MATEMÁTICA Logaritmos Introdução. Professor Marcelo Gonsalez Badin

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1 MATEMÁTICA Logaritmos Introdução Professor Marcelo Gonsalez Badin

2 Você certamente já sabe calcular logaritmos! Por eemplo, resolva a equação: = 8 = 8 = 3 = 3 Logaritmo é apenas um nome que é dado ao epoente que é a solução de uma equação eponencial. Assim, = 8 é o logaritmo de 8 na base = 8 = log 8 = 5 = log 5 3 = 8 4 = 6 3 < < 4 Obs: log 5 é, aproimadamente 3, , ou seja: 3, = 5

3 Logaritmos a = b = log a b log a b = a = b log a b = logaritmo de b na base a C.E.: Condições de Eistência a > 0 a b > 0 base logaritmando log a b = a = b

4 . Determine o domínio da função f() = log ( ) (7 ) C.E.: > 0fi > ( I ) fi ( II ) condições de 7 > 0 fi < 7 ( III ) eistência I II III D D = {ŒIR / < < 7 e } ou vc escreve: D = ],[ U ],7[ 7 7

5 . Resolva a equação = 0 ( ) = 0 Fazendo 5 = t, temos: t = 5 t 7t + 0 = 0 t = S = 7 P = 0 t = 5 5 = 5 = t = 5 = = log 5 S = {, log 5 }

6 3. Calcule a) log 3 43= 3 = 43 3 = 3 5 = 5 b) log 0, 5 = ( ) = 0, 5 ( ) = = = = 4 c) log 5 = = = 65 e) log 3 (log 7 ) = = log 7 d) log 49= = 49 como > 0, = 7 log 7 = 7 = = 7 4. Qual o valor do logaritmo de 5 na base? log 5 = = 9 O logaritmo de 5 na base é 9 = 5 = 9

7 Imagine alguém que, diariamente, tivesse que fazer contas como (,37)(, 0)(3,57) (, )(8,33) sem utilizar uma calculadora. Seria muito chato e trabalhoso! No século XVI, o barão escocês John Napier (550-67) teológo e matemático, criou um método que, aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (56-639), diminuiu o tempo gasto na realização de operações matemáticas, transformando, por meio das propriedades de potências: Multiplicação em adição; Divisão em subtração; Potenciação em multiplicação; Radiciação em divisão. Para isso, Brigs elaborou uma tabela com a qual é possível escrever qualquer número positivo na forma de potência de dez, com altíssimo grau de aproimação. Essa tabela é chamada de tábua de logaritmos.

8 Briggs foi o primeiro a construir uma tabela de logaritmos. Começou com log 0= e depois achou outros logaritmos. Em 67, ano da morte de Napier, ele publicou uma obra que continha os logaritmos de a 000, cada um com 4 casas decimais. Em 64, publicou Arithmetica logarithmica, que continha os logaritmos, também calculados com 4 casas decimais, de a 0000 e de a Hoje, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaramse peças de museu.

9 A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações eponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função eponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática. log = log 0 (logaritmo decimal) ln = log e (logaritmo natural ou neperiano) O número indicado por e é chamado de número de Euler (Leonhard Euler, matemático suiço, ) é irracional e vale, aproimadamente,,78. lim + = e colog b a = log b a (cologaritmo)

10 O número indicado por e é chamado de número de Euler (Leonhard Euler, matemático suiço, ) é irracional e vale, aproimadamente,,78. A aproimação decimal de e é obtida calculando o limite de + elevado a, para muito grande. Matematicamente: lim + = e Vamos fazer algumas contas! Acompanhe a tabela: + Para quem tiver interesse de saber mais sobre o e, indico o livro e: A HISTÓRIA DE UM NÚMERO Eli Maior (Editora Record) , , , , , ,

11 5. Determine o valor da epressão: a) A = log 8 + log 0, + log000 Calculando cada parcela da soma: 5 log 8 = log 5 0, = y A = ( ) = 8 = = 3 3 = 6 5 y = 0, 5 y = 5 y = A = 8 0, = = = 5 0 5

12 5. Determine o valor da epressão: b) B = log + log 7 + log π + log log 3 ( ) π 3 B = log0 B = 5 + B = 6 c) C = C = 3 + C = 7 + log 3 log 4 3 log 7 C = C = log 7 log a =? log a = 0 log a a c =? log a a c = c logab a? pois a 0 = a = a pois a c = a c logab a log b = b

13 6. A solução real da equação log 7 (7 +56) = é: a) log = b) log 7 8 ( ) = 0 c) log7 d) Fazendo 7 = t, temos: e) t t 56 = 0 fi t = 7 ou t = 8 S = t = 7 t = 8 P = 56 7 = 7 Impossível pois 7 > 0 7 = 8 = log 7 8

14 7. (Vunesp-00) Numa eperiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e epôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A eperiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água eistente no recipiente (em litros) é dada pela epressão: k 0 Q(t) = log0 com k uma constante positiva e t em horas. t + a) Sabendo que havia inicialmente litro de água no recipiente, determine a constante k. Para t = 0, temos Q(0) = k 0 0 = log 0 + b) Ao fim de quanto tempo a eperiência terminará? 0 Como k =, temos Q(t) = log 0 0 log t = t + A eperiência termina se Q(t) = 0 A eperiência termina ao fim de 9 horas fi log 0 0 k = fi k = fi 0 0 = 0 t + t + = 0 t = 9 Série Pensador P. 508 Eercício 0

15 Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) y = log y = log ¼ ½ 4 0 C.E.: > 0 y 0 ¼ ½ a reta = 0 (eio y) é assíntota de log D = IR * + (reais positivos) Im = IR Função crescente 4

16 0. Faça o gráfico da função: b) y = log ½ y = log ½ ¼ ½ 4 0 y 0 ¼ ½ D = IR * + (reais positivos) Im = IR Função decrescente 4 C.E.: > 0 a reta = 0 (eio y) é assíntota de log ½