Professor Dr. Jair Silvério dos Santos 1 LIMITES INFINITOS NO INFINITO Figura 1

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1 CONTNUIDADE E DERIVADAS 1 Professor Dr Jair Silvério dos Santos 1 LIMITES INFINITOS NO INFINITO Definition 01 Dada f : (a, ) R, dizemos que f o ite de f quando aproima-se do infinito é infinito se dado M > 0 eiste N 0 > 0 tal que se > N 0, então > M Notação = a oy (,) M ( O N 0 Figura 1 o Eemplo 01 Seja f : [ 1, ) R dada por = 2 Mostremos que = Resoluação : Dado um número real M > 1, tome N 0 = M Veja que se > N 0 = M então 2 > (N 0 ) 2 = M Isto no diz que > M Definition 02 Dada f : (,b) R, dizemos que f o ite de f quando aproima-se do menos infinito é infinito se dado M > 0 eiste N < 0 tal que se < N, então > M Notação = a Definition 03 Dada f : (a, ) R, dizemos que f o ite de f quando aproima-se do infinito é menos infinito se dado M < 0 eiste N > 0 tal que se > N, então < M Notação = a 1 jair DFM-FFCLRP-USP

2 2 SANTOS, JS Definition 04 Dada f : (,b) R, dizemos que f o ite de f quando aproima-se do menos infinito é menos infinito se dado M < 0 eiste N < 0 tal que se < N, então < M Notação = a CONTINUIDADE E DERIVADAS Definition 05 Dada f : A R R e 0 R, dizemos que f é contínua em 0 se (i) eiste f( 0 ), (ii) eiste = M; 0 (iii) f( 0 ) = M (01) A continuitade de uma funão no ponto 0 indicado, dá informaões sobre o comportamento da funão em um intervalo aberto suficientemente pequeno contendo o ponto 0 Eemplo 02 Vamos etudar continuidade de { 1 cos ; se 0; = 0; se = 0 Veja que a condião (i) da Definião 05 está saisfeita pois f(0) esiste Verifiquemos a condião (ii) da Definião 05 Note que a fraão dentro do ite pode ser escrita como 1 cos = 1 cos 1 + cos 1 + cos = 1 cos2 [1 + cos ] = sen sen 1 [1 + cos ] sen 1 Veja que = 1 (ite fundamental), sen = 0 e = 1 Então temos cos 1 cos sen = 0 0 sen 1 [1 + cos ] = = 0 Então, a condião (ii) da Definião 05 está verificada Como M = 0 e f(0) = 0 temos a terceira condião da Definião 05 também verificada Portanto, a definião 05 nos assegura que f e contínua em 0 = 0 (i) Encontre os pontos de continuidade de cada uma das funões abaio:f e g 2, < 1; = 2 3 4, 1 < 2;, 2 < < 5; 2 + 1, < < 1; g() = 2 3 4, 1 2;, 2 < < (ii) Vefique a continuidade, em 1 = 1; 2 = 2 Encontre valor para a para que f seja contínua em 0 = 1 MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP ; se 1; 2; 1; + 2 = a; se = 1; 2; se = 1; 3; se = 2

3 CONTNUIDADE E DERIVADAS 3 b - Seja f : R R dada por Encontre λ R para que f seja contínua em 0 = 3 c - Seja f : R R dada por Encontre α R para que f seja contínua em 0 = 5 c - Seja f : R R dada por Encontre β R para que f seja contínua em 0 = = 3 ; se 3 λ; se = = 5 ; se 5 α; se = = 4 ; se 4 β; se = 4 Derivada Definition 06 Dados A R um conjunto aberto, f : A R uma funão e 0 A, dizemos que f é derivável em 0 se = f ( 0 ) R (02) Eemplo 03 Seja f : (0;1) R dada por = Note que 0 + h 0 = h = = 1 Portanto, f ( 0 ) = 1 que é a derivada de f em 0 Note que, qualquer que seja 0 (0;1), temos f ( 0 ) = 1, o que nos permite definir uma funão f : (0;1) R dada por f () = 1 chamada funão devivada de f Eemplo 04 Seja f : (0;1) R dada por = 2 Note que ( 0 + h) 2 ( 0 ) 2 = 2 0 h + h 2 = = 2 0 Portanto, f ( 0 ) = 2 0 que é a derivada de f em 0 Note que, qualquer que seja 0 (0;1), o que nos permite definir uma funão f : (0;1) R dada por f () = 2 chamada funão devivada de f Funão Derivada DFM-FFCLRP-USP

4 4 SANTOS, JS Se f : A ab R R for funão o ite (03) eistir para todo 0 A, dizemos que f é derivável em A O Limite (03) define uma funão f : A R dada por Se uma funão for constante, então sua derivada é a funão nula f( + h) = f () (04) Veja que se f for constante então eistira uma constante k tal que = k Então f( + h) k k = = 0 = f () Se = a + b com a,b R e a 0, então f () = a f( + h) a( + h) + b (a + b) = = a h = a = f () Se = 2 então f () = 2 f( + h) ( + h) 2 2 ) 2h + h 2 = = = 2 = f () Eercícios f( + h) 1 Calcule o para as funões indicadas a : = ; b : = 1 3 ; c : = 3 ; d : = 1 4 e : = 4 ; f : = cos(); g : = 2 ; i : = 2 2 Seja f : R R (a) Assumindo que 2 2 = 1, Calcule 2 (b) Assumindo que 0 = 0, Calcule 2 (c) Assumindo que 2 =, Calcule + 3 Dê eemplos de funções f e g tais que: (i) 0 + =, 0 g() = e (ii) =, g() = e 0 0 (iii) =, g() = e (iv) 0 g() = 1, e MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP 0 + g() = 0 0 +[ g()] 1 0 g() = 1 [ g()] = 0 0 +

5 CONTNUIDADE E DERIVADAS 5 Eercícios da AMPEC 4 Em cada caso abaio dê o valor de a para que f seja contínua em 0 = 0 { sen8, para 0, a : = a, para = 0 { sen8, para 0, b : = sen3 a, para = 0 Em cada um dos eercícios abaio verifique a afirmação é verdadeira ou falsa 5 ( )( 1 2 ) 1 = ( 2) 1 ( ) = ) 1 = 3 64 ( 1 2 8)( sen cos = ( 3) 1 ( ) = ( 5)( ) 1 = A reta = 1 é Assíntota Vertical ao gráfico da função =, para 1 12 A reta = 1 é Assíntota Vertical ao gráfico da função =, para 1 13 A reta = 1 é Assíntota Vertical ao gráfico da função = 2, para 1 14 A reta = 1 é Assíntota Vertical ao gráfico da função = 2, para 1 15 A reta = 1 é Assíntota Vertical ao gráfico da função = 2, para 1 16 A reta y = 1 é Assíntota Horizontal ao gráfico da função = 2, para 1 e 1 17 A reta y = 0 é Assíntota Horizontal ao gráfico da função = 2, para 1 e 1 18 O gráfico da função = 2, para 1 e 1 tem a reta = 1 como Assíntota Vertical 19 O gráfico da função = 2, para 1 e 1 tem a reta = 1 como Assíntota Vertical 18 Se = 2 f(2) + 3, então Se = 2 + 3, então 2 = 5 f( 2) + 2 = 1 BOA SORTE DFM-FFCLRP-USP