Cálculo Diferencial e Integral I. Jair Silvério dos Santos * Professor Dr. Jair Silvério dos Santos 1

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1 MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 3, 0 (200) Cálculo Cálculo Diferencial e Integral I LIMITES LATERAIS Jair Silvério dos Santos * Professor Dr Jair Silvério dos Santos Teorema 0 x x 0 Dada f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A, suponha que f(x) = L R Então para todo número inteiro positivo n tem-se [f(x)] n = L n x x 0 Veja que x 3 x 5 = 3 5 LIMITES LATERAIS Definition 0 Dada f : A R R função e x 0 ponto de acumulação de A Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x 0 r, x 0 ) é subconjunto de A Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela esquerda de x 0 é L, se dado ɛ > 0, existir δ > 0 tal que para todo x < x 0 e dist(x, x 0 ) < δ tivermos dist(f(x), L) < ɛ Notaão f(x) = L oy (x, f(x)) ɛ = δ ( x O + ɛ ox Exemplo 0 Seja F igura ɛ * jair jair MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

2 2 SANTOS, J S f(x) = {, se x > 0,, se x 0, Note que, x 0 = 0 e L =, então dado ɛ > 0, o intervalo (0 ɛ, 0) é subconjunto do domínio de f Note ainda que, se tomarmos δ = ɛ, veremos que, se x ( ɛ, 0) então dist(x, 0) < δ ou seja x < δ, e dist(f(x), 0) = + = 0 < x < ɛ Definition 02 Dada f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x 0, x 0 + r) é subconjunto de A Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela direita de x 0 é L se dado ɛ > 0, existir δ > 0 tal que para todo x > x 0 e dist(x, x 0 ) < δ tivermos dist(f(x), L) < ɛ Notaão f(x) = L Exemplo 02 Seja f(x) = {, se x > 0,, se x 0, + ɛ ɛ oy f() = O x ) ɛ = δ (x, f(x)) ox F igura 2 Note que, x 0 = 0 e L = Dado ɛ > 0 que o intervalo (0, ɛ) é subconjunto do domínio de f Note ainda que, se tomarmos δ = ɛ, veremos que se x (0, ɛ) = (0, δ) então dist(x, 0) < δ, ou seja x < δ, e dis(f(x), 0) = = 0 < x = x < ɛ Teorema 02 Dada f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A O ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 existe se e somente se os ites laterais existirem e forem iguais; ou seja f(x) = L R se e somente se f(x) = L R; f(x) = M R e L = M x x 0 LIMITES NO INFINITO MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

3 LIMITES LATERAIS 3 Definition 03 Dada f : (a, ) R uma função Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima do infinito é L se dado ɛ > 0, existir N R positivo tal que, para cada x > N tem-se dist(f(x), L) < ɛ Exemplo 03 Seja f : R {0} R dada por f(x) = x então temos f(x) = 0 Observe que L = 0 Dado ɛ > 0, tome N 0 N (número natural) tal que N 0 < ɛ Note que se x > N 0 então 0 < x < N 0 < ɛ Mas x = dist(f(x), 0) = dist(f(x), L) < ɛ Portanto, pela definição 03, f(x) = 0 Definition 04 Dada f : (, b) R uma função Dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de menos infinito é L, se dado ɛ > 0, existir M R negativo tal que, para todo x < M tem-se dist(f(x), L) < ɛ Exemplo 04 Seja f : R {0} R dada por f(x) = x então temos f(x) = 0 Observe que L = 0 Dado ɛ > 0, tome M 0 Z ( inteiro negativo ) tal que então 0 < x f(x) = 0 < M 0 < ɛ Mas x M 0 < ɛ Note que se x < M 0 = dist(f(x), 0) = dist(f(x), L) < ɛ Portanto, pela definição 04, Teorema 03 Sejam r for um número real positivo qualquer, α e β números reais quaisquer, então (i) α = 0 e (ii) xr x β x r = 0 A prova deste Teorema será omitida O leitor pode encontrá-la em algum dos livros citados na bibliografia desta disciplina Exemplo 05 Seja f : R {0} R dada por f(x) = x 2 Veja que neste exemplo temos r = 2 e α = β = Então pelo Teorema 03, temos x x 2 = 0 Exemplo 06 Dada f(x) = 4x 3 Calcule 5x + 5 f(x) x 2 = 0 e MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

4 4 SANTOS, J S Note que 4x 3 5x + 7 = 4 3 x para todo x R não nulo Ainda, pelo Teorema 03, = 0 Analogamente, x x 7 = 0 Portanto, podemos nos valer do Teorema 05 parte (C) da lista anterior para vermos que x ( ) ( 4x ) 5x + 7 = x ( ) = x ( x ) = 4 5 x LIMITES INFINITOS Definition 05 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que dado N 0 N existe ɛ > 0 tal que para cada x (x 0 ɛ, x 0 ) temos f(x) > N 0 Então dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela esquerda é infinto Notação f(x) = oy N 0 (x, f(x)) O ( x x 0 F igura ox x 0 ɛ Definition 06 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que dado M 0 Z negativo, existe ɛ > 0 tal que para cada x (x 0 ɛ, x 0 ) temos f(x) < M 0 Então dizemos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela esquerda é menos infinto Notação f(x) = Teorema 04 Sejam f, g : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponha que g(x) = 0 e f(x) = α R, com α > 0 (0) MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

5 LIMITES LATERAIS 5 (i) Se existir δ > 0, tal que para todo x (x 0, x 0 + δ), tem-se g(x) > 0, então (ii) Se existir ɛ > 0, tal que para todo x (x 0, x 0 + ɛ), tem-se g(x) < 0, então f(x) g(x) = f(x) g(x) = Teorema 05 Sejam f, g : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponha que g(x) = 0 e f(x) = α R, com α > 0 (02) (i) Se existir δ > 0, tal que para todo x (x 0 δ, x 0 ), tem-se g(x) > 0, então (ii) Se existir ɛ > 0, tal que para todo x (x 0 ɛ, x 0 ), tem-se g(x) < 0, então f(x) g(x) = f(x) g(x) = Exemplo 07 Seja h : ( 5; 5) R dada por h(x) = x2 + 2 x 2 se x 2 e x 2 Calcule 4 x e x 2 + x 2 4 x x 2 x 2 4 Resolução Veja que o sinal de x 2 4 é dado por O 2 ox (i) Defina f(x) = x e f(x) = x 2 4 Note que g(x) = 0 e f(x) = 6 > 0 (ver (0)) x 2 x 2 Ainda, se 0 < δ < e x (2, 2 + δ), g(x) > 0, isto é, a imagem de cada um destes valores x pela função g, que é dado por g(x), é um número real positivo (ver figura acima)) Então, podemos nos valer do primeiro x item do Teorema 04 para obtermos x 2 + (x 2 4) = (ii) Defina f(x) = x e g(x) = x 2 4 Note agora que g(x) = 0 e f(x) = 6 > 0 (ver x 2 + x 2 + (02)) Ainda, se 0 < ɛ < e x (2 ɛ, 2), g(x) < 0, isto é, a imagem de cada um destes valores x pela função g, que é dado por g(x), é um número real negativo (ver figura acima ) Então, podemos nos valer do x primeiro item do Teorema 05 para obtermos x 2 (x 2 4) = Definition 07 Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que dado M 0 Z (negativo) existe δ > 0 tal que para cada x (x 0, x 0 + δ) temos f(x) < M 0 Neste caso diremos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela direita é menos infinito Notação f(x) = Definition 08 MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

6 6 SANTOS, J S Seja f : A R R uma função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que dado N 0 N existe ɛ > 0 tal que para cada x (x 0, x 0 + ɛ) temos f(x) > N 0 Então diremos que o ite de f(x) quando x se aproxima de x 0 pela direita é infinito Notação f(x) = Teorema 06 Sejam f; g : A R R funções e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que (i) g(x) = L R e f(x) = Então (i) (ii) g(x)f(x) = se L > 0 g(x)f(x) = se L < 0 Teorema 07 Sejam f; g : A R R função e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que (i) g(x) = L R e f(x) = Então (i) (ii) g(x)f(x) = se L > 0 g(x)f(x) = se L < 0 Teorema 08 Sejam f; g : A R R funções e x 0 um ponto de acumulação de A Suponhamos que (i) f(x) = 0 x x 0 (ii) Existe M > 0 tal que g(x) < M Então, g(x)f(x) = 0 MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

7 LIMITES LATERAIS 7 Teorema 09 Dadas f; g : A R R funão e x 0 ponto de acumulação de A Suponha que f(x) = x x 0 0 e g(x) = L R, onde L e uma constante diferente de zero (L 0) x x 0 (i) Suponha que L > 0 e existe δ > 0 tal que para todo x (x 0 δ; x 0 ) tem-se f(x) > 0 Então g(x) f(x) = (ii) Suponha que L > 0 e existe δ > 0 tal que para todo x (x 0 δ; x 0 ) tem-se f(x) < 0 Então g(x) f(x) = (iii) Suponha que L > 0 e existe δ > 0 tal que para todo x (x 0 ; x 0 + δ) tem-se f(x) > 0 Então g(x) f(x) = (iv) Suponha que L > 0 e existe δ > 0 tal que para todo x (x 0 ; x 0 + δ) tem-se f(x) < 0 Então g(x) f(x) = EXERCÍCIOS (i) Encontre os ites a seguir (i) x 4x 3 + 2x 2 6 8x 3 ; (v) + x + 2 x + h + x2 + x 2h 2 + 5h 2 ; (ii) 2 x + x y x 2 ; (iii) 6 y + y + 4 ; (iv) 2 (Resp 5, 0,, 2, 0) x 2 2x + 5 x x 4 7x (vi) x ± 7x 3 (vii) (viii) + x + x x + 4 x ± 2x 4 + (ii) Investigue a continuidade das funções a seguir, e indique os pontos de descontinuidade em cada item: 2x +, < x ; (a) f(x) = x 2 3x 4, < x 2; x +, 2 < x < 5 x 2 +, < x < ; (b) g(x) = x 2 3x 4, x 2; x +, 2 < x < (c) f(x) = 2x +, < x 2; log 2 (x + ), 2 < x 2; x ; x > 2 (d) g(x) = { sin(x) (e) f(x) = x 0; x x 0, x = 0, 2 x+2, < x < 0; x 2 4x 5, x 2; 2x +, 2 < x < x 2 6 (f) g(x) = x + 4, x 4; 8, x = 4 Obs : Note que a composição de funções contínuas é uma função contínua 5 5 (iii) (a) Calcule x 3 x 2 (b) Calcule 3 x 3 (x 2 3) 2 MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

8 8 SANTOS, J S (c) (e) Calcule x 3 5x x 2 (d) Calcule 3 x 3 x (x 2 3) 2 x 3 8 x Calcule x 2 x 2 (f) Calcule 4 x 2x 2 4 (iv) Investige a continuidade das funções f(x) e g(x) nos pontos x 0, x e x 2 indicados, quando x o x 0 = 2, x =, x 2 = 0 para f(x) e x 0 =, x = 2, x 2 = 0 para g(x) e x 3 8 f(x) = x 2, se x 2; 4 3, se x = 2 (v) Calcule assíntotas verticais e horizontais ao G(f) quando : x 2 +, se < x < ; g(x) = x 2 3x 4, se x 2; x +, se 2 < x < (a) f(x) = x + 5 x 3 (d) f(x) = x + 5 x (b) f(x) = (e) f(x) = 2 x6 + 5 x 3 x 2 + x + 3 x + x 2 + 3x + 2 (c) f(x) = x2 + 5 x 2 3 (f) f(x) = 4x3 + 2x 2 6 8x 3 + x + 2 sin 0x cos x sin(x + h) sin x b - Calcule (i) ; (ii) x 0 sin 7x x 0 x 2 ; (iii) ; h 0 h cos(x + h) cos x (iv) (vi) h 0 Determine h valor de α para que a função f seja contínua em seu domínio x 3 8 f(x) = x 2, se x 2; 4 α, se x = 2 (vii) Verifque se é contínua a f : (0, ) R dada por (viii) Em cada item abaixo calcule f (x) = x a { sin 0x, se x 0, f(x) = sin 7x α, x 2 se x = 0 f(x) = ; se x >, 2 log 2 (x); se x f(x) f(a) ; a R, a 0 x a (i) f(x) = 3 x, R f (x) = 3 3 a 2 ; (ii) f(x) = 4 x, R f (x) = 4 4 a 3 ; (iii) f(x) = 5 x, R f (x) = 5 5 a 4 ; (iv) f(x) = x 2, R f (x) = 2a 3 ; (v) f(x) = x 3, R f (x) = 3a 4 ; (vi) f(x) = x 5, tome a = 5, a = 2 e a = 6 Em cada um dos item anteriores, encontre os valores a D m (f) tais que f (a) = 0, f (a) < 0, f (a) > 0 e que f (a) não exista (ix) Calcule f (x) quando (i) f(x) = (x 2 + ) sin(x), (ii) f(x) = sin(x) x 2 + (x) Calcule f (x) quando (i) f(x) = 2x 3 x + R : f (x) = ax2 b R : f (x) = R : f (x) = 2x sin(x) + (x 2 + ) cos(x), 5 5x, (ii) f(x) = (x + ) 2 x 2 + R : f (x) = 5( x2 ) (x 2 + ) 2, (iii) f(x) = ax2 + b cx Em cada um dos casos encontre os pontos e valores críticos da função f Encontre os (cx 2 ) intervalos tais que f (x) > 0 e f (x) < 0 (xi) Para uma função derivável, podemos verificar que nos intervalos abertos em que sua derivada for positiva a função será crescente, nos intervalos abertos em que sua derivada for negativa a função será decrescente e os pontos em que a devivada for zero serão denominados pontos críticos e os pontos onde a derivada não existir serão denominados valores críticos crescimento e encontre os pontos críticos MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP Considere as funções abaixo e verifique o

9 LIMITES LATERAIS 9 (i) f(x) = x 3 3x, (ii) g(x) = x 3 + x 2 x, (iii) h(x) = x 4 x 3 x 2 +, (iv) γ(x) = sin(x), (v) h(x) = cos(x); (vi) f(x) = x2 3x x, (vii) g(x) = 3 x, (viii) h(x) = x 2, (xi) γ(x) = x sin(x), x [0, π] (x, f(x)) (xii) O gráfico da função f(x) = x 4 +2x+2 é a curva y = x 4 +2x+2 Verifique se esta curva tem tangente horizontal Dê a equação geral das retas tangentes ao gráfco de f em cada um dos pontos P 0 = (, 5) e Q 0 = (, ) Calcule a reta normal ao gráfico de f em P 0 e em Q 0 (xiii) Resolva as questões abaixo sin(x 3 ) (i) Verifique se x 0 x 2 = 3 x2 0x 39, (ii) Verifique se 2 x 3 x 2 + 2x 3 = 4, 4x2 0x 39 4x 2 00 (iii) Verifique se x 2 = 4, (iv) Verifique se = 40, (v) Verifique se + 2x 3 x 5 x 5 x2 + 2x 5 x 2 x 3 x 2 =, (vi ) Verifique se + 4x sin( 4 x 2 ) = 2 BOA SORTE MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

10 0 SANTOS, J S Exemplo 08 Calcule (a ) x 3 + x 2 + x + 2 x 2 2x 3 e ( b ) x 2 + x + 2 x 3 x 2 2x 3 Note que, g(x) = x 2 + x + 2 = 4 = L > 0 e f(x) = x 2 2x 3 = 0 x 3 x 3 x 3 x 3 f(x) = (x 3)(x + ) e o sinal de f(x) aparece na figura abaixo: Ainda, ) 3 x 3 + δ (a) Veja na figura que, se δ > 0 e x (3 ; 3 + δ) a imagem de x por f que é dada por f(x), é positiva Como g(x) = x 3 x 3 x2 + x + 2 = 4 = L > 0, a parte (iii) Teorema 09 nos faz concluir x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 = (b) Veja também na figura que, se δ > 0 e x (3 δ ; 3) a imagem de x por f que é dada por f(x), é negativa Como g(x) = x 2 + x + 2 = 4 = L > 0, a parte (ii) Teorema 09 nos faz concluir x 3 x 3 x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 = MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP