Cálculo I. Lista de Exercícios Aulão P1

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1 Cálculo I Lista de Exercícios Aulão P1

2 Lista Resolvida no Aulão Parte I: Revisão de Matemática 1. P Exercício 1 Diurno (2,0) Resolva, dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real da seguinte desigualdade: x x 1 < x 2. P Exercício 1 Vespertino (2,0) Resolva, dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real da seguinte desigualdade: x 1 x P Exercício 1 Diurno (2,0) Encontre todos os números reais x que satisfazem a desigualdade: ( 4 x 1 2 x 3 ( < 3 1

3 Parte II: Limites 4. P Exercício 2 Noturno (3,0) Calcule os limites abaixo sem usar a regra de L Hospital. Justifique a sua resposta. a. lim : b. lim 1 ; x < cos B93 c. lim 1 < 19< d. lim 1 7C 9176 < ; 5. P Exercício 2 Diurno (3,0) Calcule os seguintes limites, sem utilizar L Hospital: a. lim (x )6 e G H4G b. lim 1 ; 1 c. lim 1 < 1I 9< 1 1 I 93 19< 2

4 6. P Exercício 2 Vespertino (2,0) Calcule os seguintes limites, sem utilizar L Hospital: a. lim 1 9C e1 sin : b. lim K 86 1@ 9B C 87< 1 I c. lim 1 ; I 71 : 7. P Exercício 2 Diurno (2,5) Calcule os seguintes limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: a. lim 1 ; I 96 17<96 LMN b. lim I 1 1 7C O H 78 c. lim 1 6 PQ[x]T + [[3 x]]u, onde Q[y]T = max {n ε Z: n y} é a função maior inteiro. 3

5 8. P Exercício 2 Vespertino (2,5) Calcule os seguintes limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: 6 19a a. lim 1 ` 19` b. lim 1 ; x a cos 5 3 c. lim (ln x ln(x + 1)) 1 7C 9. P Exercício 2 Noturno (2,5) Calcule os seguintes limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: a. lim 1 B 19B b. lim 1 (1I 98) I 98 c. lim 1 7C 89O H 876 O H, 4

6 10. P Exercício 2b (0,8) Calcule o limite, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: b(x 1) 6 lim 1 8 x P Exercício 2b Noturno (0,8) Calcule o limite, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: lim 1 ; x6 g(x) 1, se x ε Q Onde g(x) = d 1, se x Q Parte III: Conceitos Adicionais de Limites 12. P Exercício 3 Diurno (2,0) Determine o valor a e defina f(1) de modo que a função a x + 2, x > 1 f(x) = d x 6 4 x + 1, x < 1 Se torne contínua. 5

7 13. P Exercício 3 Noturno (2,0) Determine se a seguinte função é contínua em x = 2: 2 x 1, x > 2 3, x = 2 f(x) = l x 6 x 2, x < 2 x P Exercício 3 Vespertino (2,0) Considere a função f(x) = [[sin x]], onde Q[y]T = max{n ε Z: n y} é a função maior inteiro. Determine se a função f é contínua em x = π. 15. P Exercício 4 Noturno (1,5) Utilizando o teorema do valor intermediário (TVI), mostre que a equação abaixo tem uma solução no intervalo 50, o 6 :: sin x = 2 x P Exercício 4 Vespertino (1,5) Mostre que tan x + 1 = 16 x 6 6

8 Tem uma solução no intervalo 50, o < :. 17. P Exercício 4 Noturno (1,5) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação abaixo tem pelo menos uma raiz real. ln x = 3 2 x 18. P Exercício 4 Diurno (1,5) Um alpinista tem como meta escalar a Montanha dos Desejos e fazer um pedido assim que chegar ao topo. Sabe-se que, em uma manhã de sábado, o atleta parte de sua casa às 5 horas rumo ao cume do monte e termina sua escalada às 21h. Sendo muito tarde, ele resolve acampar lá em cima para descer na manhã seguinte. Sabemos, também, que no dia seguinte, ele saiu às 5 da manhã e que, para descer, ele fez exatamente o mesmo caminho da subida, chegando no conforto de sua casa às 21h, horário de sua novela preferida. Sendo assim, prove que houve algum ponto no caminho do alpinista que foi cruzado exatamente na mesma hora do dia tanto no sábado quanto no domingo. 7

9 19. P Exercício 5 Diurno (2,0) Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função: f(x) = 2 x6 + 5 x 3 x x P Exercício 5 Noturno (2,5) Seja: g(x) = t x6 + 9 x 6 9 a. Determine o domínio da função g. b. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função g. Calcule todos os limites necessários. 21. P Exercício 3 Diurno (3,5) Qual o valor de c para que a função f: R R definida abaixo seja contínua? e 1 (x + c), se x 0 f(x) = x 1, se x > 0 (x + c) 6 8

10 Para os valores de c achados: a. f possui assíntotas horizontais quando x +? b. f possui assíntota verticais? 22. P Exercício 3 Vespertino (3,5) Seja f: z 8B, : \{ 3} R definida por: 6 f(x) = x + 2 x + 15 x + 3 a. Podemos definir uma função f : z 8B, : R tal que f (x) = f(x) 6 para todo x 3 e tal que f seja contínua? Se sim, determine f. b. f possui assíntotas horizontais? c. f possui assíntotas verticais? 9

11 Lista Pós-Aulão 23. P Exercício 1 Noturno (2,0) Resolva, dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real da seguinte desigualdade: x 1 + x P Exercício 1 Vespertino (2,0) Encontre todos os números reais x que satisfazem as desigualdades: a. 5 x 2 7 b. x < x P Exercício 1 Noturno (2,0) Encontre todos os números reais x que satisfazem a desigualdade: x x 2 < x 26. P Exercício 1 (2,5) Seja f(x) = x 4 + x

12 a. Determine o domínio da função, expresse f(x) sem usar módulo e esboce o seu gráfico. b. Verifique se a função é par, ímpar ou injetora. Justifique sua resposta provando ou dando um contra-exemplo. c. Encontre todos os valores de x ε R tais que 10 f(x) < 12. d. Seja g(x) = x. Encontre f g e g f e seus domínios. 27. P Exercício 1 Noturno (2,0) Encontre todos os valores de a tais que x 2 lim 1 x + 5 > P Exercício 2 Noturno (2,5) Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: a. lim 1 B9 < b. lim(x 1) 6 sin c. lim I :

13 29. P Exercício 2b Vespertino (0,8) Calcule o limite, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: lim 1 ; xa cos 3 x 3ƒ 30. P Exercício 2a Noturno (0,8) Calcule o limite, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: x 1 2 lim 1 B x P Exercício 1 (3,0) Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: 17<93 a. lim 1 B 19B b. lim 1 ; I 71 : c. lim 1I 91 1 ; 1 d. lim 1 7C e91 cos x 32. P Exercício 2 (3,0) Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: 12

14 `91 a. lim 1 ` 39 1 b. lim 1 ; x a cos I: 33. P Exercício 1 Noturno Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: a. lim B b. lim c. lim 1 ; x < cos P Exercício 1 Diurno (3,0) Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: 69 <9 a. lim ; b. lim 1 9C e1 sin x 6 1 c. 9< C a a 196 d. lim

15 35. P Exercício 2 Noturno (3,0) Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: a. lim I b. lim 1 7C (x x6 + 3 x) 3 1 c. lim I 7< P Exercício 1 Diurno (3,0) Calcule os limites, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: 1 a. lim I 7B b. lim x 6 cos 5 : 1 ; 1 c. lim 1 7C d. lim I < < 37. P Exercício 2a Diurno (0,4) Calcule o limite, sem utilizar L Hospital, ou prove que não existe: 14

16 5 x sin(2 x) (3 x + 4) e 1 lim 1 ; 2 x P Exercício 1d Noturno Calcule o limite, sem utilizar L Hospital, se existir: lim ˆ x cos 5 π 2 x: 39. P Exercício 4 Diurno (1,5) Seja f: [ 1,1] R tal que f(x) = x x < + 3. Mostre que f assume o valor 8 6. Dica: use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) 40. P Exercício 4 Vespertino (1,5) Mostre que a função f(x) = 7 (16) (16)

17 Assume o valor 1 no intervalo (2,4). Dica: use o Teorema do Valor Intermediário (TVI). 41. P Exercício 4 Noturno (1,5) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação e 1 = 2 cos x Possui uma solução positiva. 42. P Exercício 4 (1,5) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação x 3 = x < Tem pelo menos uma raiz real. 43. P Exercício 4 (1,5) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação e 1 = 2 x 16

18 Tem pelo menos uma raiz real. 44. P Exercício 3 Noturno (1,5) Mostre que tan x + 1 = 16 x 6 Tem uma solução no intervalo 50, o < :. 45. P Exercício 3 Diurno (1,5) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que o gráfico de f(x) = e x 6 Fica horizontal em algum ponto do intervalo (0,1). Ponto horizontal do gráfico significa que a reta tangente é horizontal naquele ponto. 46. P Exercício 3 Diurno (1,5) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) justifique que a equação 17

19 x 2 = sin x Possui uma solução não nula. 47. P Exercício 3 (1,5) Encontre os valores de a e b, se possível, tais que a função: x 6 + x 1, se x < 1 f(x) = xa x + b, se 1 x 2 x 6 2, se x > 2 Seja contínua para todo x. Justifique. 48. P Exercício 2 Noturno (1,5) Considere a função: f(x) = d x e1@, x 1 a x 6, x < 1 Encontre o valor de a para que fseja contínua em x = 1. 18

20 49. P Exercício 3 Noturno (1,5) Seja f: R R, tal que: x 6 cos 6 x f(x) x sin x Para todo x ε 5 o, o :. Mostre que f é contínua em x = P Exercício 3a (3,0) Considere a função: A cos(x 2) + f(x) = Œ 2 x, x < 2 x 3 6 x x 4, x 2 Determine A de modo que a função f seja contínua em x = P Exercício 5 Noturno (2,0) Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função: g(x) = 2 e1 e

21 52. P Exercício 5 Vespertino (2,0) Determine as assíntotas verticais e horizontais da função: g(x) = x6 + 2 x P Exercício 2 (1,5) Determine as assíntotas horizontais da função: h(x) = x + x x P Exercício 5 (1,5) Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função: f(x) = x6 16 x 6 + x P Exercício 3 Noturno Encontra as assíntotas verticais e horizontais da função: f(x) = x6 5 x x 6 6 x

22 Depois faça um esboço do gráfico de f. 56. P Exercício 3 Noturno (3,5) Seja f: R R dada por: f(x) = 2 7 x, se x 1 x 2 6 x 1, se x < 1 a. A função f é contínua em x = 1? Justifique. b. Encontre a assíntota horizontal de f quando x +. c. Existe assíntota vertical em algum ponto? 57. P Exercício 2 Noturno (2,5) Seja f: R R dada por: f(x) = 6 x 3, se x 1 x 2 4 x 1, se x < 1 a. A função f é contínua em x = 1? Justifique. b. Encontre a assíntota horizontal de f quando x +. 21

23 58. P Exercício 2 Diurno (2,5) Considere a função: e 178, x 1 f(x) = x x 6, < x < ln x, x 1 a. Determine os pontos de continuidade de f. b. Determine todas as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de: g(x) = 1 (x 1) P Exercício 2 Diurno (2,5) Considere a função f(x) = 1I 98 1 I 98. a. Esboce o gráfico de f(x). b. Determine analiticamente o(s) ponto(s) em que f é descontínua. c. Esta(s) descontinuidade(s) pode(m) ser removida(s)? 22

24 Gabarito 1. ( 1,1) U (1, ) 2. x ε [0, + ) 3. x ε (, 1) U (4, ) 4. a. b. 0 c. 8 a d. 8 < 5. a. 0 b. 8 6 c. < B 23

25 6. a. 0 b. 12 c a. 4 b. 0 c a. 8 3 b. 0 c a. 8 < b. O limite não existe c

26 10. O limite não existe a = A função é contínua em x = f não é constante nesse ponto. 15. Prova pelo TVI 16. Prova pelo TVI 17. Prova pelo TVI 18. Prova pelo TVI 19. Assíntotas verticais: x = 1 Assíntotas horizontais: y = 2 25

27 20. a. (, 3) U (3, + ) b. y = 1 é a única assíntota horizontal e x = 3 é assíntota vertical. 21. a. y = 0 é uma assíntota horizontal b. f não possui assíntotas verticais. 22. a. y = 1 é uma assíntota horizontal. b. f não possui assíntotas verticais. 23. [0,3] é o intervalo solução. 24. a. z 3 B, 8 B b. (1, + ) 25. {x ε R; 2 < x e x 2} 26

28 26. a. f(x) = 2 x, x < 4 8, 4 x < 4 2 x, x 4 b. A função é par. c. x ε ( 6, 5] U [5,6) d. O domínio é todos os reais. 27. a ε (, 5) U (2, + ) 28. a. 3 8; b. 0 c

29 30. 8 < 31. a. 8 a b. 1 c. O limite não existe d a. 6 b a. + b. < 3 c a. 8 < b. 0 c

30 d. O limite não existe 35. a. O limite não existe b. 3 6 c a. b. 0 c. 8 6 d Prova pelo TVI 40. Prova pelo TVI 29

31 41. Prova pelo TVI 42. Prova pelo TVI 43. Prova pelo TVI 44. Prova pelo TVI 45. Prova pelo TVI 46. Prova pelo TVI 47. a = 1 e b = a = e 49. Prova por continuidade 50. A = Assíntotas horizontais: y = 2 e y = 0 Assíntotas verticais: x = ln 5 30

32 52. Assíntotas horizontais: y = 1 e y = 1. Assíntotas verticais: x = Assíntotas horizontais: y = 0 e y = Assíntotas horizontais: y = 1. Assíntotas verticais: x = Assíntotas horizontais: y = 1. Assíntotas verticais: x = a. A função é contínua em x = 1. b. y = 7 é assíntota horizontal. c. x = 2 é assíntota vertical. 31

33 57. a. A função é contínua em x = 1. b. y = 6 é assíntota horizontal. 58. a. f é contínua em x = 1 e x = 1 b. Assíntota horizontal: y = 0 Assíntota vertical: x = a. b. x 1, x 1 c. As descontinuidades não podem ser removidas. 32