Matemática / Função Exponencial / Questões Comentados Direitos Autorais Reservados
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- Rafaela Brunelli Carneiro
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11 Matemática / Função Eponencial / Questões Comentados Matemática / Função Eponencial / Questões Comentadas 11
12 FUNÇÃO EXPONENCIAL Professora Laura 1. Potências e suas propriedades Considere os números ( a0, a 1), mr, n N e, y, b R n Definição: a a. a. a... a, ( n 1) n vezes por a. Propriedades 0 a 1 para todo a não nulo y a a y a. a a a ( a ) y y a y a y a y. y ( a. b) a. b, ou seja, a potência a a, claro para todo b não nulo b b 1 a a a m n n a m n a é igual ao número a multiplicado 2. Função Eponencial Definição Seja ar, a 0, e a 1. Chamamos de Função Eponencial a função definida por: f : R R tal que f ( ) a Eemplos: f( ) 3 ; 1 f( ) 2 ; y (3,75) Observe que a condição 1 constante. Já a condição 0 R. Por eemplo, se f( ) ( 2), não eistiria a é necessária, pois, f( ) 1 1 seria uma função a é necessária para garantir que a eponencial tenha domínio 1 f 2 ou 3 f e assim por diante. 4 49
13 Gráfico da Função Eponencial f : R R tal que f ( ) a 1 Caso: Se 1 a 2 Caso: Se 0a 1 Obs.: Veja que no primeiro caso a função é crescente, já no segundo ela decresce. Note ainda que em ambos os casos o gráfico da função f ( ) não toca o eio- e além disso a eponencial sempre toca o eio-y no ponto y 1, isso ocorre pois Principais propriedades da Função Eponencial (I) Domínio: D( f ) (II) Imagem: Im( f ) (III) Se 1 R R (ou seja, y 0) a então f é crescente Se 0a 1 então f é decrescente a 0 a 1. (IV) Não eiste R, tal que a 0, ou seja a função eponencial não tem raiz. Assim o gráfico se aproima do eio, mas não o intercepta. Dizemos então que o eio é uma assíntota horizontal. (V) A função eponencial é bijetora. Como conseqüência é inversível (admite função inversa). (VI) A interseção do gráfico da função eponencial com o eio y é o ponto (0,1). (VII) A função eponencial é muito útil para descrever fenômenos nos quais os valores a serem calculados dependem do valor eistente em um determinado instante. Assim por eemplo, o crescimento populacional depende do número de indivíduos em um dado momento, a desintegração radioativa depende da quantidade eistente de substância num dado instante. A função eponencial é útil na Biologia (produção de bactérias), na Arqueologia (determinação da idade dos fósseis, na Economia (jurus compostos), etc. 3. Equações Eponenciais 50
14 As condições impostas à base de uma função eponencial a tornam uma função y a a y. Esta propriedade nos permite resolver uma bijetora. Desse modo, se série de equações cuja variável aparece no epoente, e por isso são chamada de equações eponenciais. Para resolver uma equação eponencial tente transformar a equação dada em outra equivalente, da forma a a y. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação. Eemplos: Resolva as equações. a) b) c) d) e) f) g) h) I) 1 (0,1) 5 (0,1) O NÚMERO e (número de EULER) Dada a seqüência abaio, calcularemos o seu valor para alguns valores de n. a n 1 1 n n Se n 1 então a1 2 Se n 2 então a2 2,25 Se n 3então a3 2,3703 Se n 10 então a10 2,5937 Se n 100 então a100 2,7048 Se n 1000 então a1000 2,7181 Se n então a ,
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