CONTINUIDADE E LIMITES INFINITOS

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1 MATEMÁTICA I CONTINUIDADE E LIMITES INFINITOS Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

2 Parte 1 Continuidade de Funções Definição Tipos de Descontinuidade Propriedades Parte 2 Limites Infinitos Definição Assíntotas: horizontal e vertical Limites Fundamentais

3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES No cotidiano, para descrever um fato que ocorre ou ocorreu sem interrupção, geralmente, usamos o termo Contínuo. o Ex.: medicamento de uso contínuo. Na matemática, usamos a expressão Contínua para funções e neste caso a noção é um pouco diferente da usada no cotidiano.

4 INDETERMINAÇÕES Uma função y = f(x) é dita contínua num ponto a se, e somente se, satisfaz às três condições simultaneamente: Se uma função não satisfaz todas as condições acima no ponto a, a função é dita descontínua (no ponto a) e a é um ponto de descontinuidade da função.

5 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Intuitivamente, dizemos que uma função é descontínua num ponto a se o seu gráfico tiver salto, degrau ou ruptura ao passar pelo ponto (a, f(a)). Essa função não é contínua, pois f a Essa função não é contínua, pois lim x a f x

6 TIPOS DE DESCONTINUIDADE a) Descontinuidade removível: as descontinuidades são criadas a partir da remoção de f(a). b) Salto: o gráfico salta ao passar a. c) Descontinuidade infinita: quando x a f x

7 PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Se f e g são funções contínuas em a, então: i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) é contínua em a. ii) (f g)(x) = f(x) g(x) é contínua em a. iii) (f g)(x) = f(x) g(x) é contínua em a. iv) f g (x) = f(x) g(x), g(a) 0, é contínua em a.

8 PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Observação 1: as afirmações são verdadeiras: A função potência y = x n é contínua x R. A função polinomial P n x é contínua x R. A função y = b x é contínua: o x R, se b é ímpar o x > 0, se b é par

9 raízes do denominador. PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Observação 1 (continuação): As afirmações são verdadeiras: As funções seno, cosseno são contínuas x R. A função Exponencial é contínua x R. A função Logarítmica é contínua quando x > 0. A função Racional (na forma irredutível!) é contínua em R *x 0 +, onde x o é o conjunto das

10 PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Observação 2: Para calcular o limite das funções elementares contínuas, quando x tende ao ponto a, basta substituir x por a na expressão f(x), respeitando D f.

11 Considere a função: f x = EXERCÍCIO x 2 1, 1 < x < 0 2x, 0 < x < 1 3, x = 1 x + 3, 1 < x < 2 1, 2 < x 3 a) Faça o esboço do gráfico da função. b) Determine o domínio e a imagem de f(x)? c) Estude os pontos de descontinuidade da função. d) Qual o novo valor de y para remover a descontinuidade em 1? b) Qual o novo valor de y para remover a descontinuidade em 2?

12 Parte 1 Continuidade de Funções Definição Tipos de Descontinuidade Propriedades Parte 2 Limites Infinitos Definição Assíntotas: horizontal e vertical Limites Fundamentais

13 LIMITES INFINITOS Considere as funções com comportamento ilimitado quando x tende a a. Seja y = f(x) uma função definida por: y = 3 x 2 2 descontínua em x = 2. Qual o comportamento de y = f(x) na vizinhança de 2? y 2 x

14 LIMITES INFINITOS Para f(x) = 3 x 2 2 temos que pois lim f x = x 2 + x 3 2,5 2,33 2,25 2,1 2,01 2,001 y Analogamente, lim f x x 2 =, pois x 1 1,5 1,66 1,75 1,9 1,99 1,999 y

15 DEFINIÇÃO DE LIMITES INFINITOS Se o limite de uma função cresce (ou decresce) ilimitadamente, quando x se aproxima de um valor a, dizemos que o limite é infinito (ou menos infinito). Notação: lim x a f x = ou lim x a f x =. Assim, temos uma descontinuidade infinita.

16 ASSÍNTOTA VERTICAL A reta vertical x = a é chamada assíntota vertical do gráfico de uma função y = f(x), se y ± quando x a ou x a +. y y a x a x y y a x a x

17 LIMITES INFINITOS Seja y = f(x) uma função definida por y = 2x2 y x 2 +1 Note que, neste caso, temos uma assíntota horizontal em y = 2, assim: lim n 2x x = 2 x

18 ASSÍNTOTA HORIZONTAL A reta horizontal y = L é chamada assíntota horizontal do gráfico de uma função y = f(x), se y L quando x ou x. L L L L

19 LIMITES INFINITOS Seja y = f x. Se y 0, quando x a, então: lim x a 1 f x = ±. Exemplo. Seja f x = x e a = 0 com x R + lim x = f 0 = 0 x 0 + Assim, lim x a 1 f x = lim x x =

20 LIMITES INFINITOS Seja y = f x. Se y 0, quando x a, então: lim x a 1 f x = ±. Se n N, então: 1 i) lim = x 0 + x n 1 ii) lim x 0 x n = para n par para n ímpar

21 LIMITES INFINITOS São considerados limites infinitos no infinito qualquer um dos 4 casos: y quando x y quando x y quando x y quando x

22 Teorema. Se n N, então: LIMITES INFINITOS lim x ± k = 0, k R. xn Se n N, então: i) lim x x n = ii) lim x xn = para n par para n ímpar

23 sen x LF1. lim x 0 x LIMITES FUNDAMENTAIS = 1 y x LF2. lim x ± 1 + k x se k = 1, lim x ± x = e k x x = e a LF3. lim x 1 = ln a x 0 x e se a = e, lim x 1 x 0 x = 1

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25 LISTA DE EXERCÍCIOS