ). n n(n + 1)(n + 2). Para provar que i(i +1) := 1(1+1)+2(2+1)+(+1)+...+n(n +1) é igual a por indução começamos do 1 passo base 1(1 + 1)(1 + 2) n = 1: i(i + 1) = 1(1 + 1) = 2 = Agora, suponhamos que a propriedade seja verdadeira por algum n = n (hipótese indutiva), isso é n n(n + 1)(n + 2) i(i + 1) =. Vamos prová-la para n = n + 1. ( ) n+1 n i(i + 1) = i(i + 1) + (n + 1) ( (n + 1) + 1 ) n(n + 1)(n + 2) (pela hipótese indutiva) = + (n + 1) ( (n + 1) + 1 ) ( ) n(n + 2) (há um fator comum) =(n + 1) + (n + 2) ( ) n (há um fator comum) =(n + 1)(n + 2) + 1 ( ) n + =(n + 1)(n + 2) =(n + 1) ( (n + 1) + 1 ) (n + 1) + 2. n NB: o passo base é n = 1 (e não n = 0) somente porque o somatório começa do índice i = 1 (isso é, do termo 1 2). 4. Vamos provar que se n Z pode ser escrito como soma de dois inteiros ímpares, então n é par. Em primeiro lugar, lembramos que um número inteiro é dito ímpar se tem a forma 2a+1 para algum a Z. Seja agora n um número inteiro qualquer, e suponhamos que possa ser escrito como n = (2k + 1) + (2h + 1) para alguns k,h Z. Então n = 2(k + h + 1), o que prova que n é um múltiplo de 2 (n é par). Portanto a proposição ( ) é verdadeira. NB: não sabemos se é verdade que um qualquer inteiro n possa ser escrito como soma de dois inteiros ímpares (a hipótese de ( )). Mas isso é irrelevante! Nós precisamos provar uma implicação A = B, não sua hipótese A. ( )

4 DR. SIMON G. GMA / UFF MB V 1 0/02/2016 Além disso, da tabela na página 2 a gente sabe que A = B é verdadeira se e somente se: A e B forem ambas verdadeiras, ou A for falsa (caso n não possa ser escrito como soma de dois inteiros ímpares, ( ) é verdadeira). 5. Começamos fatorando o numerador x 2 + 4x 4 = (x 2 )(x + 2). Então x 2 + 4x 4 0 (x 2 )(x + 2) 2x 2x Considerando os sinais dos três fatores x 2, x + 2, 2x temos: 0 (x 2 )(x + 2) 0. 2x Então as soluções são x 2 2 x < 2. NB: as soluções x = 2, 2 são aceitáveis (sendo zeros do numerador, e o problema inicial há ); porém, não é aceitável (zero do denominador) O polinômio p(x) = (x 2 4)(x 8) se fatora em (x + 2)(x 2)(x 8). Por definição, p(x) é divisível por x a se e somente se a divisão p(x)/(x a) tem resto 0. Pelo teorema do resto isso é equivalente a dizer p(a) = 0, ou seja (a + 2)(a 2)(a 8) = 0. Então a pode ser 2,2,8. 7. Na equação x + x = x + precisamos excluir as raízes dos denominadores, então x. x Agora discutimos o valor absoluto: i) se x + x + 0, isso é x x > : a equação torna-se x x = x +, que é satisfeita por qualquer x x (!). Então x x >. ii) se x + x + < 0, isso é < x < : a equação torna-se x x = x +, que é satisfeita somente x quando x + = 0, ou seja por x =. Esta solução não é aceitável, pois (,). x Resumindo, as soluções são x (, ] (, + ). 8. Em geral, se P(a,b) for uma proposição dependendo de a A,b B, há ( ) ( ) a A b B P(a,b) a A b B P(a,b). Então a definição de função f não limitada é M R x Dom(f ) tal que f (x) M. O exemplo mais simples talvez seja f (x) = x. De fato, dado qualquer M real, existe um ponto x 0 Dom(f ) = R tal que f (x0 ) = x0 M: é bastante pegar x 0 = M (ou qualquer outro número maior). 4

5 DR. SIMON G. GMA / UFF MB V 1 0/02/2016 Outros exemplos de funções não limitadas (nos respectivos domínios) são: y = qualquer polinômio não constante (i.é, ao menos de grau 1), y = 1 x n, n N \ {0}, y = n x, n N \ {0},... x2 NB: um exemplo de função limitada é y = x 2 + 1, cujo domínio é R. De fato, sendo x2 < x para qualquer x, existe uma constante M tal que x 2 x < M para todo x R. Pegue qualquer M 1. De fato, pode-se provar que o intervalo [0,1) é a imagem dessa função. 9. Em primeiro lugar é preciso impor a condição que o denominador de zero, isso é x 1. A estratégia mais eficiente é observar que a,b R\{0} a < b 1 a > 1 b 1 seja diferente de x + 1 (lembre que a função y = 1 x é decrescente!) Em nosso caso: 1 2 < 1 < 1 2 > x + 1 > 1 1 > x > 0. Então as inequações iniciais são x + 1 satisfeitas por 1 > x > 0 x 1. Isso é, as soluções são x (0,1). 10. i) Um exemplo de função injetora, não sobrejetora é f : R + R, f (x) = x. Note-se que o domínio dessa f é R +, então a pre-imagem de qualquer y R é {y} (caso y > 0) ou vazia (caso y 0). Pois toda pre-imagem contem, no máximo, um elemento, f é injetora. Ao mesmo tempo f não é sobrejetora (pois sua imagem f (R + ) = R + é estritamente contida no contradomínio R). ii) Um exemplo de função sobrejetora mas não injetora é g : R \ {0} (0,+ ), g (x) = 1 x 2 : g (1) = g ( 1) não injetora (é par!) y 0 (0,+ ) x 0 g 1 (y 0 ): por exemplo x 0 = 1 ( sobrejetora). y0 iii) Um exemplo de função nem injetora, nem sobrejetora é h : R (,+ ), h(x) = x 2 1. De fato h é par não injetora Im(h) = [ 1,+ ) (,+ ) (por exemplo h 1 ( 2) = ) não sobrejetora Os gráficos: 5

6 DR. SIMON G. GMA / UFF MB V 1 0/02/ Lembramos que uma função é inversível se e somente se ela for bijetora. Agora seja f : X Y uma função injetora, não bijetora. Sua restrição f : X f (X ), x f (x) = f (x) permanece injetora (notar que Dom f = Dom f ). Para provar que f é sobrejetora, pegamos um qualquer y no contradomínio de f e mostramos que f 1 (y). Mas se y 0 contradomínio( f ) = f (X ), por definição de imagem (de f ) existe x 0 X tal que y 0 = f (x 0 ). Pois f (x) = f (x) para todo x X, temos que f (x 0 ) = y 0, ou seja x 0 f 1 (y 0 ). Potanto f é injetora e sobrejetora, então bijetora, então inversível. Exemplo: f : R + R, f (x) = x (ver exercício 10), é injetora, não sobrejetora; f : R + R +, f (x) = x é bijetora f 1 : R + R +, f 1 (x) = x. ( f 1 f ) Perguntas? É só falar comigo... 6