Lista 9 - Bases Matemáticas

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1 Lista 9 - Bases Matemáticas Limites - Parte Definição de Limites Verifique se é verdadeiro ou falso: a) x 2 < 0 f (x) 5 < 0, onde 2x + b) x 2 < 0 2 f (x) 5 < 0, onde 2x + c) x < 0 f (x) 3 < 0, onde 4x d) x < 0 2 f (x) 3 < 0, onde 4x 2 Para quais valores δ > 0 são verdadeiras as afirmações: a) x 2 < δ f (x) 5 < 0, onde 2x+ b) x < δ f (x) 3 < 0, onde 4x

2 3 Para cada item abaixo, determine um valor δ > 0 (em função de ϵ) que torne a implicação verdadeira: a) x 2 < δ f (x) 5 < ϵ, onde 2x + b) x < δ f (x) 3 < ϵ, onde 4x 4 Prove a partir da definição de ite que: a) x 3 (x + 6) = 9 b) x = c) x 2 = 4 x 2 d) 4 = 4 x 3 e) x 3 = 27 x 3 x f) x 4 x = 2 g) (*) x = 2 x 4 h) (*) cos x = cos a x a 5 Prove que a função x x quando x 0. não possui ite

3 Continuidade 6 Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados: a) x 4 em x = b) x em x = 0 c) x em x = 4 d) 5x 2 em x = 7 Calcule os ites abaixo, usando a mudança de variável sugerida: x a) x x 2, pondo u = x x + 6 b), pondo u = 3 x + 6 x 2 x 2 Propriedades do Limite 8 Calcule os seguintes Limites: a) x 2 x 3 b) x 4 + x 3 + x 2 + x + x

4 c) x 3 + x x 2 + d) (x + ) 3 x e) x 2 f) x 2 ( x 3 + 8x 3 6x 2 5x + 2 x 3 ) 8 x 3 g) (x + h) 3 x 3 h h h) x 3 5x 2 + 8x 4 x 2 x 4 5x 6 i) x 3 + x 2 3x 3 + x 2 + x j) ( + x)( + 2x)( + 3x) x k) ( + x) 5 ( + 5x) x 2 + x 5 l) x x m x n (m e n são inteiros positivos) 9 Calcule os seguintes ites: a) x x b) x 3 x 3 x + 2 c) x 9 3 x x 5 2

5 x 2 d) x 4 x x e) x 3 x 2 5x x f) x 2 x x 3 g) x x + x x h) x x Limite Fundamental 0 Calcule os seguintes ites: sen 4x a) x b) sen(nx) sen(mx) sen x sen a c) x a x a cos x cos a d) x a x a e) x cot 3x sen 5x sen 3x f) sen x tan πx * g) x 2 x + 2

6 sen x cos x * h) x π 4 tan x Dica: nos itens anteriores use que sen x = x Ache a razão y x para a função y = x a) no ponto 2 e x = b) no ponto 2 e x = 0. c) no ponto 2 e x = Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do ite do quociente de Newton: f f (a + h) f (a) (a) = h 0 h a) derivada de x no ponto a = 0 b) derivada de x no ponto a = c) derivada de x 2 no ponto a = d) derivada de x 2 no ponto a = 2 e) derivada de x 3 no ponto a = f) derivada de x 4 no ponto a = 0 g) derivada de x no ponto a = 4 h) derivada de 3 x no ponto a = 8 i) derivada de x j) derivada de x no ponto a = no ponto a =

7 Limites Laterais 3 Calcule os ites laterais: a) x x + x b) x x x c) f (x) f () onde x + x { 3x se x x 2 se x < d) x f (x) f () x onde { 3x se x x 2 se x < e) x 2 + f (x) f (2) x 2 onde { 3x se x 2 6x 2 se x < 2 f) x g) x + x 3 x 3

8 Teorema do Confronto 4 Suponha que para todo x g(x) x 4 Calcule g(x). 5 Calcule os seguintes ites usando o teorema do confronto: a) x 2 sen ( ) x 2 b) 3 x2 sen ( x 2 ) 6 Seja x a função maior inteiro. Para que valores de a existe x a f (x). 7 Existe um número a tal que o ite 3x 2 + ax + a + 3 x 2 x 2 + x 2 existe? Caso afirmativo encontre a e o valor do ite. Teorema do Valor Intermediário 8 Use o teorema do valor intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo espe-

9 cificado: a) x 4 + x 3 = 0 (, 2) b) 3 x (0, ) c) cos(x) = x (0, ) d) ln x = e x (, 2) 9 Use o teorema do valor intermediário para provar que existe um número c tal que c 2 = 2. (Ou seja, demonstre a existência de 2) Limites Laterais e Continuidade 20 Seja x x a) Esboce o gráfico de f (x) b) Se n for um inteiro calcule: f (x) e f (x) x n x n + c) Para quais valores de a existe x a f (x) 2 Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua: { cx + se x 3 cx 2 se x > 3

10 22 Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua: { x 2 c se x < 4 cx + 20 se x 4 23 Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a: a) b) x 3 8 x 2 se x 2 L se x = 2 em a = 2. x 3 x 4 +3x 4 se x L se x = em a =. c) x 2 +x x+ se x L se x = em a =.

11 Respostas dos Exercícios a.)f; b.)v; c.)f; d.)v 2 a.)qualquer δ (0, b.)qualquer δ (0, 20 ) 40 ) 3 a.)δ = ϵ 2 (ou menor) b.)δ = ϵ 4 (ou menor) 4 g.)dica: observe que, sendo < x + 2, resulta x 2 < x 2 x + 2 = x 4. h.)dica: use a fórmula cos p cos q = 2 sen q+p 2 sen q p 2. 7 a.) 4 b.) 2 0 a) 4 b)n/m c) cos(a) e) / 2 a) -/6 b) -5/2 c) -50/20 2 a) b) c) 2 d) 4 e) 3 f) ; -. 2 /3 23 a.)2 b.) 3 7 c.)